تبسيط التعابير الجبرية

 تبسيط التعابير الجبرية، Simplification des expressions algébrique، التعابير الرياضياتية، الحساب الحرفي، calcule littéral

تحدثنا في مقال سابق عن التعابير الجبرية في الرياضيات والفرق بينها وبين التعابير العددية والغاية من الانتقال من التعابير العددية نحو التعابير الجبرية وغيرها من الأشياء المتعلقة بالتعبير الجبري... كما رأينا مختلف العمليات التي يمكن إنجازها على التعابير الجبرية في مستويات مرحلة الإعدادية، ومن هذه العمليات ما نحن بصدده في هذا المقال: تبسيط التعابير الجبرية. 

← يمكن الانتقال إلى مقال "من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي" من هنا.

👈إن تعلم كيفية تبسيط التعابير الجبرية جزء أساسي من إتقان أساسيات الجبر وهو مهارة أساسية يجب أن يمتلكها كل متعلم في المرحلة المتوسطة (المرحلة الإعدادية)،

👈 فكثيرا ما نجد متعلمين يتخوفون من السؤال: بسط التعابير التالية، خاصة إذا كانت تلك التعابير طويلة ومعقدة تحتوي على عمليات كثيرة ومجاهيل متنوعة ولا يعرف من أين سيبدأ وأين سينتهي، فيستسلم ويعجز ويصف التمرين بأنه صعب وحله مستحيل، الشيء الذي يتسبب في نفور المتعلم من الرياضيات وكرهه لها... 

👈 وفي حقيقة الأمر فإن هذه التعابير رغم كونها طويلة ومعقدة فإن تبسيطها ليس بكل هذه الدرجة من الصعوبة، إذ يستلزم ذلك فقط التوفر على بعض آليات وتقنيات التعامل معها وتتبع مراحل خاصة، وهذا ما سنراه في هذا المقال.

1- ما المقصود بتبسيط التعابير الرياضياتية؟؟

👈 التبسيط (Simplification) هي عملية يتم من خلالها تحويل العمليات الجبرية المعقدة والمركبة إلى عبارات بسيطة وسهلة. 

👈 وبعبارة أخرى: تبسيط تعبير جبري هو اختصاره أي تصغيره وإعادة كتابته بأقل ما يمكن من العمليات، وذلك وفق مجموعة من الأسس والقوانين الرياضياتية، مثال: 

👈 والغاية من تبسيط العمليات الحسابية هو تغيير التعبير المخيف والمعقد الطويل ليصبح بسيطا مريحًا وفي المتناول، ويتم توظيفها لحل المعادلات أو المتراجحات، أو لدراسة الدوال أو غيرها من العمليات الرياضياتية.

2- ماذا يجب علي استحضاره لتبسيط تعبير جبري؟

👈 يمكن أن يتضمن التعبير الجبري أكثر من عدد واحد (العدد الثابت) وأكثر من متغير واحد وأكثر من عملية واحدة، وهذه العمليات يمكن أن تكون من نوع واحد (مثلا الجمع فقط) كما يمكن أن تكون متنوعة (الجمع مع الطرح مع الضرب مع القسمة ...)، كما يمكن أن يتضمن التعبير الجبري أقواسا وأعداد كسرية وأسسا (قوى) وجذورا مربعة... 

لذا عند تبسيط التعابير الجبرية يجب استحضار ما يلي:

✴ التمييز بين مكونات التعبير الحرفي: (العدد الثابت، العدد المتغير، الحد، المعامل، العامل ) تحدثنا عنها ورأينا أمثلة حولها في مقال سابق حول موضوع الانتقال من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي في فقرة مكونات التعبير الحرفي (الرابط من هنا)

✴ قوانين الأولويات في الحساب العددي أو ما يسمى ترتيب العمليات الحسابية، ونقصد بها العمليات التي تعطى لها أولويات الحساب قبل الأخرى عند حساب تعبير عددي مكون من عدة عمليات. تحدثنا أيضا عن هذه القوانين في مقال خاص حول موضوع ترتيب العمليات الحسابية، يمكن الرجوع إليه للتعرف على هذه القوانين بالنقر على هذا الرابط.

✴ خصائص الجمع والطرح والضرب والقسمة، أي كل ما يخص هذه العمليات من طرق إنجازها على مختلف أنواع الأعداد (الصحيحة، العشرية، الجذرية)

← للولوج إلى درس الأعداد النسبية (الصحيحة والعشرية) من هنا

← للولوج إلى درس الأعداد الجذرية من هنا.

✴ خصائص القوى وطريقة التعامل مع الأس والأساس وإجراء مختلف العمليات عليها.

← للولوج إلى درس القوى من هنا.

3- مراحل تبسيط تعبير جبري

👈 كما أشرنا سابقا فإن مهارة تبسيط التعابير الجبرية لا يمكن اكتسابها والتمكن منها عن محض الصدفة وبطرق عشوائية إذ لابد من التمكن أولا من بعض الأساسيات والتي أشرنا إليها في الفقرة السابقة، بعدها يمكن الانتقال إلى مرحلة تبسيط التعابير الجبرية وذلك من خلال اتباع المراحل التالية:

المرحلة الأولى: قراءة التعبير الجبري وتحليله وذلك لمعرفة:

- عدد الحدود المكونة له 

- عدد المتغيرات المكونة له ومرات تكرارها.

- المعاملات المرافقة لكل متغير

- الثوابت المكونة للتعبير الجبري

أمثلة: 

المرحلة الثانية: تحديد الحدود المتشابهة والتمييز بين المتشابهة وغير المتشابهة

الحدود المتشابهة هي الحدود التي تتضمن نفس المتغير أو الحدود التي تتضمن الثوابت، لنأخذ المثالين السابقين: 

المرحلة الثالثة: ضم الحدود المتشابهة جنبا إلى جنب

أي نأتي بالحدود المتشابهة ونضعها إلى جانب بعضها البعض، مع ضرورة الحفاظ على الإشارة المرافقة للحد خاصة إشارة ناقص (-). نرجع مرة أخرى إلى المثالين السابقين: 

المرحلة الرابعة: جمع/ طرح الحدود المتشابهة.

بالنسبة للحدود المتضمنة للثوابت ننجز عملية الجمع أو الطرح بالطريقة العادية (طريقة التعامل مع الأعداد)، والنسبة للحدود المتضمنة للمتغيرات نحتفظ بالمتغير ونجمع أو نطرح معاملاتها. 

4- حالات خاصة:

✸الحالة الأولى: في حالة احتواء تعبير جبري على أقواس يجب أولا التخلص منها ثم اتباع المراحل السابقة، وعند التخلص من الأقواس توجد قواعد أخرى خاصة بها :

↤ توزيعية الضرب على الجمع (أو ما يسمى بعملية النشر Développement) مع الاحتفاظ بإشارة الأعداد.

a x (b + c) = a x b + a x c

-a x ( b – c) = (-a) x b – (-a) x c

a x (-b + c) = a x (-b) + a x c

...

↤ تغيير إشارة الحدود الموجودة داخل الأقواس إذا سبقتها إشارة ناقص (-):

a – (b + c ) = a - b – c

a – (-b + c ) = a +b – c

a + ( b + c ) = a + b + c

 أمثلة: 

✸الحالة الثانية:  في حالة احتواء تعبير جبري على جداء عدة عوامل، يجب أولا حساب (أو تبسيط) جداء العوامل لأن الأولوية للضرب في إنجاز العمليات الحسابية. مثال: 

✸الحالة الثالثة: في حالة احتواء التعبير الجبري على أعداد جذرية (كسور)، هنا يجب التعامل معها كما نقوم بذلك مع الأعداد.  (حساب مجموع/ فرق/ جداء/ خارج أعداد كسرية، الاختزال،  توحيد المقامات):

مثال1: 

مثال2:

خلاصة:

👈 في حقيقة الأمر لا يعتبر تبسيط التعابير الجبرية سهلا، لكن يمكن التمكن منه من خلال التركيز على ما يلي:

◀ التدرج من السهل إلى الصعب ومن البسيط إلى المركب، إذ لا بد من البدء بالتعابير السهلة ثم الصعبة ثم الصعبة جدا التي تتوفر على عدة عمليات وأقواس وأسس وغير ذاك.

◀ الممارسة المستمرة، أي يجب تكثيف إنجاز التمارين المرتبطة به، وعدم الاستسلام والتوقف عند مواجهة عائق، بل يجب التفكير والتفكير وأيضا طلب المساعدة في حدود، من طرف الأستاذ أو مصادر أخرى.

◀ محاولة ابتكار طرق خاصة يمكن استثمارها لتسهيل إنجاز العمليات كمحاولة ابتكار تعابير مبسطة من الحدود... شرط ألا تتنافى مع قواعد الحساب المعروفة.

◀ الانتباه إلى الإشارات، لأنها تعتبر من المصادر الشائعة للأخطاء التي يرتكبها المتعلمون، إذ أن بكتابة إشارة بدل أخرى يتسبب في الحصول على نتائج غير صحيحة.

◀ أحيانا يمكن التأكد من صحة ما تم التوصل إليه بعد التبسيط بإعطاء قيمة عددية للمجهول  (المتغير) في العبارة المعطاة وفي العبارة الناتجة. لكن يصعب ذلك في حالة كان التعبير طويلا ومعقدا.

نتمنى أن نكون قد تحدثنا عن هذا الموضوع من كل الجوانب الخاصة به، ونتمنى أن تستفيدوا منه، كما نتمنى لكم التوفيق والسداد ولا تنسوا مشاركة هذا الموضوع مع أصدقائكم كي تعم الفائدة. 

 تمارين تطبيقية:

التمارين المشار إليها بـ (*) تم تحميلها من الموقع www.dzexams.com

 يمكن معاينة حلول هذه التطبيقات من خلال الانتقال إلى الرابط التالي:

👈تبسيط التعابير الجبرية: تمارين وحلول