الأعـــداد الــجذريــــة: تعاريف، عمليات وأنشطة

في إطار الحديث عن أنواع الأعداد في الرياضيات، وبعدما تحثنا إلى حد الآن عن أربعة أنواع الأعداد في الرياضيات واستعمالاتها وكيفية التعامل معها وإجراء العمليات عليها وتطبيقاتها في الحياة اليومية:

ارتأينا اليوم الحديث عن نوع آخر من الأعداد وهي الأعداد الجذرية (باللغة الفرنسية Nombres rationnels وباللغة الإنجليزية Rational numbers) فما هي هذه الأعداد وما هي مميزاتها عن باقي الأعداد وكيف نتعامل معها وما هي استعمالاتها في الحياة اليومية...

كل هذه الأسئلة وأخرى، سنحاول الإجابة عنها في هذا المقال وفق العناوين الرئيسية التالية:

1- تذكير عام حول نوعية الأعداد السابقة وطريقة الانتقال من نوع لآخر

2- استعمالات الأعداد الجذرية في الحياة اليومية.

3- من العدد الكسري نحو العدد الجذري.

4- العمليات على الأعداد الجذرية

5- خلاصة عامة

6- تطبيقات حول الأعداد الجذرية.

❇❇❇❇❇❇❇❇❇

1- تذكير عام حول نوعية الأعداد السابقة وطريقة الانتقال من نوع لآخر

👈 قبل الحديث عن الأعداد الجذرية، دعونا أولا نقوم بالتذكير بنوعية الأعداد التي تم التطرق إليها سابقا وطريقة الانتقال من نوع إلى آخر:

◄أول هذه الأعداد والتي يتعامل معها المتعلم منذ مستويات التعليم الابتدائي قراءة وكتابة وإنجاز مختلف العمليات عليها (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، الترتيب، المقارنة ...) كما يتم توظيفها في حل لمجموعة من المسائل في الرياضيات وفي الحياة اليومية هي الأعداد الصحيحة الطبيعية وذلك وفق للتدرج التالي: الأعداد من 0 إلى 99 في المستوى الأول، الأعداد من 0 إلى 999 في المستوى الثاني، الأعداد من 0 إلى 9999 في المستوى الثالث، الأعداد من 0 إلى 999999 في المستوى الرابع، الأعداد الكبيرة (الملايين والملايير) في المستويين الخامس والسادس.

◄ ومن خلال تعامله مع مختلف المسائل في الرياضيات يكتشف المتعلم عدم كفاية هذه الأعداد الصحيحة الطبيعية، ويتطلع لاستكشاف أنواع أخرى من هذه الأعداد فيتعرف على الأعداد الكسرية منذ المستوى الثالث ابتدائي ثم الأعداد العشرية منذ المستوى الرابع ابتدائي ويكتشف العلاقات بينها وبين الأعداد الأخرى (الصحيحة الطبيعية) وكيفية التعامل معها من خلال إنجاز مختلف العمليات عليها وحل مسائل مربطة بها.

◄ ومنذ انتقاله إلى المرحلة الإعدادية، وبالضبط في المستوى الأول إعدادي، يتلقى المتعلم نوع آخر جديدا من الأعداد ويتعامل معها من خلال إنجاز مختلف العمليات عليها ويوظفها في حل مسائل كانت في السابق غير ممكنة في نطاق الأعداد السابقة هذه الأعداد هي الأعداد النسبية بنوعيها الصحيحة والعشرية.

◄ وبعد سنة، وبعد تمكنه من كل هذه الأعداد والتمييز بينها من مختلف المميزات التي تميزها، جاء دور التعرف على أعداد جديدة أخرى لا تقل أهمية عن سابقاتها، هي الأعداد الجدرية. فما المقصود بهذه الأعداد؟؟

❇❇❇❇❇❇❇❇❇

2- استعمالات الأعداد الجذرية في الحياة اليومية.

" هذه الفقرة تم إعدادها بالاعتماد على موقع fastercapital.com"

تلعب الأعداد الجذرية دورًا مهمًا في حياتنا اليومية، سواء كنا ندرك ذلك أم لا، بدءًا من الحسابات البسيطة إلى المعادلات الرياضياتية المعقدة، تعتبر الأعداد الجذرية ضرورية لفهم وتفسير البيانات الرقمية، وهذه بعض استعمالاتها في الحياة اليةمية:

↤ الأعداد الجذرية تمثل الكسور بكل دقة وتعبر عنها بأعداد عشرية تمكننا من فهمهما واستخدامها بشكل مبسط، فالكسور تُستخدم في العديد من مناح الحياة، مثل وصفات الطهي، والقياسات، والحسابات المالية وغيرها...

↤ تعد الأعداد الجذرية أيضًا أساسية لفهم التناسب والنسب. على سبيل المثال، عند حساب الجرعة المناسبة من دواء ما بناءً على وزن المريض، تُستخدم الأعداد الجدرية لتحديد النسبة الملائمة بين الدواء وكتلة جسم الفرد. بدون الأعداد النسبية، سيكون من الصعب ضمان جرعات دقيقة وآمنة للأدوية.

↤ إضافة إلى ذلك، تعتبر الأعداد الجذرية ضرورية في الحسابات المالية والاستثمارات. عند تقييم معدلات الفائدة، أو تحديد قيمة الأسهم، أو حساب سداد القروض، تكون الأعداد الجدرية أساسية لضمان دقة الحسابات.

↤ الأعداد الجذرية لها أيضًا تطبيقات في المجالات العلمية والتقنية. فهي تساعد العلماء والمهندسين في تحليل وتفسير البيانات، مما يمكّنهم من اتخاذ قرارات مستنيرة وتطوير حلول مبتكرة.

في الختام، تُعد الأعداد الجذرية ذات أهمية قصوى في جوانب مختلفة من حياتنا، بدءًا من المهام اليومية البسيطة وصولاً إلى الحسابات العلمية والمالية المعقدة. من خلال فهم هذه الأعداد واستخدامها بفعالية، يمكننا اتخاذ قرارات أكثر استنارة، وحل المشكلات بدقة، وفهم الأسس الرياضياتية التي يقوم عليها عالمنا بشكل أفضل.

❇❇❇❇❇❇❇❇❇

3- من العدد الكسري نحو العدد الجذري

👈 تحدثنا في مقال سابق عن الأعداد الكسرية وكل ما يخص هذه الأعداد من كيفية التعامل معها وإنجاز مختلف العمليات عليها، (يمكن الرجوع إلى مقال حول الأعداد الكسرية من خلال النقر على الرابط من هنا)، هذه الأعداد، كما تمت الإشارة إلى ذلك، كانت مبرمجة منذ السنة الثالثة من التعليم الإبتدائي، يعني أن المتعلم له من المهارات ما يكفي للتعامل معها من خلال القيام بمختلف العمليات المتعلقة بها وهي:

- توحيد المقام

- الاختزال

- المقارنة والترتيب

- حساب مجموع عددين كسريين

- حساب فرق عددين كسريين

- حساب جداء عددين كسريين

- التعرف على مقلوب العدد الكسري

- حساب خارج عدد كسري على عدد كسري

- تعرف القيم المقربة لعدد كسري بإفراط وتفريط

👈 كل هذه المهارات تبقى صالحة في الأعداد الجذرية، تضاف إليها فقط مهارة التعامل مع الأعداد الموجبة والأعداد السالبة، هذه المهارة من اللازم أن يكتسبها المتعلم قبل التعرف على الأعداد الجذرية، وقد تحدثنا أيضا في مقال سابق عن طريقة التعامل مع الأعداد النسبية (Nombres relatifs) يمكن الرجوع إليها بالنقر هنا.

👈 لذا، قبل الخوض في موضوع الأعداد الجدرية، سنقوم بالتذكير ببعض مميزات العدد الكسري كي نتمكن من فهم جيد للعدد الجذري.

⧫⬅العدد الكسري هو كل عدد يمكن كتابته على الشكل:

أمثلة:

⧫⬅ وهذا يعني أن كل عدد صحيح يمكن كتابته على شكل عدد كسري:

⧫⬅ فنستنتج إذن أن كل عدد صحيح فهو عدد كسري والعكس غير صحيح أي أنه توجد أعداد كسرية ليست أعداد صحيحة مثل:

⧫⬅ نلاحظ في المثال السابق أن كل عدد كسري كتبناه على شكل عدد عشري، فهل هذا يعني أن الأعداد الكسرية هي نفسها الأعداد العشرية؟؟

⧫⬅ طبعا لا، العدد العشري يمكن كتابته على شكل عدد كسري، لكن العكس لا يمكن، أي توجد أعداد كسرية لكنها ليست عشرية، كيف ذلك؟؟

⧫⬅ نحن نعرف أن كل عدد عشري يمكن كتابته على الشكل التالي:

⧫⬅ وبصيغة أخرى كل عدد عشري يمكن تحويله إلى عدد كسري بسطه عدد صحيح ومقامه مضاعف للعدد 10.

أمثلة:

⧫⬅ نستنتج إذن مما سبق أن كل عدد عشري يمكن كتابته على شكل عدد كسري، لكن العكس غير صحيح أيضا، أي أنه توجد أعداد كسرية ليست عشرية، فما هي هذه الأعداد؟

⧫⬅ في الحقيقة هذه الأعداد أيضا تتكون من جزء صحيح وجزء عشري، لكن الفرق هو أن جزأها العشري غير منته (أي يتكون من أرقام متكررة ليس لها نهاية)

أمثلة:

⧫⬅ تلاحظون أن هذه الجزء العشري في هذه الأعداد يتكرر ولا ينتهي أبدا، لذلك يتم التعبير عنها بكل بساطة بصيغة العدد الكسري (بسط ومقام).

👈من خلال ما سبق نستنتج إذن أن الأعداد الكسرية تضم أعداد صحيحة ( دون فاصلة) وتضم أعدادا عشرية (التي جزؤها العشري منته) وتضم أيضا أعداد غير عشرية ( التي جزؤها العشري غير منته)

👈 إلى حد الآن ربما ترسخ لدينا مفهوم العدد الكسري، ماذا عن العدد الجذري؟؟

⧫⬅ بكل بساطة إذا كان العدد الكسري هو كل عدد يمكن كتابته على شكل a/b حيث a و b عددين صحيحين طبيعيين و b يخالف 0، فإن العدد الجذري هو كل عدد يمكن كتابته أيضا على شكل a/b حيث a و b عددين نسبيين و b يخالف 0.

⧫⬅ يعني أن الفرق بينهما هو أن العدد الكسري عدد موجب، لأنه يضم عددين صحيحين طبيعيين (في المقام والبسط) والعدد الجذري يمكن أن يكون موجبا أو سالبا، حسب الأعداد الموجودة في المقام أو البسط، وأيضا العدد الجذري يمكن أن يكتب على شكل عدد عشري على عدد عشري.

أمثلة:

⧫⬅ لذا، كما تمت الإشارة إلى ذلك سابقا، فإن جميع العلاقات التي يتم تطبيقها في الأعداد الكسرية تبقى صالحة في الأعداد الجذرية يضاف إليها طبعا ما يميز الأعداد النسبية (الموجبة والسالبة):

↤ الأعداد الجذرية تضم أعداد صحيحة نسبية وأعداد عشرية نسبية (جزؤها العشري منته) وأعداد غير عشرية (جزؤها العشري غير منته)

↤ طريقة توحيد المقامات في الأعداد الكسرية هي نفسها في الأعداد الجذرية

↤ طريقة الاختزال في الأعداد الكسرية هي نفسها في الأعداد الجذرية

↤ طريقة إجراء العمليات على الأعداد الكسرية هي نفسها في الأعداد الجذرية.

❇❇❇❇❇❇❇❇❇

4- العمليات على الأعداد الجذرية

أولا : إشارة العدد الجذري Signe d’un nombre rationnel

👈 نقصد بإشارة العدد الجذري: هل العدد الجدري موجب أو سالب؟؟ تعرفنا فيما سبق على الأعداد الموجبة والأعداد السالبة، يعني أن العدد الموجب يكون أكبر من 0 والعدد السالب يكون أصغر من 0، فمتى إذن يكون العدد الجذري موجبا ومتى يكون سالبا؟؟

👈 تحدثنا عن العدد الجذري وقلنا إنه يتكون من بسط (Numérateur) ومقام (Dénominateur)، يعني عدد نسبي على عدد نسبي، وهذن العددان النسبيان يمكن أن يكونا موجبين معا أو سالبين معا أو أحدهما موجب والآخر سالب.

⬅ فإذا كان العددين موجبين معا فإن العدد الجذري عدد موجب، أمثلة:

⬅ وإذا كان العددين سالبين معا فإن العدد الجذري عدد موجب أيضا، أمثلة:

⬅ وإذا كان أحدهما موجبا والآخر سالبا فإن العدد الجذري يكون سالبا. أمثلة:

👈 ويمكن تلخيص هذه القواعد في قولنا:

ملاحظة هامة:

⧫⧫ في حالة العدد الجذري السالب الذي يحمل إشارة ناقص (-) في المقام ،من الأحسن تحويلها إلى البسط لأن ذلك يساعدنا في التعامل مع الأعداد الجذرية بشكل جيد

----------------------------------------

ثانيا: مقابل عدد جذري L’opposé d’un nombre rationnel

👈 في الأعداد النسبية يوجد عدد ويوجد مقابله، وهما نفس العددين لكن لهما إشارة مختلفة. أمثلة:

3 مقابل 3-

5,7- مقابل 5,7

← هذان العددان (العدد ومقابله) يبعدان بنفس المسافة عن الصفر.

← مجموع هذين العددين يساوي 0

0 = 3 + 3-

0= (5,7-) + 5,7

👈 نفس الشيء يقع في الأعداد الجذرية، كل عدد جذري له مقابله هو نفس العدد الجذري لكن يحمل إشارة مختلفة، هذان العددين يبعدان أيضا بنفس المسافة عن الصفر (0) ويساوي مجموعها 0.

أمثلة:

👈ويتم التعبير عنها رياضياتيا بقولنا:

👈 لكن تجنبا للوقوع في اللبس والخلط بين المفردات، يوجد مصطلح آخر قريب من مصطلح (مقابل)، هو المقلوب (بالفرنسية L’inverse).

👈 هذا المصطلح سبق أن تم التعرف عليه في الأعداد الكسرية في المستوى السادس ابتدائي عند القيام بقسمة عدد كسري على عدد كسري، أي نقوم بضرب العدد الكسري الأول في مقلوب العدد الثاني.

👈 ونفس الأمر يتعلق بالأعداد الجذرية، مقلوب عدد جدري هو عدد جذري بسطه هو مقام العدد الأول ومقامه هو بسط العدد الأول، أي نقوم بقلبه كما يدل عليه المصطلح، وسنتطرق إلى هذا المصطلح (مقلوب) بالتفصيل في فقرة قسمة الأعداد الجذرية.

ونعبر عن ذلك رياضياتيا:

----------------------------------------

ثالثا: تساوي عددين جذريين Egalité de deux nombre rationnel

👈 رأينا في الأعداد الكسرية أنه عند ضرب البسط والمقام في نفس العدد فإننا نحصل على عدد كسري يساوي العدد الأول، ونفس الشيء إذا قمنا بعملية القسمة، أي عند قسمة البسط والمقام على نفس العدد فإننا نحصل على عدد كسري يساوي العدد الأول.

👈 وهذا يعني أن كل عدد كسري له ما لانهاية له من الأعداد الأخرى التي تساويه

👈 نفس الأمر يتعلق مرة أخرى بالأعداد الجدرية، ونعبر عن ذلك رياضياتيا:

👈 من هنا نستنتج أنه لمعرفة ما إذا تساوى عددان جذريان نقوم بما يلي:

⬅ عملية الاختزال، أي نبحث عن القاسم المشترك بين البسط والمقام ونقوم بالاختزال به :

⬅ أو نقوم بطريقة الضرب التبادلي (Produit en croix)، أو ما يسمى بطريقة المقص للتأكد من تساوي عددين جذريين:

ونعبر عنها رياضياتي:

----------------------------------------

رابعا: اختزال عدد جدري Simplifier un nombre rationnel

👈 تحدثنا في الفقرة السابقة عن الاختزال، ورأيناه بالتفصيل في الأعداد الكسرية، وبنفس طريقة اختزال عدد كسري نقوم بها لاختزال عدد جدري. ( يمكن الرجوع إلى درس الأعداد الكسرية من هنا في الفقرة الخاصة بالاختزال)

👈 ويمكن التعبير عن عملية الاختزال بصيغة الرياضيات على الشكل التالي:

----------------------------------------

خامسا:توحيد مقامي عدد جدري Réduire au même dénominateur deux nombres rationnels

👈 يمكن الرجوع مرة أخرى إلى إلى نفس الدرس بالنقر هنا (فقرة توحيد المقام) للتعرف أكثر على طرق القيام بتوحيد مقامي عددين كسريين.

👈 توجد ثلاث طرق:

◀الطريقة الأولى: وهي الحالة العامة لتوحيد المقامين، أي نضرب العدد الجذري الأول في مقام العدد الثاني ونضرب العدد الجذري الثاني في مقام العدد الأول:

مثال: نريد توحيد مقامي العددين 4/7- و 15/8:

◀الطريقة الثانية، نقوم بها في حالة إذا كان أحد المقامين مضاعفا للآخر، في هذه الحالة نضرب أحد المقامين للحصول على المقام الآخر، مثال:

◀الطريقة الثالثة، نقوم بها في حالة تواجد المضاعف المشترك الأصغر بين المقامين، مثال:

----------------------------------------

سادسا: مقارنة عددين جذريين

👈 رأينا في درس الأعداد الكسرية أربع حالات لمقارنة عددين كسريين يمكن الرجوع إليها بالنقر هنا (فقرة المقارنة والترتيب)، ويمكن القيام بذلك أيضا في الأعداد الجذرية لكن هنا توجد حالات جديدة:

◀ الحالة الأولى: مقارنة عددين جذريين مختلفي الإشارة ⬅ في هذه الحالة الأكبر هو الموجب والأصغر هو السالب

◀الحالة الثانية: مقارنة عدد ين جذريين موجبين ← نطبق فيها حالات مقارنة عددين كسريين وهي الموضحة في درس الأعداد الكسرية:

أمثلة:

◀الحالة الثالثة: مقارنة عددين جذريين سالبين ← نقارن مقابليهما الموجبين بتطبيق الحالة الثانية، فالعدد الأكبر هو الذي مقابله أصغر والعدد الأصغر هو الذي مقابله أكبر، أمثلة:

👈 توجد طريقة أخرى نقوم بها لمقارنة عددين جذريين موجبين ويمكن استعمالها أيضا لمقارنة عددين سالبين من خلال تطبيقها على مقابليهما الموجبين، هذه الطريقة هي مقارنة العدد الجدري مع الواحد (1):

فإذا كان البسط أكبر من المقام فإن العدد الجذري أكبر من 1، وإذا كان البسط أصغر من المقام فإن العدد الجذري أصغر من 1

↤هذه القاعدة يمكن تطبيقها لمقارنة عددين جذريين موجبين، مثل:

↤ ويمكن استعمالها أيضا لمقارنة عددين جذريين سالبين، مثل:

👈 توجد طريقة أخرى نقارن بها الأعداد الجدرية الموجبة ويمكن استعمالها أيضا لمقارنة عددين سالبين من خلال تطبيقها على مقابليهما الموجبين، هذه الطريقة نستعمل فيها طريقة الضرب التبادلي (Produit en croix)، أو ما يسمى بطريقة المقص وهي أسهل وأسرع طريقة للمقارنة إن طبقناها بالشكل المناسب:

↤ مثال بالنسبة لمقارنة عددين جذريين موجبين:

↤ مثال بالنسبة لمقارنة عددين جذريين سالبين:

👈 توجد طريقة أخرى لمقارنة عددين جذريين، وهي طريقة استعمال المستقيم المدرج، أي أننا نقوم بتمثيل العددين أو الأعداد على المستقيم المدرج، فالعدد الموجود على اليمين يكون دائما أكبر من العدد الموجود على اليسار. ولتمثيل عدد جذري على مستقيم مدرج من الضروري كتابته على شكل عدد عشري (يمكن أن يكون مضبوطا أو مقربا). مثال:

← كما يمكن المقارنة مباشرة بعد كتابته على شكل عدد عشري دون استعمال المستقيم العددي.

👈 توجد طريقة أخرى لمقارنة عددين جذريين، وهي إنجاز عملية طرح بينهما، أي نأخذ أحد العددين ونطرح منه الآخر ( وفي الفقرة الموالية سنرى كيف نقوم بجمع وطرح الأعداد الجذرية):

فإن كان ناتج الطرح موجبا فإن العدد المطروح أصغر من المطروح منه، وإذا كان ناتج الطرح سالبا فإن العدد المطروح أكبر من المطروح منه.

مثال1:

مثال2:

← تلاحظون أن هذه الطريقة يمكن تطبيقها مباشرة على عددين موجبين أو عددين سالبين.

----------------------------------------

سابعا: جمع وطرح عددين جذريين:

👈هي نفس الطريقة التي رأيناها في الأعداد الكسرية (يمكن الرجوع إليها - فقرة الجمع والطرح -)، الجديد هنا بالنسبة للأعداد الجذرية هو طريقة جمع أو طرح الأعداد النسبية، تحدثنا عنها أيضا في مقال حول التعامل مع الأعداد النسبية يمكن الرجوع إليها بالنقر هنا.

◀ مجموع وفرق عددين جذريين لهما نفس المقام:

👈 للقيام بذلك نحتفظ بنفس المقام ونقوم بجمع أو طرح بسطيهما. ونعبر عن ذلك رياضياتيا:

ملاحظات:

← في المثال الثاني قمنا بتغيير موضع إشارة (-) ووضعناها في الأعلى كي نحصل على عددين لهما نفس المقام (7).

← في المثال الأخير لم نغير موضع إشارة (-) لأن لدينا نفس المقام، لكن يمكن تغير موضع الإشارة في العددين ووضعها في الأعلى وسنحصل على نفس النتيجة (يمكنك تجريب ذلك).

◀مجموع وفرق عددين جذريين ليس لهما نفس المقام

👈 في هذه الحالة نقوم بتوحيد مقاميهما بإحدى الطرق التي رأيناها في الفقرة السابقة (توحيد المقام)، لأنه لا يمكن جمع أو طرح عددين جذريين ليس لهما نفس المقام.

الطريقة الأولى: هي الطريقة العامة وهي ضرب العدد الجذري الأول في مقام العدد الثاني وضرب العدد الجذري الثاني في مقام العدد الأول،)، ونعبر عن ذلك رياضياتيا كما يلي:

ويمكن القيام بهذه الطريقة بشكل مختصر فيما يسمى بتقنية الفراشة (La technique du papillon)

أمثلة:

ملاحظات:

← في المثال الثالث احتفظنا بموضع إشارة (-) وقمنا بتطبيق القاعدة مباشرة، لكن يمكن تغيير موضعه ووضعه في الأعلى وسنحصل على نفس النتيجة.

← تلاحظون أحيانا أنه العدد الناتج كبيرا الشيء الذي يصعب علينا القيام بعملية الاختزال، لذا يجب البحث عن طريقة أخرى لتسهل علينا عملية الاختزال. وهذا ما سنراه في الطريقة الموالية.

الطريقة الثانية: نقوم بها في حالة ما إذا كان أحد المقامين مضاعف للآخر. وكمثال على ذلك: المثال الثاني من الأمثلة السابقة:

الطريقة الثالثة: نستعملها في حالة إذا كان للمقامين مضاعفا مشتركا، كما هو الحال بالنسبة للمثال الثالث من الأمثلة السابقة:

◀ مجموع وفرق عدة أعداد جذرية

👈 في حالة حساب مجموع أو فرق عدة أعداد جذرية نقوم بالبحث عن المقام الموحد لهذه الأعداد ثم نقوم بحساب مجموع أو فرق بسوط هذه الأعداد. مثال:

👈 كما يمكن تغيير ترتيب الحدود لحساب العمليات السهلة، شريطة الحفاظ على الإشارة المرافقة للحد الذي تم تغيير مكانه، مثال:

👈 وفي حالة وجود الأقواس ونريد إزالتها فيمكن القيام ذلك دون تغيير إشارة الحدود التي توجد داخلها في حالة إذا سبقتها إشارة زائد (+)، أما إذا سبقتها إشارة ناقص (-) فمن الضروري تغيير إشارة الحدود التي توجد داخل الأقواس.

أمثلة

----------------------------------------

ثامنا: ضرب الأعداد الجذرية

👈هي نفس الطريقة المتبعة لإنجاز عملية ضرب الأعداد الكسرية، (يمكن الرجوع إلى هذا الدرس في الفقرة السادسة). الفرق هنا هو طريقة التعامل مع جداء الأعداد النسبية (الموجبة والسالبة)

👈 أي أن جداء عددين جذريين يساوي عدد جذري بسطه هو جداء البسطين ومقامه هو جداء المقامين، ونعبر عن ذلك رياضياتيا:

ملاحظات:

← يمكن القيام بعملية الاختزال تزامنا مع عملية الضرب. لنأخذ المثال الثاني ضمن الأمثلة السابقة:

← يمكن حساب جداء عدة أعداد جذرية ولا يتغير الجداء إذا غيرنا ترتيب عوامله.

----------------------------------------

تاسعا: قسمة الأعداد الجذرية

👈لقسمة عدد جذي على عدد جدري نضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني (نفس الأمر يتعلق بقسمة عدد كسري على عدد كسري، يمكن الرجوع إلى درس الأعداد الكسرية الفقرة السابعة)، ونعبر عن ذلك رياضياتيا كما يلي:

ملاحظات:

← لا يجب الخلط بين المقلوب والمقابل (L’inverse et l’opposé).

← العدد الجذري ومقلوبه لهما نفس الإشارة.

← العدد 0 ليس له مقلوب.

----------------------------------------

عاشرا: ضرب وقسمة عدة أعداد جذرية

👈لإنجاز عملية حسابية تتضمن ضرب وقسمة عدة أعداد جذرية، أنطلق من جهة اليسار منجزا أول عملية (الضرب كانت أو القسمة) ثم ننتقل إلى إنجاز العملية الموالية حتى الانتهاء من جميع العمليات ( وقد تطرقنا في مقال سابق إلى الطرق التي يجب اتباعها لإنجاز تعبير حسابي يتضمن مجموعة من العمليات تحت عنوان ترتيب العمليات الحسابية يمكن الرجوع إليها بالنقر هنا).

مثال1: