نشر التعابير الرياضياتية، تعميل التعابير الرياضياتية، Le Développement et la Factorisation،مراحل النشر والتعميل
← يمكن الانتقال إلى مقال "من الحساب العددي نحو الحساب الحرفي" من هنا.
👈 يعتبر النشر والتعميل عمليتين مترابطتين تلعبان دوراً محورياً في الحساب الجبري، وإتقان هاتين المهارتين يساعد في فهم الجبر وحل مسائل ووضعيات مختلفة في الرياضيات بل يمكن توظيفها لحل مشكلات في مجالات العلوم الأخرى كالفيزياء وعلوم الاقتصاد.
👈 وفي دروس الرياضيات المبرمجة في المرحلة الإعدادية، نجد أن درس النشر والتعميل يسبق دائما درس المعادلات، وذلك بسبب توظيف هاتين المهارتين في المعادلات، لذا من الضروري اكتسابها من طرف المتعلم حتى لا يجد صعوبة في حل المعادلات.
1- ماذا نقصد بعمليتي النشر والتعميل؟
👈 النشر والتعميل عمليتين عكسيتين، فإذا كان النشر هو تحويل تعبير جبري على شكل جداء إلى تعبير جبري على شكل مجموع أو فرق، فإن التعميل هو تحويل تعبير جبري على شكل مجموع أو فرق إلى تعبير جبري على شكل جداء.
👈 وبتعبير آخر، النشر هو عملية توزيع الضرب على جميع حدود تعبير جبري الموجود داخل القوسين، أي كأننا نقوم بتوزيع الضرب على كل حد من الحدود الموجودة داخل القوسين.
👈 وفي عملية التعميل نحاول إخراج المعامل المشترك من عدة حدود لكتابة التعبير في صورة ضرب.
.png "النشر والتعميل")
.png "النشر والتعميل")
.png "النشر والتعميل")
👈 وستتضح الفكرة من خلال هذه الأمثلة:
.png "النشر والتعميل")
👈 وكمثال لتطبيق النشروالتعميل في الرياضيات، نقترح هذه الأمثلة حول حساب المساحات بطريقتين مختلفتين:
المثال الأول:
المثال الثاني:
المثال الثالث:
2- العلاقة بين عمليتي النشر والتعميل وعملية التبسيط
👈 رأينا في مقال سابق عملية تبسيط التعابير الرياضية، تطرقنا فيه إلى مجموعة من المراحل التي يجب اتباعها لتبسيط تعبير رياضياتي، للرجوع إلى المقال يرجى النقر على الرابط من هنا.
👈 في هذه الفقرة سنتحدث عن العلاقة بين هذه العملية وعمليتي النشر والتعميل، فكثيرا ما نجد في التمارين المتعلقة بالنشر أو التعميل أسئلة مثل: انشر ثم بسط، أو عمل ثم بسط، أو بسط العبارات التالية...
👈 عملية التبسيط كما رأينا في المقال المشار إليه مسبقا، هي تحويل تعبير رياضياتي من تعبير طويل ومعقد إلى تعبير مختصر قدر الإمكان، من خلال القيام بمختلف العمليات الممكنة، فدعوني أقول لكم أنه عند القيام بتبسيط للتعابير الرياضياتية فإننا نقوم في الغالب بعمليتي النشر أو التعميل.
لنأخذ المثال التالي:
لنأخذ المثال الآخر:
👈 تلاحظون أنه عند القيام بتبسيط للتعابير الرياضياتية، مرة نقوم بالتعميل ومرة نقوم بالنشر عند وجود الأقواس، لكن بطبيعة الحال ليس دائما.
👈 ومن هنا نستنتج إذن أن عمليتي النشر والتعميل هما عمليتان تساعدان على القيام بتبسيط التعابير الرياضياتية، كما سنرى في درس المعادلات أنهما تساعدان أيضا في حل المعادلات (المقال من هنا)، كما تساعدان في دراسة الدوال، لهذا يتم دراستهما قبل الانتقال إلى الدروس الأخرى المرتبطة بها والتمكن منهما يساهم بشكل فعال في التمكن من الدروس اللاحقة.
3- المتطابقات الهامة (Identités remarquables )
👈 المتطابقات الهامة هي علاقات رياضياتية متفق عليها عالميا يتم توظيفها للقيام بنشر أو تعميل تعابير رياضياتية، الهدف منها هو اختصار مراحل إنجاز عمليتي النشر أو التعميل بحيث يمكن تطبيقها بشكل مباشر.
👈 تلاحظون أننا مررنا عبر مراحل للوصول إلى النتيجة النهائية،
فهل تعرف أنه يمكن تطبيق متطابقة هامة تختصر علينا هذه المراحل، هذه المتطابقة تقول:
👈 وبتطبيق هذه المتطابقة في المثال السابق:
👈 وبمقارنة الطريقة الأولى مع هذه الطريقة نلاحظ أننا قمنا باختصار لمجموعة من المراحل والتي يمكن أن نرتكب فيها أخطاء، هذا هو إذن دور المتطابقات الهامة.
👈 وبنفس الطريقة يمكن تطبيق المتطابقات الهامة الأخرى للقيام سواء بالنشر أو بالتعميل، (سنرى ذلك في الفقرة الموالية) وهذه المتطابقات هي كالتالي:
👈 ويمكن تفسير هذه المتطابقات هندسيا بتوظيف مساحة المربع من خلال ما يلي:
بالنسبة للمتطابقة الأولى:
بالنسبة للمتطابقة الثانية:
بالنسبة للمتطابقة الثالثة:
👈 وتوجد متطابقات أخرى يتم توظيفها في المستويات العليا ستكتشفونها لاحقا.
4- طرق النشر والتعميل:
👈 يعتبر النشر أسهل من التعميل وذلك لأن عملية النشر تتطلب فقط توزيع الجداء على الحدود الموجودة داخل الأقواس واحدا تلو الآخر، ثم القيام بعد ذلك بعملية التبسيط إذا كان الأمر يستدعي ذلك، في حين أن التعميل يتطلب البحث عن العامل المشترك بين الحدود وإن كان غير ظاهر كي يتم التعميل به:
✹ بالنسبة للنشر،
👈 أولا نقرأ التعبير الذي نريد نشره، هل يطابق إحدى المتطابقات الهامة السابقة:
↤ إن كان يطابقها فلا داع للقيام بتوزيع الضرب وإنما نقوم بتطبيق المتطابقة بشكل مباشركما أشرنا إلى ذلك في فقرة المتطابقات الهامة،
↤ وإن كان غير ذلك نحاول البحث من جديد إن كان بالإمكان تحويل التعبير كي يوافق إحدى المتطابقات الهامة السابقة من خلال تغيير أو تبسيط حدود معينة، ثم نقوم بتطبيق المتطابقة بشكل مباشر
↤ أما إذا كان ذلك مستحيلا، نقوم بالطريقة المباشرة للنشر من خلال توزيعية الضرب على الحدود الموجودة داخل القوسين.
أمثلة:
👈 من خلال الأمثلة السابقة ومن خلال مختلف التمارين التي ستنجزونها حول عملية النشر، ستكتشفون أن عملية النشر تكون صعبة خلال تحويل التعبير الرياضياتي كي يكون موافقا مع إحدى المتطابقات الهامة السابقة، أما التطبيق المباشر لها فهو سهل جدا، لذا يجب التكثيف من إنجاز أمثلة لهذه التمارين ( المثال الثاني السابق) والتنويع فيها كي تكتشفوا السر وراء كيفية التعامل معها وبالتالي لن تجدوا أي صعوبة أبدا في إنجاز أي تمرين يتعلق بالنشر وأيضا بالتعميل كما سنرى أسفله.
✹ بالنسبة للتعميل،
👈 أيضا نقرأ جيدا التعبير الذي نريد تعميله، ثم نقوم بإحدى الطرق التالية:
↤ الطريقة الأولى: البحث عن العامل المشترك بين حدين أو عدة حدود:
المثال الأول:
المثال الثالث:
وللتأكد من صحة عملية التعميل، يمكن القيام بنشر ما تم التوصل إليه، فإن حصلت على التعبير الذي انطلقت منه فما قمت به صحيح، وإلا فيجب مراجعة الطريقة التي قمت بها.
👈لنأخذ مثلا المثال الثالث:
↤ الطريقة الثانية: توظيف المتطابقات الهامة
👈 في كل مرة تعلق الأمر بتعبير من الدرجة الثانية ، فيجب التفكير في المتطابقات الهامة.
ماذا نقصد بالدرجة الثانية؟ الدرجة الثانية أي أن المجهول/ المتغير مرفوع إلى الأس 2.
أمثلة :
👈 لنأخذ الأمثلة التالية:
المثال الأول:
المثال الثاني:
المثال الثالث:
↤ الطريقة الثالثة: توظيف الطريقتين السابقتين معا.
👈 يعني أننا نبحث عن المعامل المشترك بين الحدود المكونة للتعبير الرياضياتي، ونحاول كتابتها على صيغة إحدى المتطابقات الهامة السابقة.
المثال الأول:
المثال الثاني:
المثال الثالث:
خلاصة
النشر والتعميل عمليتين أساسيتين في الرياضيات، إذ بهما يمكن تبسيط التعابير الرياضياتية وحل المعادلات، لذا من الضروري أن يتمكن المتعلم منهما من خلال التمرن عليها وإنجاز أكبر عدد ممكن من الأنشطة المتعلقة بها، وبهذه الطريقة، وكما أشرنا إلى ذلك في إحدى الفقرات السابقة، سيتمكن المتعلم من اكتشاف الأسرار وطرق التعامل معها، لأن المشكل الذي يواجهه المتعلم في هذا الأمر هو تعامله مع مختلف التعابير الرياضياتية بنفس الطريقة، أي أن المتعلم يعتمد نفس الطريقة للقيام بالنشر أو التعميل، في حين أنه توجد عدة طرق ومنهجيات لنشر أو تعميل تعبير رياضياتي حسب نوعية التعبير وطريقة صياغته.
وهنا أقترح عليكم خطة التعامل مع مثل هذه الأنشطة المتعلقة بالنشر والتعميل:
↤ قبل الإنجاز:
- قراءة التعبير الرياضياتي قراءة جيدة وتحليله (أي معرفة درجة التعبير الرياضياتي وعدد المجاهيل التي يتكون منها)
- استحضار مختلف القواعد الخاصة بالنشر والتعميل خاصة المتطابقات الهامة
↤ أثناء الإنجاز:
- تتبع المراحل التي تمت الإشارة إليها أعلاه الخاصة بعملية النشر(النشر المباشر أو تطبيق المتطابقات الهامة أو هما معا) والخاصة بعملية التعميل( البحث عن العامل المشترك أو تطبيق المتطابقات الهامة أو هما معا)
- الانتباه إلى الإشارات
- تجربة عدة طرق وعدم الاكتفاء بالطريقة الواحدة التي لا تؤدي إلى الحل، الشيء الذي يؤدي إلى الاستسلام واعتبار نفسك غير قادر على حل التمرين.
↤ بعد الإنجاز:
- التحقق من صحة ما تم التوصل إليه، من خلال ما يلي:
• بالنسبة للنشر، قم بتعميل ما توصلت إليه ليتم الرجوع بك إلى التعبير الذي انطلقت منه.
• وبالنسبة للتعميل، قم بنشر ما توصلت إليه ليتم الرجوع بك إلى التعبير الذي انطلقت منه.
وخلال القيام بعملية التحقق، ستكتشف أنك قمت تماما بعكس كل العمليات التي قمت بها أثناء الإنجاز.
👈 هذا كل ما يمكن الحديث عنه حول مفهومي النشر والتعميل، نتمنى أن نكون قد تحدثنا عن كل ما يتعلق بهما، ونتمنى أيضا أن تكونوا قد استوعبتم هاذين المفهومين، كما نتمنى لكم التوفيق والسداد والسلام عليكم ورحمة الله.
أنشطة تطبيقية
يمكن معاينة حلول هذه التطبيقات من خلال الانتقال إلى الرابط التالي:
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى