المعادلات في الرياضيات

المعادلات، أنواع المعادلات، حل المعادلات، طريقة حل المعادلات، معادلات من الدرجة ألولى بمجهول واحد، معادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد، مراحل حل المعادلات، مراحل حل المسائل في الرياضيات

تحدثنا في مقال سابق عن التعابير الجبرية في الرياضيات والفرق بينها وبين التعابير العددية والغاية التي من أجلها تم الانتقال من التعابير العددية نحو التعابير الجبرية وغيرها من الأشياء المتعلقة بالتعبير الجبري... كما رأينا مختلف العمليات التي يمكن إنجازها على التعابير الجبرية في مستويات مرحلة الإعدادية، ومن هذه العمليات ما نحن بصدده في هذا المقال: حل المعادلات.

← يمكن الانتقال إلى مقال "من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي" من هنا.

👈 سنتحدث في هذا المقال عن مفهوم المعادلات وأنواعها وطرق التعامل معها من أجل الوصول إلى الحل أو الحلول الممكنة لها، بعدما تحدثنا في مقالات سابقة عن مختلف العمليات التي يمكن إنجازها على التعابير الجبرية وهي تبسيط التعابير الرياضياتية وعمليتي النشر والتعميل، والسبب الذي جعلنا نتحدث عن هذه المواضيع قبل الانتقال إلى موضوع المعادلات هو أن التمكن من حل المعادلات يتطلب التمكن أولا من العمليات الأخرى (التبسيط، النشر، التعميل). إذ أن المتعلم إذا استوعب طرق ومنهجيات التعامل مع التعابير الجبرية تبسيطا ونشرا وتعميلا، سيتمكن دون أدنى شك من حل المعادلات كيفما كان نوعها.

← الانتقال إلى درس تبسيط العمليات الجبرية

← الانتقال إلى درس النشر والتعميل

"بعد قراءتكم لهذا المقال ستتعرفون على المعادلات وستكتشفون أنواع المعادلات ومختلف الاستراتيجيات المتبعة لحلها"

👈 تعتبر المعادلات أحد أهم الأدوات في الرياضيات، فهي بمثابة الجمل التي تربط بين الأعداد والمتغيرات، وتستخدم لحل مجموعة واسعة من المشكلات في الرياضيات وفي كثير من العلوم الأخرى وأيضا في الحياة اليومية، فكثيرا ما يتم اللجوء إلى المعادلات لحل بعض الألغاز المنطقية.

مثال توضيحي لاستعمال المعادلات نجد أمثاله كثيرا كتحديات في مواقع التواصل الاجتماعي:

↤ المطلوب من خلال الصورة هو تحديد المجموع، انطلاقا من المعطيات التي تسبقه.

↤ وللوصول إلى الحل ننطلق من المعطى الأول، ونطرح السؤال: ما هو العدد الذي نضربه في نفسه ونحصل على 16؟

↤ نجرب: 1=1×1 ، 4=2×2 ، 9=3×3 ، 16=4×4

↤ فيكون الجواب هو 4، أذن، البطة تمثل العدد 4

↤ نعود إلى المعطى الثاني، لدي عددين معلومين هما 36 و4 وعددين مجهولين من نفس النوع،

↤ نقوم بقسمة 36 على 4 والذي يساوي 9

↤ ونبحث مرة أخرى عن العدد الذي نضربه في نفسه ونحصل على 9، هذا العدد هو 3، إذن، الطائر يمثل الرقم 3

↤ وفي الأخير نستنتج أن المجموع يساوي 7 (الطائر الذي يمثل 3 + البطة التي تمثل 4)

👈هذا نموذج مبسط للمعادلات، تم استعمال فيها الرموز والأشياء بدل الأعداد والحروف. يمكن تحويل هذا النموذج إلى صيغ جبرية على شكل معادلة نبحث عن حلها باتباع طرق معينة.

1- ما هي المعادلة في الرياضيات؟

👈 تحدثنا في مقال سابق عن التعابير الجبرية ومكوناته والفرق بينه وبين التعابير العددية يمكن الرجوع إلى المقال من هنا للتعمق أكثر في هذا الموضوع.

👈 المعادلة هي أيضا تعبير يتضمن تعبيرين جبريين بينهما علامة التساوي (=)، أي أنه عندما نريد كتابة معادلة سيكون لدينا تعبير على الطرف الأيسر وتعبير آخر على الطرف الأيمن وتكون بينهما علامة يساوي (=)، لأن التعبيرين يجب أن يكونا مساويين لبعضهما البعض: (الجانب الأيسر = الجانب الأيمن)، غير ذلك ليس بمعادلة في الرياضيات. أمثلة:

2- عناصر المعادلة

👈 رأينا في الفقرة السابقة أن المعادلة عبارة عن تعبيرين جبريين، ورأينا في موضوع آخر مكونات التعبير الجبري وهي: الحدود، العوامل، المتغيرات، الثوابت، فالمعادلة أيضا تتضمن هذه العناصر إضافة إلى الرمز (=) الذي تتميز به المعادلة عن التعابير الجبرية الأخرى.

👈 ليس ضروريا أن تحتوي المعادلة على حدود متعددة على أي من الجانبين، بها متغيرات ومعاملات، كما يمكن أيضًا تكوين معادلة بدون متغيرات، على سبيل المثال، 15 = 10 + 5، تسمى هذه المعادلة معادلة حسابية. وعلى عكس ذلك، فإن المعادلة ذات المتغيرات هي معادلة جبرية.

👈 لاحظ الصورة للتعرف على عناصر المعادلة.

3- من المعادلة الحسابية نحو المعادلة الجبرية

👈 هل تصدقونني إن قلت لكم أنكم قد تعاملتم مع المعادلات منذ السنة الأولى من التعليم الابتدائي؟؟

نعم عندما كنتم تتعلمون الجمع والطرح وتحاولون حل مسائل مرتبطة بها، كنتم تتعاملون مع المعادلات، وهذه صور لبعض الأنشطة المقتطفة من كتاب الرياضيات للمستوى الأول:

👈 ونفس الأمر في المستويات الأخرى عندما كنتم تتعلمون الضرب والقسمة. هذه المعادلات نسميها كما أشرنا إلى ذلك في الفقرة السابقة بالمعادلات الحسابية، الفرق يكمن فقط في كون المتعلم يتعامل في هذه المرحلة مع الأعداد فقط دون اللجوء إلى الحروف أو الرموز، وفي المرحلة الإعدادية، وبعد أخذ فكرة عن الحساب الحرفي (أو الحساب الجبري) والتعرف على ما يميزه، يتم اللجوء إلى توظيف الحروف كمتغيرات أو مجاهيل في المعادلات، والانتقال من المعادلات الحسابية إلى المعادلات الجبرية.

👈 وإليكم التأويل الجبري للمعادلات الحسابية المبينة في الصور السابقة:

4- أنواع المعادلات الجبرية في الرياضيات

👈 تنقسم المعادلات الجبرية حسب أعلى درجة قوة المتغير إلى ثلاثة أنواع وهي:

✹النوع الأول: المعادلات الخطية (Équations linéaires) وهي المعادلة التي يكون فيها أعلى قوة للمتغير دائمًا هو 1، وتدعى أيضا المعادلات من الدرجة الأولى، وتكتب باختصار على الشكل التالي:

أمثلة.

ملاحظات:

← يمكن أن تتضمن المعادلة الخطية أكثر من مجهولين.

← التأويل الهندسي لهذه المعادلة أي عندما يتم رسمها بيانيًا، فإننا نحصل دائمًا على خط مستقيم. وهذا هو السبب وراء تسميتها بالمعادلة "الخطية". وسنتعرف لاحقا على أن معادلة مستقيم تكتب على الشكل: y=ax+b

✹النوع الثاني: المعادلات التربيعية (Équations quadratiques)، إذا كان المجهول مرفوعا إلى الأس 2، نتحدث هنا عن المعادلات من الدرجة الثانية (Equation du second degré) أو المعادلات التربيعية. ويتم كتابتها اختصارا على الشكل التالي:

أمثلة:

ملاحظة: يجب أن يكون a≠0، أما إذا كان a=0 سنحصل على معادلة من الدرجة الأولى.

وسنكتفي هنا (في هذا المقال) بالحديث عن المعادلات من الدرجة الثانية التي تؤول في حلها إلى معادلات من الدرجة الأولى، أي تلك التي يمكن تحويلها إلى معادلات من الدرجة الأولى ويتم بعد ذلك حلها، سنرى ذلك في الفقرة الموالية.

✹النوع الثالث: المعادلات التكعيبية (Équations cubiques)، وهي المعادلات التي يكون فيها المجهول مرفوعا إلى الأس 3، وتسمى أيضا المعادلات من الدرجة الثالثة. يتم كتابتها اختصارا على الشكل التالي:

ملاحظة: هذا النوع من المعادلات غير مبرمجة في المرحلة الإعدادية، سنتطرق إليه لاحقا في موضوع آخر إلى جانب أنواع أخرى من المعادلات غير المذكورة هنا في هذا المقال لأن هذه الأنواع تصنف ضمن مستوى متقدم في تعلم المعادلات.

5- كيف يتم حل المعادلات؟؟

👈 إلى حد الآن تعرفنا على المعادلة ومكوناتها وبعض أنواعها، فماذا يعني إذن حل المعادلة؟؟

👈 بما أن المعادلة تحتوي على مجهول واحد على الأقل، فإن حلها يعني البحث بطرق معينة وممنهجة عن قيمة هذا المجهول ضمن هذه المعادلة.

👈 سنكتشف معا من خلال الأمثلة والأنشطة التطبيقية التي نرافقها مع الدرس، أن هناك معادلات تقبل حلا وحيدا، وهناك أخرى تقبل أكثر من حل، وهناك معادلات ليس لها حل أصلا، وهناك معادلات تقبل جميع الأعداد كحل لها... حسب نوعية المعادلات وطبيعتها، بل هناك بعض المعادلات لم يستطيع علماء الرياضيات الوصول إلى حلها إلى حد كتابة هذه السطور.

👈 لنرجع إلى المثال السابق الذي أخذناه من كتاب الرياضيات للمستوى الأول ابتدائي: وطلبت منك حل هذه المعادلة :

↤ ستقوم بالبحث عن العدد الذي يحقق 8=...+6، وهذا البحث الذي ستقوم به يختلف من تلميذ إلى آخر،

↤ فمنهم مثلا من يجرب، ويضيف في كل مرة عددا إلى 6 حتى يصل إلى 8

↤ ومنهم من يستعين بوسائل مساعدة للوصول إلى الحل (استعمال الأصابيع مثلا)

↤ ومنهم من يوظف عملية الطرح (كعملية عكسية للجمع) ويقوم بحساب 6-8

↤ ومنهم من يجيب مباشرة لأنه يحسن إجراء مثل هذه العمليات

↤ وهكذا...

👈 كل هذه الطرق هي طرق مختلفة وصحيحة للبحث عن حل هذه المعادلة، رغم أنها متعددة لكنها تؤدي إلى نتيجة واحدة.

👈 لكن بتوظيف المعادلات الجبرية التي تتضمن مجهولا يرمز له بحرف معين، يسهل علينا حل المعادلات والوصول إلى الحل عن طريق تتبع مراحل منهجية موحدة وسهلة التطبيق إن فهمنا كيف نقوم بها.

👈 هذه المراحل هي التي سنقوم بشرحها هنا.

◀ توجد مراحل عامة يتم تطبيقها على جميع أنواع المعادلات وأيضا حل المسائل، وهي كالآتي:

- قراءة المعادلة جيدا

- التعرف على المجاهيل ودرجتها ومعاملاتها والتمييز بينها وبين الثوابت

- محاولة حل المعادلة

- التحقق من الحل، عن طريق تعويض المجهول بالقيمة التي تم التوصل إليها، فإذا كان التعبيران المكونان للمعادلة متساويين فإن الحل المتوصل إليه صحيح، وإلا فيجب الرجوع إلى البداية ومراجعة الحل.

◀ وحل المعادلات يختلف حسب نوعية هذه المعادلات:

أولا: مراحل حل المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

👈 سبق وأن أشرنا وشرحنا هذا النوع من المعادلات (الفقرة السابقة)، فالمعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي المعادلات التي يكون فيها المجهول مرفوع إلى الأس1 (أي نفس العدد) وتتضمن مجهولا واحدا، وهذا المجهول يمكن أن يتكرر في المعادلة (سواء على الجانب الأيمن أو الأيسر) عدة مرات، كما يمكن أن تتكرر الأعداد الثابتة عدة مرات أيضا إذن:

✹أول مرحلة يجب القيام بها هي ضم الحدود التي تتضمن المجهول ومعاملاته جنبا إلى جنب ووضعها في إحدى الجانبين وضم الحدود التي تتضمن الثوابت (الأعداد المعلومة) ووضعها في الجانب الآخر، لكن يجب الانتباه إلى وضع الإشارتين: زائد (+) وناقص (-):

⇐عند نقل الحد داخل نفس التعبير (نفس الجانب) نحافظ على الإشارة المرافقة له،

⇐ وعند نقل الحد من جانب إلى آخر نقوم بعكس الإشارة المرافقة له.

أمثلة

✹المرحلة الثانية هي تبسيط الحدود المتشابهة من خلال القيام بالجمع أو الطرح، كما رأينا في مقال حول تبسيط التعابير الرياضياتية (يمكن الرجوع إليه من هنا) والحدود المتشابهة في المعادلات بعد إتمام المرحلة الأولى هي الحدود الموجودة في كل جانب من الجانبين:

لنأخذ الأمثلة السابقة:

✹المرحلة الثالثة، هي التخلص من المعامل المرافق للمجهول، كي يبقى المجهول وحيدا، وذلك بضرب كل جهة في مقلوب هذا المعامل.

ما هو المقلوب؟؟ لاحظ الأمثلة:

✹المرحلة الأخيرة هي مرحلة التحقق، أي أننا نقوم بتعويض المجهول بالقيمة التي توصلنا إليها، ثم نقوم بحساب التعبير الموجود على كل جانب، فإذا توصلنا إلى نفس النتيجة يعني أنهما متساويان وبالتالي حل المعادلة صحيح.

أما إذا لم نتوصل إلى نفس النتيجة فإن الحل غير صحيح، ونحتاج إلى العودة إلى البداية من جديد ومراجعة المراحل السابقة.

نعود مرة أخرى إلى الأمثلة السابقة:

ملاحظات:

↤ مع مرور الوقت وتكثيف إنجاز التمارين المتعلقة بالمعادلات سيتعود المتعلم هذه المراحل ويختصرها ويتمكن من حل المعادلات في وقت وجهد أقل. لاحظ هذا المثال وقم بمقارنته مع طريقة عرض المثال الثالث من الأمثلة السابقة:

↤ أحيانا يجب القيام بعملية النشر لإزالة الأقواس قبل تطبيق المراحل السابقة:

↤ بالنسبة لتواجد الكسور في المعادلة، من الأحسن التخلص منها بعد توحيد المقام قبل تطبيق المراحل السابقة:

ثانيا: مراحل حل معادلات من الدرجة الثانية التي يؤول حلها إلى حل معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

👈 تحدثنا أيضا في الفقرة السابقة عن المعادلات من الدرجة الثانية، وحل هذا النوع من المعادلات له قواعده الخاصة ونترك الحديث عنه إلى فرصة مقبلة إن شاء الله،

👈 وسنكتفي بالحديث عن مراحل حل المعادلات من الدرجة الثانية التي تؤول في حلها إلى معادلات من الدرجة الأولى، أي تلك المعادلات التي يمكن تحويلها إلى معادلات من الدرجة الأولى ويتم بعد ذلك حلها.

👈 هذا النوع من المعادلات إما أن يكون على شكل معادلة الجداء المنعدم (Equation produit nul)، أو يتم تأويلها إلى معادلة الجداء المنعدم، فماذا نقصد بمعادلة الجداء المنعدم؟؟

تقول قاعدة معادلة الجداء المنعدم: " إذا كان جداء عاملين يساوي الصفر (0)، فإن أحدهما يساوي الصفر (0)" وبتعبير الرياضيات:

أمثلة:

👈 من خلال هذا المثال ، تلاحظون أننا انطلقنا من معادلة من الدرجة الثانية (لأننا لو قمنا بنشر المعادلة سنحصل على مجهول مرفوع إلى الأس 2) ثم قمنا بتحويلها إلى معادلتين من الدرجة الأولى بمجهول واحد، ولحلهما نتبع نفس الخطوات التي رأيناها في طريقة حل المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد:

👈 تلاحظون أن هذا النوع من المعادلات لها حلين وليس حل واحد كما رأينا سابقا. يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض المجهول بقيمتيه في المعادلة.

👈 هذا فيما يخص المعادلات التي هي على شكل معادلة الجداء المنعدم، ما العمل بالنسبة للمعادلات التي يتم تأويلها إلى معادلة الجداء المنعدم؟؟

بالنسبة لهذا النوع نستحضر معنا قواعد التعميل وخاصة تلك المتعلقة بالمتطابقات الهامة (يمكن الرجوع إلى درس النشر والتعميل للمزيد من التوضيحات)، كيف ذلك؟؟

لنأخذ هذه الأمثلة:

المثال الأول: في هذا المثال حولنا المعادلة من معادلة من الدرجة الثانية إلى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بتطبيق المتطابقة الهامة الأولى.

↤ يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض المجهول بقيمته في المعادلة.

المثال الثاني: في هذا المثال حولنا المعادلة من الدرجة الثانية إلى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بتطبيق للمتطابقة الهامة الثانية.

↤ يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض المجهول بقيمته في المعادلة.

المثال الثالث: في هذا المثال قمنا بتحويل المعادلة من الدرجة الثانية إلى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بتطبيق للمتطابقة الهامة الثالثة.

↤ يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض المجهول بقيمتيه في المعادلة.

المثال الرابع: في هذا المثال قمنا بتحويل المعادلة من الدرجة الثانية إلى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد عن طريق التعميل بالمجهول.

↤ يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض المجهول بقيمتيه في المعادلة.

👈 تلاحظون أنه للقيام بهذه الطريقة، يجب تحويل إحدى جانبي المعادلة إلى الجانب الآخر حتى يكون التعبير يساوي الصفر (0)، كي يتم تطبيق قاعدة معادلة الجداء المنعدم.

👈 أما إذا كان ذلك غير ممكن أي إذا قمنا بتحويل إحدى جانبي المعادلة إلى الجانب الآخر ولم نحصل على إمكانية التعميل سواء بالطريقة المباشرة (العامل المشترك) أو بتطبيق المتطابقات الهامة، في هذه الحالة لا يمكن حل المعادلة بتطبيق قاعدة معادلة الجداء المنعدم (Equation produit nul)، بل يجب البحث عن طريقة أخرى، وفي المرحلة الإعدادية لا يمكن طلب حل مثل هذه المعادلات إلا في حالة ما إذا كان بالإمكان تحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الأولى،

لاحظ المثال التالي:

الأساس والمهم عند حل معادلة من الدرجة الثانية هو يجب البحث عن طريقة لتحويلها إلى معادلة من الدرجة الأولى:
- إما بالتعميل وتطبيق معادلة الجداء المنعدم
- أو بالنشر للتخلص من المجهول المرفوع إلى الدرجة الثانية.
ثم نطبق المراحل السابقة التي رأيناها لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

6- كيف يتم كتابة المعادلة

👈 في مقال سابق حول الانتقال من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي، في المرحلة الإعدادية، تطرقنا فيه إلى مجموعة من التعاريف والخصائص التي تميز الحساب الحرفي وأيضا دواعي الانتقال إلى الحساب الحرفي، كما رأينا في نفس المقال مراحل صياغة التعبير الحرفي، أي تحويل نص مسألة بصيغته اللغوية إلى تعبير بصيغة الرياضيات، هذه العملية تسمى أيضا كتابة المعادلة انطلاقا من نص مسألة في الرياضيات.

لذا للتعرف على مراحل كتابة المعادلة، يمكن الرجوع إلى هذا المقال بالنقر هنا ( الفقرة الخامسة)، فلا داعي لإعادة ذكرها مرة أخرى هنا.

7- خاتمة

👈 تلكم أهم ما يمكن ذكره بخصوص المعادلات في الرياضيات، لكن، بطبيعة الحال، ليس كل ما يتعلق بها، فالمعادلات بحر شاسع يستحيل التعمق والغوص فيه منذ الوهلة الأولى، إذ يتطلب أولا التوفر على معدات وتقنيات الغوص وهي هنا التقنيات والمهارات التي يجب اكتسابها للتعامل مع المعادلات وأنواعها المختلفة مستقبلا.

نتمنى أن نكون قد قمنا بتوصيل فكرة التعامل مع المعادلات المبرمجة في المرحلة الإعدادية، ونتمنى أن تكونوا قد استوعبتم هذه الفكرة، وإذا استفدتم وأعجبكم الموضوع فقوموا، وهذا فضل وليس أمر، بنشره حتى تعم الفائدة.

8- تطبيقات