الإحداثيات في الرياضيات

 الإحداثيات في الرياضيات، أنواع الإحداثيات، الإحداثيات الديكارتية، الإحداثيات القطبية، الإحداثيات على مستقيم، الإحداثيات في المستوى، الإحداثيات في الفضاء، المعلم المتعامد، المعلم غير المتعامد، الممنظم، غير الممنظم، الأفصول، الأرتوب، الأنسوب، إحداثيات نقطة، إحداثيات منتصف قطعة، المسافة بين نقطتية في المعلم.

 

👈 نقصد بالإحداثيات (بالفرنسية  Coordonnées ) مجموعة من البيانات (أرقام أو رموز) التي نضعها للتعبير عن موقع شيء ما أو شخص ما  بالنسبة لنظام مرجعي ما. 

👈 في اللغة العامية نقصد بكلمة coordonnées، المعلومات الشخصية التي تمكن من الاتصال بالشخص عبر مختلف الوسائل المتاحة كالعنوان البريدي أو العنوان الاليكتروني أو الهاتف أو مواقع التواصل الاجتماعي.

👈 وفي الرياضيات، الإحداثيات هي مجموعة من العناصر التي تساعدنا على تحديد موقع معين على مستقيم أو مستوى أو فضاء.

وكما أشرنا إلى ذلك مرات عديدة، فإن الرياضيات ليست مادة تدرس فقط في المدارس وبعيدة عن الواقع، بل على العكس تماما، فكل ما يدرس في الرياضيات له استعمالات مباشرة أو غير مباشرة في مجالات أخرى في الحياة.

👈 فالإحداثيات بدورها لها توظيفات أخرى في مجالات مختلفة من الحياة، ولعل أهمها نظام تحديد المواقع المعروف ب GPS الموجود في كل الهواتف الذكية، هذا النظام يتم استعماله من طرف جميع الأشخاص لتحديد موقع ما كما يتم اعتماده في الملاحة الجوية والبحرية لتحديد موقع الطائرة ومكان هبوطها أو الباخرة ومكان رسوها. فهل سألت يوما كيف يعمل هذا النظام؟؟

👈 قام العلماء بتقسيم الكرة الأرضية إلى خطوط وهمية: خطوط الطول وخطوط العرض، كل خط يبعد بنفس المسافة عن الآخر فتشكل بذلك شبكة كالتي نستعملها عند تحديد معلمة نقطة في الرياضيات (كما توضح الصورة)

↤ خطوط الطول عددها 360 خطا: 180 شرق خط غرينتش و180 غربه.

↤ خطوط العرض وتسمى أيضا دوائر العرض عددها 180، 90 شمال خط الاستواء و90 جنوبه

↤ كل خط من هذه الخطوط يرمز له بتعبير خاص به، فتكون كل بقعة على الأرض لها احداثيات خاصة بها بالنسبة لخطوط الطول وخطوط العرض.

 ⇦ مثلا:  تقع مدينة مكة المكرمة في الموقع ذات الإحداثيات: °21.41667 شمالا و39.81667° شرقا 

👈 لو فتحت التطبيق الخاص بتحديد المواقع GPS في هاتفك فسترى أنه يوجهك إلى المواقع التي تريد البحث عنها بهذه الطريقة أي أنه يحدث إحداثيات موقع بالنسبة لخطوط الطول والعرض.

👈 وبنفس الطريقة، يمكن لربان الطائرة استخدام الإحداثيات للتأكد من أن الطائرة تسير في الاتجاه الصحيح نحو المطار المقصود للنزول فيه.

👈 وموضوع الإحداثيات كثيرا ما يستعمل في أنشطة الرياضيات وفي الفيزياء أيضا، سنتحدث عنه هنا بالتفصيل حتى نتمكن من فهم واستيعاب كل ما يخصه تطبيقا لمبدأ التدرج والانتقال من السهل إلى الصعب ومن المركب إلى البسيط ومن المحسوس نحو المجرد وذلك وفق الفهرسة التالية:

- الإحداثيات في المدرسة الابتدائية

- أنواع الإحداثيات

❆❆❆❆❆

الإحداثيات في المدرسة الابتدائية:

👈 يتعامل المتعلم مع موضوع الإحداثيات منذ المستوى الثاني (البرنامج المنقح الجديد بالمغرب) من خلال أنشطة تحديد مَعْلَمَة أو مسار على شبكة تربيعية، حيث يتعرف على مَعْلَمَة نقط أو أشياء توجد على عقد ( نقط التقاء خطوط الشبكة) أو خانات بالنسبة لأشرطة العمودية والأفقية المكونة للشبكة.

👈 ولتفادي الصعوبات المرتبطة بالتسميات وتسهيلا لتحديد المعلمة يتم تسمية الأشرطة العمودية بالأرقام والأشرطة الأفقية بالحروف (أو العكس) حيث يتم البدء بكتابة اسم الشريط العمودي ثم إلى جانبه اسم الشريط الأفقي، هذا فيما يخص معلمة خانة، ونفس الأمر يتعلق عند تحديد معلمة عقدة وبدل الأشرطة يتم تسمية السطور الأفقية والسطور العمودية المكونة للشبكة. وقد أشرنا إلى هذا الأمر في تدوينة سابقة حول استعمالات الشبكة في الرياضيات يمكن الرجوع إليه من هنا. وتمثل هذه الصورة نماذج أنشطة خاصة بتحديد معلمة على شبكة:

👈 كما يتم اللجوء إلى تحديد احداثيات نقطة عند إنجاز بعض الأنشطة المتعلقة بالتحولات الهندسية على شبكة: تكبير وتصغير الأشكال (التحاكي)، التماثل المحوري، الإزاحة. وأيضا عند القيام برسم أشكال هندسية على شبكة. 

👈 كما يتم توظيف المستقيم المدرج لاكتساب مبادئ الإحداثيات منذ المستويات الأولى حيث يتعرف المتعلم كيف يتعامل مع المستقيم المدرج من خلال توظيف تقنيات لتحديد الأعداد عليه (الصحيحة الطبيعية أو العشرية) وقراءتها ومعرفة ما تمثله كل تدريجة من التدريجات الممثلة عليه أو لتأطير الأعداد ومقارنتها ومعرفة التي يمكن وضعها بين تدريجتين متتاليتين، وقد تطرقنا إلى طريقة التعامل مع المستقيم المدرج مع مختلف الأعداد ( الصحيحة أو العشرية) في درس خاص حول التعامل مع الأعداد الصحيحة والعشرية يمكنكم الرجوع إليه بالنقرهنا. وتمثل هذه الصورة أمثلة لأنشطة يتم توظيف فيها المستقيم المدرج:

❆❆❆❆❆❆

أنواع الإحداثيات

👈 تنقسم الإحداثيات إلى ثلاثة أنواع:

- الاحداثيات على المستقيم.

- الاحداثيات في المستوى.

- الاحداثيات في الفضاء.

👈 وبهذا الترتيب والتدرج، يتم تقديم الاحداثيات في المستويات ما بعد الابتدائي، حيث يتم التطرق أولا إلى تحديد إحداثيات النقط على المستقيم المدرج، ثم في المستوى ثم في الفضاء.

------------------------------

 النوع الأول: الاحداثيات على المستقيم:

👈 لتحديد إحداثيات نقطة على مستقيم، نقوم بتدريجه إلى تدريجات ، كل تدريجة تدل على قيمة معينة بالنسبة لنقطتين أساسيتين في المستقيم المدرج وهما: 

- أصل المستقيم المدرج الذي يحمل قيمة الصفر(0)

-  وحدة المستقيم المدرج الذي تحمل القيمة 1.

هذه القيمة نسميها أفصول النقطة. فأصل المستقيم، غالبا ما نرمز له بالحرف O، أفصوله هو: 0،  ووحدته، وغالبا ما نرمز له بالحرف I، أفصولها هو: 1 

في هذا المثال: 

↤ أفصول النقطة O  هو0  ونكتب: O(0)  أو x_O=0

↤ أفصول النقطة  I هو 1   ونكتب:  I(1) أو  x_I=1

↤ أفصول النقطة  M هو 5 ونكتب:  M(5) أو x_M=5

↤ أفصول النقطة  G هو 1-  ونكتب:   G(-1) أو x_G=-1

↤ أفصول النقطة  A هو 7-  ونكتب:  A(-7) أو x_A=-7

↤ أفصول النقطة  S  هو 8,5  ونكتب:   S(8,5) أو x_S=8,5

🔸ملاحظات:

◀ ليس بالضرورة أن تكون وحدة مستقيم مدرج بالسنتمتر، يمكن استعمال التربيعة أو وحدة أخرى اعتباطية.

◀ أصل المستقيم المدرج هو مركز المستقيم ويفصل بين الأعداد السالبة والأعداد الموجبة، 

◀ الأعداد ليس لها نهاية في جهة اليمين ولا في جهة اليسار لدى نرمز لها بقولنا زائد مالانهاية (∞+) وناقص مالانهاية (∞-)

◀ يمكن تمثيل أعداد صحيحة كما يمكن تمثيل أعداد عشرية على المستقيم المدرج.

◀ يمكن تحديد المسافة بين النقط على المستقيم انطلاقا من معرفة أفاصيلها، وذلك بتطبيق القاعدة التالية: 

👈 وبلغة الرياضيات: 

👈 لنأخذ المثال السابق:

↤المسافة بين النقطتين A  و M تساوي: AM=|x_M-x_A|=|5-(-7)|= |5+7|= |12|=12 

↤المسافة بين النقطتين  G و S  تساوي:  GS=|x_G-x_S|=|(-1)-8,5|= |-9,5|=9,5

↤ المسافة بين النقطتين  O و A  تساوي:  OA=|x_A-x_O|=|(-7)-0|=|-7|=7

( يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد النسبية للمزيد من المعلومات حول المستقيم المدرج بالنقر هنا)

◀ كما يمكن معرفة إحداثيات منتصف قطعة طرفاها محدد على المستقيم المدرج، وذلك بتطبيق القاعدة التالية:

إحداثيات منتصف قطعة على مستقيم مدرج هي مجموع إحداثيات طرفي القطعة مقسوم على 2

👈 وبلغة الرياضيات: 

👈 لنأخذ المثال السابق:

 ↤ إحداثيات منتصف القطعة  [AM]  هي:

↤ إحداثيات منتصف القطعة   [AG] هي :

↤إحداثيات منتصف القطعة  [IM] هي:

------------------------------

النوع الثاني: الاحداثيات في المستوى

👈 لمعرفة احداثيات نقطة على مستقيم نحدد موقعها والجهة التي توجد فيها بالنسبة لأصل المستقيم وأيضا المسافة الفاصلة بينها وبين أصل المستقيم بالنسبة للوحدة الاعتبارية للمستقيم.

👈 ماذا لو كانت النقطة خارج المستقيم؟؟؟

👈 في هذه الحالة نحدد موقعها في المستوى، والمستوى هو كل سطح منبسط ثنائي الأبعاد مثل سطح السبورة أو سطح الدفتر أو سطح الكرة الأرضية كما رأينا في مقدمة المقال.

👈 لمعرفة إحداثيات نقطة في مستوى ما، نستعمل مستقيمين مدرجين يُكوِّنان ما يسمى بالمَعْلَم، يلتقيان في نقطة واحدة تسمى أصل هذا المَعْلَم: هذه النقطة هي نقطة الصفر بالنسبة للمستقيمين:

 - المستقيم الأفقي يسمى محور الأفاصيل(Axe des abscisses) وغالبا ما نرمز له بمحور (OX) أو (OI) وهناك أيضا من يسميه محور السينات (س)

 - المستقيم العمودي يسمى محور الأراتيب (Axe des ordonnées) وغالبا من نرمز له بمحور (OY) أو (OJ) وهناك من يسميه محور الصادات  (ص). 

👈 وكل محور مرفق بوحدة الطول أو التدرج كما رأينا في الفقرة السابقة (الاحداثيات على المستقيم): وحدة محور الأفاصيل نرمز لها بـ OI ووحدة محور الأراتيب نرمز لها بـ  OJ 

👈👈باعتبار إشارة الأعداد الممثلة على كل محور من هذين المحورين، يمكن تقسيم المعلم إلى أربعة أجزاء بحيث يكون لكل جزء خصائص خاصة به:

الربع الأول: الربع الأيمن العلوي من المعلم؛ في هذا الربع تكون جميع الأرقام على محور الأفاصيل ومحور الأراتيب موجبة.

الربع الثاني: الربع العلوي الأيسر من المعلم؛ في هذا الربع تكون الأرقام على المحور الأفاصيل سالبة، وتكون الأرقام على محور الأراتيب موجبة.

الربع الثالث: الربع السفلي الأيسر من المعلم؛ في هذا الربع تكون جميع الأرقام على محور الأفاصيل ومحور الأراتيب سالبة.

الربع الرابع: الربع السفلي الأيمن من المعلم؛ في هذا الربع، تكون الأرقام على محور الأفاصيل موجبة، وتكون الأرقام على المحور الأراتب  سالبة. (صورة)

↤ في هذا المثال: النقطة A تنتمي إلى الربع الأول، والنقطة B تنتمي إلى الربع الثاني، والنقطة C تنتمي إلى الربع الثالث، والنقطة D تنتمي إلى الربع الرابع.

👈👈وباعتبار طبيعة المحورين المكونين للمعلم والوحدة المحددة على كل محور يمكن الحصول على أربع أنواع من المَعَالِمِ:

- معلم متعامد ممنظم (Repère orthonormé):  وهو المعلم الذي محوراه متعامدان ولهما نفس الوحدة (OI=OJ): 

- معلم متعامد غير ممنظم (Repère ortho non normé): وهو المعلم الذي محوراه متعامدين وليس لهما نفس الوحدة (OI≠OJ) 

- معلم غير متعامد ممنظم (Repère non ortho normé): وهو المعلم الذي محوراه غير متعامدين لكن لهما نفس الوحدة (OI=OJ).

- معلم غير متعامد وغير ممنظم (Repère non ortho non normé): وهو المعلم الذي محوراه غير متعامدين وليس لهما نفس الوحدة (OI≠OJ). 

🔸ملاحظات

◀ غالبا ما يتم استعمال النوع الأول ( معلم متعامد ممنظم) في إنجاز الأنشطة الخاصة بتحديد الاحداثيات في المستويات الأولى.

◀ كل هذه الأنواع الأربعة تسمى بالمعلم الديكارتي  (الاحداثيات الديكارتية) نسبة إلى الرياضي والفيلسوف الفرنسي ريني ديكارت

◀ يوجد نوع آخر من الإحداثيات يدعى الإحداثيات القطبية (Coordonnées polaires)، سنتحدث عن الفرق بينهما في الفقرة المقبلة.

🔸 كيف يتم التعبير عن إحداثيات نقطة في المستوى؟

👈رأينا أنه للتعبير عن إحداثيات نقطة على مستقيم مدرج، نحدد التدريجة الموافقة لهذه النقطة، وتسمى أفصول النقطة (الفقرة السابقة)، 

كيف نقوم إذن بالتعبير عن إحداثيات نقطة على مستوى؟ وهنا سنتعرف على الفرق بين المعلم الديكارتي والمعلم القطبي.

✤بالنسبة للمعلم الديكارتي 

👈 يتم التعبير عن كل نقطة على معلم ديكارتي على شكل زوج (x,y) حيث x و y عددان يشيران إلى موضع النقطة:

- x العدد الذي يوافق النقطة على محور الأفاصيل، ويسمى أفصول النقطة.

- y العدد الذي يوافق النقطة على محور الأراتيب، ويسمى أرتوب النقطة. 

👈 في هذا المثال:

↤ إحداثيات النقطة  A  هي: A(3  ; 2)

↤ إحداثيات النقطة B هي:  B(-2  ; 1)

↤ إحداثيات النقطة C هي:  C(-1  ; -4,8)

↤ إحداثيات النقطة  D هي: D(5 ; -3,9)

🔸ملاحظة مهمة: يجب البدء دائما من جهة اليسار لكتابة الإحداثيات والبدء بوضع الأفاصيل ثم الأراتيب (الترتيب المعتمد في الدول المغاربية) حتى لا تختلط لديك الاحداثيات. ← (الأرتوب , الأفصول)

✤بالنسبة للمعلم القطبي:

👈 ليس هناك اختلاف في رسم المعلم، أي أنه لهما نفس الخصائص ( نفس المحورين يلتقيان في أصل المعلم ومدرجين حسب وحدة معينة)، الاختلاف هنا هو في طريقة التعبير عن الإحداثيات، في المعلم الديكارتي يتم التعبير عنها بزوج من عددين ( افصول وأرتوب) وفي المعلم القطبي يتم التعبير عن الإحداثيات على شكل زوج أيضا (r ; ꞵ)، حيث:

- r هي المسافة الفاصلة بين النقطة وأصل المعلم.

- ꞵ هي قياس الزاوية التي رأسها أصل المعلم وطرفاها: محور الأفاصيل (جهة الأعداد الموجبة) والخط الرابط بين النقطة وأصل المعلم. 

🔸ملاحظات: 

↤ يتم التعبير عن قياس الزاوية هنا بالراديان وليس بالدرجات.

↤ لذا يعتبر هذا النوع من الإحداثيات متقدما شيئا ما مقارنة بالنوع الأول (يتم تقديمه في المستويات المتقدمة)

↤ نقتصر في هذا المقال بالنوع الأول (المعلم الديكارتي) للتعبير عن مختلف الإحداثيات.

 

✤حالات خاصة:

👈 النقطة التي هي أصل المعلم أفصولها صفر وأرتوبها صفر وغالبا ما نرمز لها بالحرف O ونكتب:  O(0 ;0) 

👈 جميع النقط التي تقع على المحور الأفقي (محور الأفاصيل) تختلف في الأفصول ولها أرتوب واحد ويساوي 0 

👈 والعكس تماما، جميع النقط التي تقع على المحور العمودي (محور الأراتيب) تختلف في الأرتوب ولها أفصول واحد ويساوي 0 

👈 جميع النقط التي لها نفس الأفصول تشكل مستقيما موازيا لمحور الأراتيب  (المحور العمودي) 

👈 جميع النقط التي لها نفس الأرتوب تشكل مستقيما موازيا لمحور الأفاصيل (المحور الأفقي) 

👈 النقط التي لها نفس الأرتوب والأفصول تشكل مستقيما يمر من أصل المعلم ويمر في الربع الأول والثالث للمعلم

 (يكون على شكل /)

👈 النقط التي أفاصيلها مقابل أراتيبها تشكل مستقيما يمر من أصل المعلم ويمر في الربع الثاني والرابع للمعلم ( يكون على شكل\) 

✤إحداثيات منتصف القطعة

👈 إلى حد الآن تعرفنا على طريقة تحديد والتعبير عن احداثيات نقطة، فهل يمكن معرفة إحداثيات نقطة تقع في منتصف قطعة؟

👈 نعلم أن كل قطعة تتكون عند ربط كل نقطتين في المستوى، فإذا علمنا إحداثيات هاتين النقطتين فإننا حتما سنعرف إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف هذه القطعة، وذلك بتطبيق للقاعدة التالية:

- أفصول منتصف القطعة يساوي مجموع أفصولي طرفي القطعة مقسوم على 2

- أرتوب منتصف القطعة يساوي مجموع أرتوبي طرفي القطعة مقسوم على 2.

👈 وبصيغة الرياضيات: 

👈لنأخذ هذا المثال: 

↤ إحداثيات النقطة A هي:A(5 ;4)  

↤ إحداثيات النقطة B هي: B(-3 ;2)

↤ بتطبيق العلاقة السابقة فإن إحداثيات منتصف القطعة [AB] هي: 

👈 وهي نفس الإحداثيات المبينة في المَعلم.

✤حساب المسافة بين نقطتين انطلاقا من احداثياتهما

👈 رأينا ذلك على المستقيم المدرج يمكن الرجوع إلى الفقرة السابقة، فهل يمكن القيام بالنسبة لنقطتين في المستوى.

👈 نعم، يمكن ذلك، بتطبيق هذه القاعدة: 

ملاحظة مهمة: تبقى هذه القاعدة صالحة فقط إذا كان المعلم متعامدا وممنظما (نفس الوحدة: OI=OJ)

👈 وكمثال على ذلك، نريد معرفة طول القطعة التي تربط النقطتين A(5 ;-1) و B(-3 ;4) :

------------------------------

النوع الثالث: الإحداثيات في الفضاء

👈 الفضاء، نقصد به الحيز الذي تشغله الأشياء، ولا نقصد به بالضرورة الفضاء الخارجي للكرة الأرضية المكون من الكواكب والأجرام السماوية، فكل مكان نتواجد فيه ويشغل أشياء أخرى غيرنا فهو فضاء، مثلا فضاء القاعة وهو الفضاء الذي يشغل جميع المعدات وجميع الأشخاص الذين يتواجدون داخله: كراسي، مقاعد، سبورات، مصباح معلق ...

👈 ولعل أبسط مثال يمكن أن تفهم به وتميز به الفضاء عن المستوى وعن المستقيم هو حركة التنقل كما توضح هذه الصورة: 

↤ توضح الصورة الأولى طريقا مستقيما داخل غابة، يعني أن سائق السيارة إما أن يسير نحو الأمام أو يرجع إلى الخلف، ولا يستطيع الخروج عن الطريق في جهات أخرى، وهذا نموذج من الواقع يوضح مفهوم التنقل على المستقيم. 

↤ الصورة الثانية عبارة عن صورة جوية لمدينة تتفرع لعدة طرق، أي أن سائق السيارة يمكن له التنقل بشكل حر (يمينا، يسارا، نحو الأمام، أو إلى الخلف ...) لكنه لا يستطيع الطيران، وهذا نموذج آخر من الواقع يوضح مفهوم المستوى في الرياضيات.

↤ الصورة الثالثة تمثل طائرة، والطائرة يمكن لها الطيران في جميع الاتجاهات بما في ذلك الأعلى والأسفل، يعني أنها تنطلق من سطح الأرض (باعتباره مستوى الانطلاق) ثم ترتفع إلى مستوى آخر ثم آخر إلى أن تستقر وتسير في مستوى ما في الفضاء ونفس الشيء عندما تقوم بالهبوط... وهذا نموذج يوضح مفهوم الفضاء في الرياضيات.   

👈 وإذا أردنا تحديد الإحداثيات على مستقيم نحتاج إلى مستقيم مدرج.

👈 وإذا أردنا تحديد الاحداثيات في المستوى نحتاج إلى مستقيمين مدرجين يشكلان ما أسميناه معلما.

👈 أما إذا أردنا تحديد الإحداثيات في الفضاء فإننا نحتاج إلى ثلاث مستقيمات مدرجة، فنحصل على معلم ذي ثلاثة أبعاد: بعدين يمثلان المستوى وثالث يمثل الارتفاع عن المستوى.

👈 وأفضل مثال لفهم الإحداثيات في الفضاء هو عند تحديد موقع طائرة في الفضاء، أي أننا نقوم أولا بتحديد مكان الطائرة بالنسبة لسطح الأرض أي باستعمال خطوط الطول والعرض التي تم تقسيم سطح الأرض إليها  (تطرقنا إلى ذلك في مقدمة المقال يمكن الرجوع إليها)  ثم نحدد البعد الثالث الذي ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض.

👈 من هنا نستنتج أنه عند تحديد إحداثيات نقطة في الفضاء نستعمل مثلوث من ثلاثة أعداد: 

- العدد الأول والثاني يحدد الاحداثيات في المستوى ( الأفصول والأرتوب)

- والعدد الثالث يحدد الأرتفاع في الفضاء ويسمى الأنسوب. 

👈 فإحداثيات كل نقطة  في الفضاء تكتب إذن على هذا الشكل: M(x ;y ;z)، بهذا الترتيب حيث  هوx الأفصول (Abscisse) وy هو الأرتوب (Ordonnée) و z هو الأنسوب (Cote)  

 🔸ملاحظات:

↤ المعلم في الفضاء يرمز له بالمربوع (O ;OI ;OJ ;OK) حيث O أصل المعلم و OI وحدة محور الأفاصيل و OJ وحدة محور الأراتيب و OK وحدة محور الأناسيب.

↤ من هنا نستنتج أيضا أن هناك أنواع من المعالم: 

- المعلم المتعامد الممنظم الذي يكون فيه المحاور الثلاثة متعامدة مع بعضها ولهما نفس الوحدة (OI=OJ=OK)

- المعلم المتعامد غير الممنظم الذي يكون فيه المحاور الثلاثة متعامدة لكن ليس لهما نفس الوحدة (OI#OJ#OK)

- المعلم غير المتعامد الذي يكون فيه على الأقل أحد المحوار غير متعامد مع الأخرين.

↤ إذا كان أحد هذه العناصر الثالثة يساوي 0 (الأفصول أو الأرتوب أو الأنسوب) فإننا نحدد الإحداثيات على المستوى 

↤ وإذا كان عنصران من هذه العناصر يساوي 0 فإننا نحدد الإحداثيات على مستقيم

↤ أما إذا كان كل هذه العناصر تساوي 0 فإننا نحدد إحداثيات أصل المعلم (0;0;0)O

↤ النقط التي لها نفس الأفصول تقع على مستوى واحد يوازي المستوى الذي يضم محورا الأراتيب والأناسيب.

↤ النقط التي لها نفس الأرتوب تتواجد على مستوى واحد يوازي المستوى الذي يضم محورا الأفاصيل والأناسيب.

↤ النقط التي لها نفس الأنسوب تتواجد على مستوى واحد يوازي المستوى الذي يضم محورا الأفاصيل والأراتيب 

✤إحداثيات منتصف قطعة

👈 كما رأينا في المَعلم ثنائي الأبعاد (على المستوى) فإنه يمكن أيضا تحديد إحداثيات منتصف قطعة في المعلم ثلاثي الأبعاد (في الفضاء) وذلك بتطبيق للقاعدة التالية:

- أفصول منتصف القطعة يساوي مجموع أفصولي طرفي القطعة مقسوم على 2

- أرتوب منتصف القطعة يساوي مجموع أرتوبي طرفي القطعة مقسوم على 2

- أنسوب منتصف القطعة يساوي مجموع أنسوبي طرفي القطعة مقسوم على 2

👈 ونعبر عنها رياضيا بالخاصية التالية: 

👈وكمثال على ذلك: 

✤حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء انطلاقا من إحداثياتهما

👈 رأينا ذلك على المستقيم ورأيناه أيضا في المعلم الثنائي الأبعاد (على المستوى) وقلنا شريطة أن يكون معلما متعامدا ممنظما، وبنفس الصيغة ( نضيف إليه فقط الأناسيب) نحصل على قاعدة معرفة المسافة بين نقطتين في الفضاء، وهذه الصيغة هي كالآتي: 

ملاحظة مهمة: تبقى هذه القاعدة صالحة أي فقط إذا كان المعلم متعامدا وممنظما (نفس الوحدة: OI=OJ=OK)

👈 وكمثال على ذلك:

❆❆❆❆❆❆

خلاصة:

👈 يوضح الجدول التالية خلاصة ما قمنا بالتطرق إليه في ما سبق: (يمكن النقر على الصورة لتكبيره)

إلى هنا نأتي إلى نهاية المقال، وهذه فقط نبذة سريعة حول الإحداثيات في الرياضيات حتى تتكون لديكم فكرة عامة عن مفهوم  الإحداثيات وقد قمنا بتقديمه بالتدرج من السهل نحو الصعب، وسنتطرق في دروس لاحقة إلى هذه الاحداثيات لكونها أساسية في تعلم مفاهيم أخرى كمعادلة المستقيم والدوال والتعامل مع الأشكال الثلاثية الأبعاد... إلى ذلك الحين نتمنى أن تكونوا قد استوعبتم مفهوم اليوم وإلى لقاء آخر ودمتم في رعاية الله وحفظه.