المتجهات في الرياضيات

المتجهات، تعريف المتجهة، علاقة المتجهة بالإزاحة، مكونات المتجهة، مجموع متجهتين، فرق متجهتين، تساوي متجهتين،جداء متجهة في عدد حقيقي، رسم متجهة،إحداثيات متجهة، Vecteurs،

 يتعامل المتعلم منذ بداية مشواره التعليمي مع الأسهم، إذ يتم اعتبار السؤال (صل بخط أو صل بسهم) من الأسئلة التي يتشوق إليها المتعلم خلال إنجاز تمارين أو امتحان في مادة ما... ويتم استعمال الأسهم للإشارة إلى وجود علاقة بين عنصرين، مثلا: للربط بين الكلمة ومعناها أو مرادفها أو ضدها ... كما يتم توظيفها في العلاقات المكانية للتعبير عن اتجاه معين على شبكة أو داخل القاعة أو في الساحة أو تحديد قن مسار معين. 

وفي حياتنا اليومية، توجد استخدامات كثيرة للأسهم، نجدها في بعض إشارات المرور حيث تلزم السائقين باتباعها، كما نجدها في الملاحة الجوية والبحرية لتحديد اتجاهات ومسارات الطائرات والسفن، ويتم استعمالها أيضا من طرف المرشدين السياحيين لتحديد أماكن الزيارة في المناطق السياحية، وفي الطقس أيضا للتعبير عن اتجاه الرياح... وغيرها من الاستعمالات المتعددة...

هذه الأسهم، هي التي نعبر عنها في الرياضيات باسم المتجهات (بالفرنسية  Vecteur و بالإنجليزية Vector)، فماذا نقصد إذن بالمتجهات في الرياضيات، وما هو دورها وخصائصها التي تميزها؟

👈نحن نعرف أنه للتعبيرعن مقدار معين في الرياضيات أو في الفيزياء نستعمل مختلف الأدوات والوحدات المناسبة، مثلا لقياس طول معين نستعمل المسطرة ونعبر عن الطول بكتابة عدد مع إحدى وحدات الطول، نفس الأمر نقوم به لقياس الكتلة، نستعمل الميزان ونعبر عن الكتلة بعدد مع إحدى وحدات الكتل، ونفس الشيء يتعلق بالمساحات والسعات والحجوم والسرعة ودرجات الحرارة وغيرها من الكميات التي تحتاج إلى التعبير عنها بمقدار معين بواسطة عنصر واحد فقط هو الأعداد مع الوحدات (إن وجدت)... لذا تسمى هذه الكميات بالكميات القياسية أو العددية ( بالإنجليزية Scalar quantities وبالفرنسية Quantités scalaires)

👈 إذا كان لهذه الكميات نفس الوحدات الفيزيائية فيمكن جمعها أو طرحها وفقًا للقواعد المعتادة في الحساب، كما يمكن أيضًا ضرب أو قسمة كميتين قياسيتين على بعضهما البعض لتكوين كمية قياسية مشتقة، وكل هذه العمليات أشرنا إليها في مختلف المقالات على موقعنا رياضياتي وهي: (يمكن الولوج إليها بالنقر عليها)

- القياسات في الرياضيات: الأنواع والتحويلات

- الطول والمساحة والحجم... أية علاقة؟

- حساب المساحات

- حساب الحجوم

- الكتلة الحجمية

- السرعة المتوسطة

👈 وفي مقابل هذه الكميات، توجد كميات أخرى لا يمكن وصفها بشكل كامل بواسطة محددة واحدة (كما يتعلق الأمر بالكميات القياسية المشار إليها مسبقا) إذ تحتاج إلى أكثر من محددة للتعبير عنها، هذه الكميات نسميها الكميات المتجهة (بالانجليزية Vector quantities وبالفرنسية Quantités vectorielles)، فما هي هذه الكميات وكيف نعبر عنها؟؟

👈ولفهم واستيعاب الكميات المتجهة والفرق بينها وبين الكميات القياسية، نأخذ الأمثلة التالية:

❉ مثال1:

↤ عندما يتم إرسال سفينة أو مروحية في مهمة إنقاذ، يجب على فريق الإنقاذ، قبل الانطلاق، أن يعرف ما يلي:

- المسافة بين الفريق وموقع إشارة الاستغاثة،

- الاتجاه الذي تأتي منه الإشارة حتى يتمكن من الوصول إلى مصدرها بأسرع وقت ممكن.

↤ بالنسبة للأولى، فهي عبارة عن مقدار (المسافة) والتي تعتبر من الكميات القياسية (عدد ووحدة)، وبالنسبة للثانية فهي الاتجاه الملازم لذلك المقدار ( يشير الاتجاه في هذا المثال إلى حركة سفينة الإنقاذ)

👈 هذا المقدار والاتجاه هما معا ما يحددان ما نسميه بالكمية المتجهة.

❉ مثال 2: 

↤ ننطلق من هذه الصورة، ثم أطرح عليك هذا السؤال:  أين يوجد الطفل بالنسبة للمنزل؟؟ 

⇐ إذا كان جوابك هو: يبعد الطفل عن المنزل بـ 20 مترا، فهذا لا يكفي، لأنه توجد ما لا نهاية له من النقط التي تبعد بـ 20 مترا عن المنزل والتي تشكل دائرة مركزها المنزل وشعاعها 20 مترا. 

⇐ وإذا قلت إنه يبعد عن المنزل بـ 20 مترا ويوجد على الطريق، فقد استبعدت مجموعة كبيرة من النقط، لكن مازال موضع الطفل غير محدد لأنه توجد نقطتان تبعدان عن المنزل وتوجدان على الطريق، فما هي التي تبين موقع الطفل؟؟ 

⇐ أما إذا قلت إنه يوجد على بعد 20 مترا على الطريق جهة اليمين، هنا تكون قد حددت موقع الطفل الصحيح بالنسبة للمنزل. 

👈 تلاحظون أنه لتحديد موقع الطفل بالنسبة للمنزل نحتاج إلى تحديد:

- المسافة ( مقدار قياسي)

- الحامل ( اعتبرناه هنا هو الطريق)

- المنحى ( جهة اليمين)

👈 فنمثل كل هذه العناصر الثلاثة بمتجهة واحدة، يكون طولها متناسب مع مسافة  20 متر( حسب سلم معين)، وحاملها هو المستقيم الذي يمر عبر الطفل والمنزل ( اعتبرناه هنا هو الطريق) والمنحى هو الاتجاه من اليسار نحو اليمين ( طرفه هو المنزل ورأسه هو الطفل) 

👈 نرمز لهذه المتجهة بواسطة حرفين فوقهما سهم، حيث الحرف الموجود على اليسار يعتبر أصل المتجهة أو نقطة بداية المتجهة ويعتبر الحرف الموجود على اليمين هو رأس المتجهة أو نقطة نهاية المتجهة. 

❉ مثال3

👈 عند نقوم بدفع جسم نحو الأمام، نمارس عليه قوة، والتي نمثلها بمتجهة كما يلي:

- طول المتجهة والذي يتناسب مع مقدار القوة باعتباره كمية قياسية. 

- حامل المتجهة وهو المستقيم الاعتباطي الذي يحمل المتجهة.

- منحى المتجهة وهو المنحى الذي قمنا بممارسة القوة نحوه وبالتالي يتحرك الجسم نحوه أيضا. 

👈 فالقوة إذن كمية متجهة ونرمز لها بمتجهة كما توضح الصورة:

 

❉مثال 4:

👈 يتم استعمال المتجهات أيضا في الطقس، عند التعبير عن حركة الرياح مثلا، حيث تعبر المتجهة عما يلي:

- طول المتجهة يعبر عن قوة الرياح، فإذا كان طولها كبيرا فهذا يدل على أن الرياح قوية والعكس صحيح

- حامل المتجهة يعبر عن المسار الذي تأخذه الرياح وهو المستقيم الحامل للمتجهة

- منحى المتجهة وهو اتجاه الرياح، من الشرق نحو الغرب، أو من الشمال نحو الجنوب أو ...

👈 فإذا كانت متجهتان لهما نفس الطول، فهذا يعني أن الرياح التي تهب في هذه المنطقة لها نفس القوة، لكن في اتجاهات مختلفة.

👈 وإذا كان لهما نفس الحامل فهذا يعني إن الرياح تهب بشكل متواز لكن ربما في منحيين مختلفين وبقوة مختلفة. 

👈 وإذا كان لهما نفس المنحى فهذا يعني أن الرياح تهب في منحى واحد لكن ليس بالضروري أن تهب بشكل متواز وليس بالضروري أن تكون لها نفس القوة

👈 أما إذا كان لهما نفس الطول ونفس الحامل ونفس الاتجاه فإن هذه الهبات من الرياح هي نفسها. 

❉خلاصة:

👈 من خلال الأمثلة السابقة، اتضح لنا الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة، فالكمية المتجهة تضم الكمية القياسية إلى جانب عناصر أخرى هي الحامل والمنحى، ويوضح الجدول التالي أمثلة للعلاقات بين هاتين الكميتين: 

👈 نستنتج أيضا من خلال الأمثلة السابقة أن للمتجهات إذن استعمالات في ميادين وعلوم كثيرة (في الفيزياء وفي الهندسة وفي الكهرباء وغيرها )، وتتم دراستها في الرياضيات بشكل نظري على أساس أنها تطبق في العلوم الأخرى وفي الحياة اليومية بنفس الخصائص التي تدرس بها في الرياضيات.

نستنتج أيضا من خلال الأمثلة السابقة أن للمتجهات إذن استعمالات في ميادين وعلوم كثيرة (في الفيزياء وفي الهندسة وفي الكهرباء وغيرها )، وتتم دراستها في الرياضيات بشكل نظري على أساس أنها تطبق في العلوم الأخرى وفي الحياة اليومية بنفس الخصائص التي تدرس بها في الرياضيات.

تعريف المتجهة في الرياضيات

👈 لا يختلف التعريف السابق للمتجهة عن تعريفها في الرياضيات، الفرق هو أن المتجهات في الرياضيات لها علاقة أكثر بالحركة أو الإزاحة أي أنها مرتبطة بالمسافة أو الطول ( انظر الجدول السابق). فالمتجهة محددة إذن بثلاثة عناصر هي:

- طول المتجهة والذي نعبر عنه بالمسافة بين طرفي المتجهة

- حامل المتجهة (وهناك من يسميه اتجاه المتجهة) وهو المستقيم الحامل للمتجهة.

- منحى المتجهة وهو المنحى الذي يشير إليه السهم الممثل على المتجهة. 

والإزاحة تعني تحريك نقطة أو شكل هندسي من نقطة البداية إلى نقطة أخرى حسب متجهة ما أي حسب طول معين واتجاه معين ( عمودي، افقي، مائل) ومنحى معين ( من اليمين نحو اليسار، من الأعلى نحو الأسفل ...)

وقد تطرقنا إلى هذا الدرس ( درس الإزاحة) في مقال سابق حول التحولات الهندسية، يمكن الرجوع إليه من خلال النقر على الرابط من هنا.

عناصر المتجهة

👈 قبل الانتقال إلى فقرات موالية، والتي سنوظف فيها هذه العناصر، دعونا أولا نحددها تجنبا لكل لبس أو مشكل في الفهم، فالمتجهة تتكون من:

- خط، أو قطعة مستقيمية تدل على طول هذه المتجهة، 

- أصل المتجهة وهي نقطة انطلاق المتجهة

- رأس المتجهة وهي نقطة الوصول في المتجهة ويتم التعبير عنها بواسطة سهم. 

👈وتوضح هذه الصورة مكونات المتجهة: 

المتجهات في المرحلة الابتدائية:

👈 قبل الانتقال إلى كل ما يخص المتجهات كدرس مبرمج في المرحلة الإعدادية، لا بأس، مرة أخرى، بالتذكير بأن المتعلم قد تعامل مع المتجهات في سنوات المرحلة الابتدائية وطبعا بشكل ضمني.

👈 فمنذ السنة الثانية من التعليم الابتدائي، يتعامل المتعلم مع المسارات والشبكات ويحدد قن أو كود الانتقال من نقط إلى أخرى بالاعتماد على عدد التربيعات والاتجاه المناسب للتنقل. وتوضح الصورة التالية مثالا لنشاط مقتبس من إحدى كتب الرياضيات في المستوى الثاني ابتدائي، يكتشف من خلاله المتعلم دور الأسهم في تحديد الاتجاهات وأيضا اعتبار كل خانة داخل شبكة هو مرحلة من مراحل الانتقال:  

👈 وابتداء من المستوى الرابع يتعرف المتعلم على مفهوم الإزاحة من خلال إنجاز أنشطة والقيام بمناولات تتعلق بإزاحة أشكال ونقلها من نقطة بداية إلى نقطة الوصول اعتمادا على شبكات تربيعية واتباعا لقن معين، وتوضح الصورة التالية مثالا من هذه الأنشطة مقتطف من أحد كتب الرياضيات في المستوى الرابع:

👈من خلال مختلف هذه الأنشطة تتكون لدى المتعلم فكرة حول مفهوم الإزاحة، وأنه للقيام بإزاحة شكل لابد من التوفر على عناصر أساسية، وإلا فستكون الازاحة في أي مكان بشكل عشوائي، وهذه العناصر هي:

- عدد خانات التي يجب الانتقال عبرها. (باعتباره المسافة)

- اتجاه الانتقال (باعتباره المنحى)

وهذان العنصران هما اللذان يدخلان في تحديد المتجهة.

المتجهات والمسافات

👈 بعد التعرف على المتجهة، كيف إذن نميز بينها وبين المسافة أو الطول؟

 توجد عدة فروقات بين المتجهة والمسافة:

◀ أولا من حيث الشكل: المتجهة يرمز لها بحرفين (أو حرف واحد) فوقهما سهم، أما المسافة يرمز لهما بحرفين مجردين. 

◀ ثانيا، من حيث تغيير مكان الحرفين، المسافة لا تتغير إذا تم قلب الحرفين، عكس المتجهة. 

◀ ثالثا، إذا كانت متجهتان متساويتين فإن المسافتين اللتان تحددانهما متساويتان، والعكس غير صحيح :

◀ رابعا: إذا كانت هناك متجهة فمن الضروري وجود مسافة، والعكس غير صحيح:

◀ خامسا: يمكن إنجاز مختلف العمليات (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على الأطوال (المسافات)، لكن يمكن فقط إنجاز عمليات الجمع والطرح والضرب على المتجهات.

◀ سادسا: هذه العلاقة الموضحة في الصورة صالحة بالنسبة للمتجهات وغير صالحة بالنسبة للمسافات إلا في حالة واحدة، إذا كانت النقط على نفس المستقيم وبينهما نقطة الوسط. (وهذه العلاقة تسمى علاقة شال (Relation de Chasles) سنوضحها أكثر في إحدى الفقرات الموالية) 

◀ سابعا: إذا كان لدينا متجهتان متساويتان فإن رؤوس هذه المتجهتين تشكل متوازي الأضلاع، ولا يتحقق هذا الأمر عند تساوي مسافتين. 

العمليات على المتجهات

1- المتجهة المنعدمة (Vecteur nul)

👈 تحدثنا على أن المتجهة تربط بين نقطتين في المستوى، فإذا حصلنا في أحد العمليات على نتيجة متجهة تربط بين نقطتين من نفس النوع ( يعني أصلها ورأسها نفس النقطة) فهذه هي المتجهة المنعدمة ونرمز لها كما في الصورة:

👈 في هذه الحالة، فإن المتجهة المنعدمة لا منحى لها، ولا حامل لها ولا طول لها (تكون المسافة بين النقطتين منعدمة ( تساوي 0))

👈 يعني أن المتجهة المنعدمة يقابلها 0 عند التعامل مع الكميات العددية، ويتم توظيفها عند القيام بتبسيط تعابير مكونة من عدة متجهات كما سنرى في الفقرات المقبلة.

2- تساوي متجهتين (Egalité de deux vecteurs) 

👈 تحدثنا أيضا على أن المتجهة يحددها ثلاثة عناصر، وهي:

- طول المتجهة والذي نعبر عنه بالمسافة بين طرفي المتجهة

- حامل المتجهة (وهناك من يسميه اتجاه المتجهة) وهو المستقيم الحامل للمتجهة.

- منحى المتجهة وهو المنحى الذي يشير إليه السهم الممثل على المتجهة. 

👈 فنقول إذن أن متجهتين متساويتين، إذا تحققت كل هذه الشروط:

- لهما نفس الطول (نفس المسافة بين النقطتين المحددتين لكل متجهة) 

- لهما نفس الحامل  أو لها حاملان متوازيان

- لهما نفس المنحى

👈 لنأخذ الأمثلة التالية:

◀ في الحالة الأولى المتجهة AB   والمتجهة CD لهما نفس الطول ولهما نفس المنحى، لكن ليس لهما نفس الحامل لأنهما غير متوازيين وبالتالي فإن المتجهتين غير متساويتين.

◀ في الحالة الثانية  المتجهة  AB  والمتجهة CD لهما نفس الطول ولهما نفس الحامل (لأنهما متوازيين) لكن ليس لهما نفس المنحى ( منحيان متعاكسان) وبالتالي فإن المتجهتين غير متساويتين.

◀ في الحالة الثالثة المتجهة  AB  والمتجهة CD لهما نفس المنحى ونفس الحامل (لأنهما متوازيين) لكن ليس لهما نفس الطول ( طول إحداهما أكبر من طول الأخر) وبالتالي فإن المتجهتين غير متساويتين.

◀ في الحالة الرابعة المتجهة  AB  والمتجهة CD لهما نفس الطول ونفس المنحى ونفس الحامل (لإنهما متوازيان)، وبالتالي فإن المتجهتين متساويتين.

👈 نقترح هنا مثالا لتساوي متجهتين: 

◀ في متوازي أضلاع ABCD لدينا:

- الطول AB يساوي الطول CD، لأن كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متقايسان.

- المستقيم (AB) يوازي المستقيم  (CD)، لأن كل مستقيمين متقابلين في متوازي الأضلاع متوازيان.

- منحى الانتقال من النقطة A نحو النقطة B، هو نفسه منحى الانتقال من النقطة D نحو النقطة C.

◀ من هنا نستنتج أن المتجهتين AB و  DC متساويتان. 

👈 وبنفس الطريقة نستنتج أنه في متوازي الأضلاع ABCD لدينا:

  BA = CD 

  AD = BC 

 DA = CB

 لكن في نظرك هل AC = DB؟؟ ( فقط لاحظ هل تحققت جميع الشروط السابقة أم لا؟)

👈 والعكس أيضا صحيح، أي أنه إذا تحقق تساوي متجهتين، فإن رؤوس هاتين المتجهتين تشكلان متوازي الأضلاع ( رأينا ذلك في الفقرة السابقة) شرط أن تكون هذه الرؤوس غير مستقيمية:

👈 ماذا لو كانت هذه الرؤوس مستقيمية؟؟

👈 في حالة استقامية النقط، إذا تحقق تساوي متجهتين، فهذا يعني أن:

- للمتجهتين نفس الطول

- لهما نفس الحامل (يعني أن حامليهما منطبقان)

- لهما نفس المنحى  

👈 وفي حالة  ثلاث نقط فقط، إذا تحقق تساوي متجهتين فإن إحدى هاته النقط منتصف القطعة التي طرفاها النقطتين الأخريين. 

👈 تحدثنا إلى حدود الساعة عن تساوي متجهتين، فهل يمكن الحديث عن عدة متجهات متساوية؟؟

👈 نعم يمكن أن يكون عدد لا نهاية له من المتجهات متساويا، فقط يجب تحقق الشروط السابقة، ومن هنا نستنتج أنه بإمكان رسم عدد لا متناه من المتجهات تساوي متجهة واحدة 

👈 وتلاحظون أنه إذا قمنا بربط رأسي وطرفي كل متجهتين من هذه المتجهات سنحصل على متوازي الأضلاع.

3- مقابل متجهة (Opposé du vecteur)

👈 تحدثنا في الأعداد عن المقابل، وهو نفس العدد ويحمل إشارة مختلفة عن الأول، مثلا: مقابل العدد 3 هو 3-، مقابل العدد 5,23- هو العدد 5,23، وهكذا ... العدد ومقابله يبعدان بنفس المسافة عن أصل المستقيم المدرج ( يمكن الرجوع إلى درس الأعداد النسبية للمزيد من التوضيحات بالنقر على الرابط من هنا)

👈 في المتجهات أيضا، يوجد ما نسميه بمقابل متجهة، والذي يميز بينهما هو ما يلي:

- لهما نفس الطول

- لهما نفس الحامل ( متوازيان أو منطبقان)

- لكن، لهما منحيين متعاكسان.

👈 ونرمز بنفس طريقة الأعداد أي اننا نضيف الرمز ناقص إلى المتجهة. مثلا:

👈 في الأعداد، العدد لا يساوي مقابله، أيضا في المتجهات، المتجهة لا تساوي مقابلها، بل تساوي مقابل مقابلها : 

👈 كما نعلم أن مجموع عددين متقابلين يساوي 0، أيضا مجموع متجهتين متقابلتين يساوي المتجهة المنعدمة. 

4- مجموع متجهتين (Somme de deux vecteurs)

👈 يمكن حساب مجموع متجهتين انطلاقا من ثلاث حالات:

◀ الحالة الأولى: إذا كان رأس إحدى المتجهتين هو نفسه أصل المتجهة الأخرى، 

👈 في هذه الحالة، فإن مجموع المتجهتين يساوي متجهة طرفها طرف أحد المتجهتين ورأسها رأس المتجهة الأخرى على الشكل التالي:

👈 هذه العلاقة معروفة بعلاقة شال (Relation de Chasles)، ويتم تمثيلها على الشكل التالي: 

👈 نستعمل هذه العلاقة لتبسيط تعابير مكونة من مجموعة من المتجهات، حيث نبحث عن متجهتين تتابع فيهما نفس الأحرف، أي يكون آخر حرف فيها هو نفسه الذي تبدأ بها الأخرى، فيتم اختصارهما بحذف ذلك الحرف والإبقاء على الحرفية الآخرين. مثال: 

◀ الحالة الثاني: إذا كان للمتجهتين نفس الأصل.

👈 في هذه الحالة، مجموع المتجهتين هو متجهة أصلها هو نفس الأصل، ورأسها هو الرأس الرابع لمتوازي الأضلاع رؤوسه الثلاث الأخرى هي النقط الثلاث المكونة للمتجهتين. 

👈 تلاحظون أننا استعملنا الحالة السابقة ( علاقة شال) للوصول إلى هذه النتيجة: 

👈 نستعمل هذا المجموع، غالبا، عندما يطلب منا رسم متجهة كمجموع متجهتين، مثال: 

◀الحالة الثالثة والأخيرة: جميع الحالات الأخرى ( أي إذا لم تتحقق الحالات السابقة)

👈 في هذه الحالة نعيد رسم متجهة ثالثة مساوية لأحدى المتجهتين بحيث يكون  رأسها مطابق لأصل إحدى المتجهتين. أو يكون أصلها مطابق لرأس إحدى المتجهتين. 

👈 هل يمكن حساب مجموع عدة متجهات؟

👈 نعم يمكن ذلك، فقط نبحث عن المتجهتين اللتان يمكن جمعهما بتطبيق لعلاقة شال، ثم نمر إلى المتجهة الأخرى.. وهكذا حتى ننتهي من جميع الحالات الممكنة. وقد رأينا ذلك في أحد الأمثلة السابقة.

5- فرق متجهتين (Différence de deux vecteurs)

👈  عند التعامل مع الأعداد، نعلم أن الفرق في حد ذاته مجموع، لأننا يمكن تحويل فرق عددين إلى مجموع.

مثلا:  (3-) +4 = 3 - 4

👈 بنفس الطريقة يمكن أن نتعامل مع المتجهات، أي إذا أردنا حساب فرق متجهتين نحول الفرق إلى مجموع، ثم نطبق خاصية المتجهة المقابلة ( انظر الفقرة الثالثة)  

👈 ويتم أيضا توظيف هذه الطريقة لتبسيط تعبير يحتوي على عدة متجهات، وكمثال على ذلك: 

👈 تلاحظون أن عند تبسيط تعبير يحتوي على جمع و فرق متجهات، نحول أولا الفرق إلى الجمع ثم نبحث عن المتجهتين اللتين يمكن تطبيق علاقة شال عليهما، ثم نمر إلى المتجهة الأخرى إلى أن أحصل على نتيجة لا يمكن بعد إجراء العملية عليها.

6- جداء متجهتين (Produit de deux vecteurs)

👈 جداء متجهتين يتطلب معارف أخرى لم نتطرق إليها بعد، لذا سنتركه إلى درس لاحق إن شاء الله، وسنضع رابطه هنا فور نشره على موقعنا.

7- جداء متجهة في عدد (Produit d’un vecteur par un nombre)

👈 لا يمكن إجراء عملية جمع متجهة مع عدد أو طرح متجهة من عدد، وعكس ذلك يمكن ضرب متجهة في عدد فنحصل على متجهة أخرى، فكيف ستكون هذه المتجهة؟

◀ لها نفس حامل المتجهة الأولى

◀ طولها يساوي طول المتجهة الأولى مضروب في القيمة المطلقة للعدد.

◀ منحاها حسب العدد:

• فإذا كان عددا موجبا يكون لها نفس منحى المتجهة الأولى: 

• وإذا كان عددا سالبا، يكون لها منحى معاكس للمتجهة الأولى. 

👈 ويمكن تلخيص ما سبق في الخاصية التالية: 

✤ملاحظات هامة:

👈 عند ضرب أي متجهة في صفر (0) فإننا نحصل على المتجهة المنعدمة.

👈 عند ضرب أي متجهة في واحد (1) فإننا نحصل على نفس المتجهة. 

👈 عند ضرب أي متجهة في (1-)، فإننا نحصل على المتجهة المقابلة. 

👈 عند ضرب أي متجهة في عدد محصور بين 0 و 1 ( أو محصور بين 1- و 0)، فإننا نحصل على متجهة طولها أصغر من المتجهة الأولى

👈 عند ضرب أي متجهة في عدد أكبر من 1 ( أو أصغر من 1-)، فإننا نحصل على متجهة طولها أكبر من المتجهة الأولى

وتوضح الصورة التالية هذه الخصائص:

👈 يمكن نقل العدد المرافق للمتجهة إلى المتجهة الأخرى بضربه في مقلوبه. 

👈 عند ضرب متجهة في عدد، نحصل على متجهة لها نفس حامل المتجهة الأولى، فيكونان إما متوازيين، أو منطبقان:

• منطبقان إذا كان بين المتجهتين نقطة مشتركة، فتكون النقط مستقيمية.  

• متوازيان إذا كانت النقط الأربعة مستقلة ولا توجد على استقامة واحدة.

👈 يمكن تطبيق كل هذه الملاحظات:

- لرسم متجهة حسب معطيات معينة،

- لإثبات علاقة معينة،

- وأيضا لتبسيط تعبير يحتوي على متجهات 

هذا المثال يبين لنا طريقة تحديد مكان النقطة M حتى تتحقق العلاقة:

هذا المثال يبين كيف وظفنا ما سبق للبرهنة على علاقة:

هذا المثال يوضح لنا طريقة توظيف ما سبق لتبسيط تعبير متجهي:

 

إحداثيات متجهة

👈 تحدثنا في أحد المقالات السابقة عن الإحداثيات، قلنا إن الإحداثيات هي مجموعة من العناصر التي تساعدنا على تحديد موقع معين على مستقيم أو مستوى أو فضاء. تحدثنا فيه عن إحداثيات النقطة وفق مختلف أنواع المعالم ( المستقيم المدرج، المعلم في المستوى، المعلم في الفضاء) يمكن الرجوع إلى المقال بالنقر على الرابط من هنا.

👈 في هذه الفقرة سنتحدث عن إحداثيات المتجهة، فكيف إذن يتم تحديدها؟؟

👈 نعلم أن للمتجهة أصل ورأس عبارة عن نقطتين. فكما أن للنقطة إحداثيات فإن للمتجهة أيضا إحداثيات.

👈 أي أنه لتحديد إحداثيات متجهة ننطلق من إحداثيات النقطتين (الأصل والرأس)،فيكون:

- أفصولها هو أفصول رأس المتجهة ناقص أفصول أصلها.

- وأرتوبها هو أرتوب رأس المتجهة ناقص أرتوب أصلها.

 ونعبر عن ذلك بلغة الرياضيات كما يلي:

👈مثال: 

✤ملاحظات 

👈 إذا كان أرتوب المتجهة يساوي 0 فإن حامل هذه المتجهة يوازي (أو يطابق) محور الأفاصيل. 

👈 إذا كان أفصول المتجهة يساوي 0 فإن حامل هذه المتجهة يوازي (أو يطابق) محور الأراتيب. 

👈 كل متجهتين متساويتين (أو أكثر) لهما نفس الإحداثيات. رغم اختلاف إحداثيات أصولها ورؤوسها:

مثلا:

👈 إحداثيات مجموع متجهتين يساوي مجموع إحداثيات المتجهتين: أفصولها  يساوي مجموع الأفصولين، وأرتوبها يساوي مجموع الأرتوبين:

مثلا:

الإحداثيات بصيغة أخرى

👈 توجد طريقة أخرى، لتحديد إحداثيات متجهة، (تدرس ابتداء من مستوى الجدع المشترك) وهي أننا نتعامل مع المتجهات بدل النقط داخل المعلم، أي أننا نقوم بتعويض وحدة المعلم بمتجهة الوحدة كما تبين الصورة التالية:

👈 يعني أنه لتحديد إحداثيات متجهة نحدد عدد مرات تكرار المتجهة على محور الأفاصيل وعدد مرات تكرارها على محور الأراتيب. 

👈 تلاحظون أنه لتحديد الإحداثيات، تم توظيف متجهتين، إحداهما حاملها مواز لمحور الأفاصيل والأخرى حاملها مواز لمحور الأراتيب.

👈 لذا يمكن كتابة إحداثيات متجهة بصيغة أخرى بدلالة متجهتي الوحدة (Vecteurs unitaires) وهما المتجهتين i  و j ، كما توضح الصورة:

👈 وهذه الطريقة هي الأكثر استعمالا لأنها تسهل علينا تحديد الإحداثيات عند ضرب متجهة في عدد أو جمع  متجهات أو طرحها فيما بينها. 

الإزاحـــــة:

👈 الإزاحة هي تحويل هندسي مهم في الرياضيات، واستخداماتها متعددة في الرياضيات والعلوم الأخرى.إلى جانب التحويلات الهندسية الأخرى كالتماثل المحوري والمركزي والدوران والتحاكي، والذي يميز الإزاحة عن باقي التحويلات الهندسية هو أنها مرتبطة مفاهيميًا بمفهوم المتجهة، وقد تطرقنا إلى موضوع التحويلات الهندسية تطرقنا فيه إلى الطريقة التي يتم اعتمادها في رسم صورة شكل باستعمال هذه التحويلات، يمكن الرجوع إليه لأخذ فكرة عامة حولها خاصة تلك المتعلقة بالإزاحة من خلال الرابط من هنا.

👈 في هذه الفقرة سنتحدث عما يميز الإزاحة من خصائص، لكونها مرتبطة ارتباطا وثيقا بمفهوم المتجهة.

✶الخاصية الأولى:

👈 صورة نقطة بإزاحة هي نقطة أخرى بحيث تكون المتجهة التي أصلها النقطة ورأسها صورة النقطة تساوي متجهة الإزاحة، وبلغة الرياضيات نكتب: 

✶ الخاصية الثانية: 

👈 صورة قطعة بواسطة إزاحة هي قطعة لها نفس الطول، فنقول إن الإزاحة تحافظ على الطول (La translation conserve les longueurs) 

✶ الخاصية الثالثة:

👈 صورة ثلاث نقط مستقيمية بإزاحة، هي ثلاث نقط مستقيمية أيضا، فنقول إن الإزاحة تحافظ على استقامية النقط (La translation conserve l’alignement des points )  

✶ الخاصية الرابعة:

👈 صورة مستقيم بإزاحة هو مستقيم يوازيه. 

✶ الخاصية الخامسة:

👈 صورة زاوية بإزاحة هي زاوية لها نفس القياس. فنقول إن الإزاحة تحافظ على قياس الزوايا (La translation conserve les mesures des angles) 

✶ الخاصية السادسة:

👈 صورة دائرة بإزاحة هي دائرة أخرى لها نفس الشعاع ومركزها هو صورة مركز الدائرة الأولى بنفس الإزاحة. 

👈كل هذه الخصائص يتم توظيفها في البرهان، وكمثال على ذلك نقترح ما يلي: 

👈 تلاحظون أننا وظفنا خاصية الحفاظ على الطول، ويمكن البرهنة أيضا بتوظيف خاصية الحفاظ على قياس الزوايا.

أنشطة التدريب

نقترح عليكم هذه الأنشطة التي تم تحميلها من أحد المواقع الخاصة بالرياضيات:

 

👈 كما يمكن الانتقال إلى هذه التدوينة للتعرف على بعض الأنشطة التي تم طرحها في الامتحانات السابقة، اخترناها لكم للاستئناس بها والتدريب عليها

رابط الانتقال من هنا. 

خلاصة: 

تلكم أهم ما يتعلق بأساسيات المتجهات في الرياضيات، على أساس أننا سنرجع إلى هذا الموضوع ونتعمق فيه أكثر في درس آخر إن شاء الله. ففهمكم لهذه الأساسيات تساعد في فهم الكثير من المفاهيم سواء في الرياضيات أو الفيزياء، نتمنى أن نكون قد تحدثنا عن كل ما يخص الموضوع، كما نتمنى أن تكونوا قد استوعبتم كل ما يتعلق بمفهوم المتجهة في الرياضيات، ونتمنى أيضا أن تقوموا بنشر الدرس ومشاركته مع أصدقائكم أو أقاربكم المهتمين، كي تعم الفائدة الجميع. والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته.