المضلعات المنتظمة وتعلم مبادئ الزخرفة

 المضلعات المنتظمة، أنواع المضلعات المنتظمة، إنشاء المضلعات المنتظمة، الخماسي المنظم، السداسي المنظم، المضلعات النجمية، زوايا المضلعات المنتظمة، محاور التماثل في المضلعات المنتظمة، الضلع والشعاع والعامد، مركز المضلع المنتظم، رؤوس المضلع المنتظم، المضلع المحدب، المضلع المقعر

مرحبا بكم من جديد، في هذا المقال سنتحدث عن المضلعات المنتظمة، وسنحاول الإحاطة بكل الجوانب الخاصة بها، كما سنتطرق إلى أحد تطبيقات هذه المضلعات المنتظمة في حياتنا اليومية خاصة في مجال الزخرفة.

 نطلق اسم مضلع (بالإنجليزية: Polygon) على كل شكل هندسي ثنائي الأبعاد مكون من أضلاع (خطوط مستقيمة) تشكل عند تقاطعها زوايا ورؤوس هذا المضلع. فالدائرة مثلا لا تصنف ضمن المضلعات لعدم وجود أي أضلاع أو حتى زوايا في الدائرة، وأيضا لا يعد أي شكل مفتوح مضلعاً، لأن المضلع يجب أن يكون مغلقا. 

وكلمة (Polygon) مشتقة من كلمتين إغريقيتين (polus) التي تعني متعدد و(gônia) التي تعني زاوية، فالمضلع (Polygon) يعني إذن متعدد الزوايا.

أنواع المضلعات

👈تنقسم المضلعات حسب خاصيات معينة إلى ما يلي:

❉ تختلف أسماء المضلعات حسب عدد الأضلاع (أو عدد الزوايا أو عدد الرؤوس) التي يتكون منها المضلع:

↤ المضلع الثلاثي (المثلث) له 3 أضلاع و3 رؤوس و3 زوايا.

↤ المضلع الرباعي له 4 أضلاع و4 رؤوس و4 زوايا.

↤ المضلع الخماسي له 5 أضلاع و5 رؤوس و5 زوايا وهكذا... 

👋وقد تطرقنا في دروس سابقة إلى الخصائص الخاصة بالمثلثات والرباعيات يمكنكم الرجوع إليها بالنقر عليها.

❉ تختلف أيضا هذه المضلعات حسب نوعية الزوايا الداخلية.

↤ المضلع الذي قياس كل زاوية داخلية أقل من 180 درجة يسمى المضلع المحدب

↤ المضلع الذي قياس إحدى زواياه الداخلية زاوية منعكسة (أكثر من 180 درجة) يسمى المضلع المقعر 

❉ وتنقسم أيضا هذه المضلعات حسب قياس أضلاعها وزواياها إلى:

↤ مضلعات أضلاعه غير متقايسة وزواياه غير متقايسة، مثل المثلث المختلف الأضلاع

↤ مضلعات أضلاعه متقايسة وزواياه غير متقايسة، مثل المعين

↤ مضلعات أضلاعه غير متقايسة وزواياه متقايسة، مثل المستطيل

↤ مضلعات أضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة مثل: المربع (صورة4) 

👈هذا النوع الأخير هو ما يسمى بالمضلع المنتظم، أي كل مضلع أضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة.

أمثلة للمضلعات المنتظمة:

👈 في كل صنف من أصناف المضلعات السابقة حسب عدد الأضلاع، يوجد نوع واحد منتظم:

↤ المضلع المنتظم في صنف المضلعات الثلاثية (المثلثات) هو المثلث المتساوي الأضلاع، لأن أطوال أضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة (°60)

↤ المضلع المنتظم في صنف المضلعات الرباعية (الرباعيات) هو المربع، لأن أطوال أضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة (°90)

↤ المضلع المنتظم في صنف المضلعات الخماسية يسمى الخماسي المنتظم، أطوال اضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة ( °105)

↤ وهناك أيضا السداسي المنتظم والسباعي المنتظم وهكذا... 

خصائص المضلع المنتظم

👈 يتميز المضلع المنتظم كما رأينا بكون أضلاعه وزواياه متقايسة، غير أنه توجد خصائص أخرى سنذكرها هنا بالتفصيل:

❉ الضلع والقطر والمركز والشعاع والعامد 

نبدأ في هذه الفقرة بهذه المصطلحات الخاصة بالمضلع المنتظم منها ما هو معروف كالضلع والقطر وما هو جديد في المضلعات كالشعاع والعامد، وذلك لأننا سنقوم بتوظيفها واستعمالاها في الخصائص الأخرى التي يتميز بها المضلع المنتظم، فما المقصود بها؟؟

↤ الضلع (Side بالإنجليزية وCôté بالفرنسية): كما هو معروف، الضلع هو كل قطعة مستقيمة تربط بين رأسين متتاليين من المضلع، فأصل كلمة (مضلع) مشتق من (ضلع)، فالمضلع الثلاثي (أو المثلث) يتكون من 3 أضلاع والرباعي من 4 أضلاع والخماسي من 5 أضلاع وهكذا... وسنرمز لعدد الأضلاع المكونة للمضلع في الفقرات الموالية بالحرف n، وسنرمز لطول الضلع بالحرف s. 

👋يتم إعطاء اسم المضلع باعتبار عدد الأضلاع المكونة له، ويبن الجدول التالي أسماء المضلعات ذات عدد الأضلاع من 3 إلى 20: (

↤القطر (Diagonal بالإنجليزية وDiagonale بالفرنسية): إذا كان الضلع يربط بين كل رأسي متتاليين في مضلع ما، فإن القطر هو القطعة المستقيمة التي تربط رأسين غير متتاليين في المضلع. 

👈ويختلف عدد الأقطار التي يمكن رسمها في المضلع حسب عدد رؤوسه:

• المضلع الثلاثي (المثلث): ليس له أقطار، وذلك لكون المثلث لا يتوفر إلا على رؤوس متجاورة، وعند ربط كل رأسين متجاورين نحصل على الضلع وليس على القطر.  

• المضلع الرباعي: له قطران (يمكن الرجوع إلى درس الرباعيات للمزيد من المعلومات حول طبيعة أقطار الرباعي) (صورة8)

• المضلع الخماسي: له خمسة أقطار، وتشكل النجمة الخماسية. 

• المضلع السداسي: له تسعة أقطار، وتشكل النجمة السداسية 

• ...

ملاحظات:

👈 يمكن تحديد عدد أقطار أي مضلع بالاعتماد على العلاقة التالية:

👈 كما يمكن معرفة عدد الأقطار التي تمر من كل رأس مضلع بتطبيق العلاقة:  n – 3، حيث  n عدد الأضلاع.

       مثال : عدد الأقطار التي يتكون منها المضلع ذو عشرة أضلاع هو:35 قطرا 

       وعدد الأقطار التي تمر من كل رأس هو 7=3 – 10 

👈 أقطار المضلعات ذات عدد زوجي من الأضلاع تحدد مركز المضلع الذي هو مركز الدائرة المحيطة ومركز الدائرة المحاطة (سنتطرق إليهما في الفقرة الموالية)

↤المركز (بالإنكليزية Center وبالفرنسية Centre): المركز، كما في الدائرة، هو النقطة التي تتوسط المضلع وتبعد بنفس المسافة عن رؤوس المضلع وهو في نفس الوقت مركز الدائرة المحيطة بالمضلع ومركز الدائرة المحاطة بالمضلع. (الفقرة الموالية)

👈 يمكن تحديد مركز المضلع بإحدى الطريقتين:

•الأولى: في حالة ما إذا كان عدد أضلاع المضلع زوجيا (10،8،6،4 ...) الربط بين رأسين متقابلين من رؤوس المضلع ونقطة التقاء هذه الأقطار هي مركز المضلع. 

•الثانية: في حالة ما إذا كان عدد أضلاع المضلع فرديا ( 9،7،5،3 ...)، في هذه الحالة نرسم واسطات كل ضلع ( أو نكتفي بضلعين فقط) ونقطة تلاقي هذه الواسطات هو مركز المضلع.  (والواسط هو المستقيم المار من منتصف الضلع والعمودي عليه) 

ملاحظة: يمكن استعمال الطريقة الثانية لتحديد مركز المضلع عدد أضلاعه عدد زوجي، ولا تسمح الطريقة الأولى لتحديد مركز المضلع عدد أضلاعه عدد فردي.

 

↤ الشعاع (بالإنجليزية Radius وبالفرنسية  Rayon): عادة ما نستعمل كلمة شعاع في الدائرة التي تعني أيضا نصف القطر، يمكن أيضا استعمالها هنا في المضلعات المنتظمة فالشعاع هو طول القطعة المستقيمة التي تربط (أو المسافة الفاصلة) بين مركز المضلع ورؤوس المضلع، وهو نفس شعاع الدائرة التي تمر برؤوس المضلع أو الدائرة المحيطة بالمضلع (الفقرة الموالية). وسنرمز للشعاع في الفقرات الموالية من هذا الدرس بالحرفR. 

↤العامد ( بالإنجليزية Apothem وبالفرنسية Apothème): هو طول القطعة المستقيمة التي تربط بين مركز المضلع ومنتصف أحد أضلاع المضلع، هذه المسافة هي نفسها شعاع الدائرة المحاطة بالمضلع (الفقرة الموالية)، كما يمكن القول أن العامد هي المسافة بين مركز المضلع ونقطة تماس الدائرة المحاطة مع أحد أضلاع المضلع. وسنرمز للعامد خلال في فقرات الدرس بالحرف a. 

↤العلاقة بين طول الضلع والشعاع والعامد:

👈برسم كل من الشعاع والعامد مع الضلع الموافق لهما، نحصل على مثلث قائم الزاوية، كما يتضح لنا في الصورة:

← وبتطبيق لمبرهنة فيتاغورس نحصل على ما يلي: 

← وبتطبيق للعلاقات المثلثية، نحصل على ما يلي: 

❉ الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة

👈تحدثنا في درس سابق عن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة (يمكن الرجوع إلى الدرس من هنا)، ورأينا أن هناك بعض المضلعات التي تقبل الدائرة المحاطة فقط ولا تقبل الدائرة المحيطة كالمعين، وهناك مضلعات، عكس ذلك، لا تقبل الدائرة المحاطة بينما تقبل الدائرة المحيطة كالمستطيل، في حين ان المضلع المنتظم يقبل معاً الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة كالمربع. ولهما نفس المركز الذي هو مركز المضلع.

↤ قطر وشعاع الدائرة المحيطة والدائرة المحيطة:

← بالنسبة للدائرة المحيطة، شعاعها هو المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة (أو مركز المضلع) وأحد رؤوس المضلع، وتساوي نصف قطر المضلع في حالة ما إذا كان عدد أضلاع المضلع زوجيا (المربع، السداسي، الثماني، العشاري ...)، أي أن قطر هذه المضلعات هو نفسه قطر الدائرة المحيطة. ويحسب الشعاع بتطبيق إحدى القواعد التالية (سواء كان عدد الأضلاع زوجيا أو فرديا):

← بالنسبة للدائرة المحاطة، شعاعها هو المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة (أو مركز المضلع) ونقطة تماس الدائرة مع أحد أضلاع المضلع، وتسمى هذه المسافة بالعامد (انظر الفقرة السابقة)، ويمكن حسابها بتطبيق القواعد التالية: 

← وانطلاقا من القواعد السابقة نستنتج العلاقة الموجودة بين شعاع الدائرة المحيطة وشعاع الدائرة المحاطة في المضلعات المنتظمة، وهي: (صورة 23)

❉ الزوايا في المضلع المنتظم

👈يمكن تقسيم زوايا المضلع المنتظم إلى ثلاثة أصناف: الزوايا الداخلية، الزوايا الخارجية، الزوايا المركزية. 

👈 كل مضلع منتظم يحتوي على نفس العدد من الزوايا الداخلية والزوايا الخارجية والزوايا المركزية.

↤الزوايا الداخلية

👈 رأينا أن المضلعات تتكون من أضلاع مشكلة عند تقاطعها رؤوسا وزوايا (زوايا داخلية)، تتميز هذه الزوايا بأن مجموع قياساتها يبقى ثابتا في كل مضلع رغم تغير أضلاعه وزواياه، ويبن الجدول التالي هذه القياسات. 

أمثلة: 

ملاحظات:

← يمكن تحديد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع بتطبيق العلاقة : (2 – عدد أضلاع المضلع) × 180

مثال: 

- مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع رباعي: 360 = ( 2 – 4) × 180

- مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع سداسي 720= (2 – 6) × 180

- يمكن تجربتها على المضلعات الأخرى...

← لا يوجد مضلع يقل عدد أضلاعه وعدد زواياه عن 3 كما لا يوجد مضلع مجموع قياس زواياه الداخلية أقل من 180 درجة. (وللمزيد من المعلومات حول المضلعات يرجى زيارة درس سابق حول الرباعيات من هنا ودرس آخر حول المثلثات من هنا) 

👈هذا فيما يخص المضلعات بشكل عام، فماذا عن المضلعات المنتظمة؟؟

👈 نعلم ان في المضلع المنتظم تكون أضلاعه متقايسة كما تكون زواياه متقايسة، 

👈 إذن لمعرفة قياس كل زاوية داخلية في كل مضلع منتظم، نقوم بقسمة مجموع الزوايا الخاص بكل مضلع على عدد زواياه الذي يوافق عدد أضلاعه:

- قياس كل زاوية داخلية في الثلاثي المنتظم (مثلث متساوي الأضلاع) هو: °60=3÷180

- قياس كل زاوية داخلية في الرباعي المنتظم (مربع) هو: °90 = 4÷360

- قياس كل زاوية داخلية في الخماسي المنتظم هو: °108 = 5÷540

- قياس كل زاوية داخلية في السداسي المنتظم هو: °120 = 6÷720

- قياس كل زاوية داخلية في السباعي المنظم يُعطى بقيمة مقربة لإن نتيجة القسمة غير منتهية: °...128,571= 7÷900

- ...

👈 من هنا نستنتج أن لمعرفة قياس كل زاوية في أي مضلع منتظم نطبق العلاقة:

↤ الزوايا الخارجية

👈 الزاوية الخارجية للمضلع هي الزاوية الواقعة بين أحد أضلاع المضلع وامتداد الضلع المجاور.

👈 مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع (كيفما كان نوعه) يساوي 360 درجة. 

👈 يمكن البرهنة على ذلك بالشكل التالي: (يمكن الضغط على الصورة لتكبيرها)

👈 وتتضح هذه الخاصية أكثر في المضلعات المنتظمة، كما تبين الصورة: 

الصورة توضح أن بوضع الزوايا الخارجية للمضلع التساعي المنظم (تسعة أضلاع) جنبا إلى جنب نحصل على دائرة والدائرة عبارة عن زاوية كاملة (360 درجة) (يمكن تحريك الصورة بالضغط على زر تحريك// مصدر الصورة: موقع www.alloprof.qc.ca )

👈 وإذا أردنا تحديد قياس كل زاوية خارجية لمضلع منتظم نقوم بقسمة 360 على عدد الزوايا التي يتكون منها،

- قياس كل زاوية خارجية في المضلع الثلاثي المنتظم (مثلث متساوي الأضلاع): °120=3÷360

- قياس كل زاوية خارجية في المضلع المنتظم الرباعي (المربع): °90=4÷360

- قياس كل زاوية خارجية في المضلع الخماسي المنتظم: °72=5÷360

- قياس كل زاوي خارجية في المضلع السداسي المنتظم : °60=6÷360

 مثال: 

↤ الزوايا المركزية

👈 الزاوية المركزية هي الزاوية المكوَّنة عند ربط رأسين متتالين من رؤوس المضلع مع مركز المضلع، فيكون رأس الزاوية هو مركز المضلع وطرفيها هما الضلعان اللذان يربطان مركز المضلع برأسين متتاليين من رؤوس المضلع، وبتعبير آخر الزاوية المركزية هي الزاوية التي رأسها مركز المضلع وتحصر ضلعا واحدا من بين أضلاعه.

👈 الزوايا المركزية لا توجد إلا في المضلعات المنتظمة، لكون المضلعات غير المنتظمة لا تتوفر على مركز ثابت. وعددها يساوي عدد الزوايا الداخلية وعدد الزوايا الخارجية الذي يساوي عدد أضلاع المضلع. 

👈 ومن هنا نستنتج أن مجموع قياس كل الزوايا المركزية لمضلع واحد يساوي 360 درجة لأنها تشكل عند ضمها دائرة (الزاوية الكاملة) 

👈 ونستنتج أيضا أن قياس كل زاوية مركزية في المضلع المنتظم يساوي: 360 مقسوم على عدد الأضلاع التي يتكون منها. 

↤خلاصة حول زوايا المضلعات المنتظمة:

👈هذه الصورة توضح العلاقة بين قياس الزوايا الداخلية والخارجية والمركزية لبعض المضلعات المنتظمة:  (مصدر الصورة: موقع www.alloprof.qc.ca ) (صورة متحركة)

👈 ويبين الجدول التالي المقارنة بين أنواع الزوايا في بعض المضلعات: 

ملاحظات:

← قياس الزاوية المركزية يساوي قياس الزاوية الخارجية

← المضلع المنتظم الذي زواياه الداخلية والخارجية والمركزية متقايسة هو المربع.

❉ مساحة ومحيط المضلع المنتظم

👈 بالنسبة للمحيط: المحيط هو مجموع أطوال أضلاع المضلع، وفي المضلع المنتظم أضلاعه متقايسة، نستنتج إذن أن محيط المضلع المنتظم يساوي: طول كل ضلع × عدد الأضلاع. مثال: 

👈 ولحساب المساحة، نقوم بتجزيء المضلع إلى مثلثات متساوية الساقين رأسها هو مركز المضلع كما يوضح المثال: 

↤ نلاحظ أن عدد المثلثات المكونة للمضلع هو نفسه عدد الأضلاع المكونة للمضلع،

↤ إذن لحساب مساحة المضلع يكفي أن نحسب مساحة مثلث واحد ثم نضربها في عدد المثلثات، 

مثلا:  مساحة المضلع السداسي المنتظم = مساحة إحدى هذه المثلثات × 6

↤ فكيف إذن يتم حساب مساحة هذه المثلثات؟؟؟

نحن نعرف أن لحساب مساحة المثلث نضرب ارتفاع المثلث في طول قاعدة المثلث الموافق له ونقسم على 2 (للمزيد حول طرق حساب المساحات يرجى زيارة هذا الموقع) 

↤ وبتطبيق لهذه القاعدة في أحد المثلثات المكونة للمضلع المنتظم، نجد أن قاعدة المثلث هنا هي ضلع من أضلاع المضلع (s) وارتفاع المثلث هنا هو العامد (a) (راجع الفقرة السابقة)

↤ أي أن مساحة المثلث تساوي:( هذه هي العلاقة 1 التي سنوظفها في العلاقات المقبلة)

↤ سنقوم إذن بتحديد هذه المساحة بثلاث طرق: الأولى بدلالة العامد a والثانية بدلالة طول الضلع  s والثالثة بدلالة الشعاع R.

◀ بدلالة العامد:

← نحن نعرف العلاقة الموجودة بين طول الضلع والعامد في المضلع المنتظم هي:

← في العلاقة 1 السابقة، نقوم بتعويض s  بقيمته فتصبح مساحة المثلث على الشكل التالي: 

← ونحن نعرف أيضا أن عدد المثلثات في المضلع المنتظم هو نفسه عدد الأضلاع n 

← فتكون مساحة المضلع بدلالة العامد هي:  (صورة42)

◀ بدلالة طول الضلع

← العلاقة بين الضلع والعامد هي:

← ومنها نستنتج أن: 

← في العلاقة 1 السابقة، نقوم بتعويض a بقيمته فتصبح مساحة المثلث على الشكل التالي: 

← فتكون مساحة المضلع بدلالة طول الضلع هي: صورة45)

◀بدلالة الشعاع R

← نعلم أن العلاقة بين الشعاع وطول الضلع والعلاقة بين الشعاع والعامد هما: (يمكن الرجوع إلى الفقرة السابقة)  

← وفي العلاقة 1، نعوض s بقيمته و a  بقيمته، فتصبح مساحة المثلث على الشكل التالي:

← فتكون مساحة المثلث بدلالة الشعاع هي: 

👈 يمثل الجدول أسفله القيم المقربة لمساحات بعض المضلعات المنتظمة بدلالة طول الضلع وبدلالة العامد وبدلالة الشعاع في حالة كل واحد منها يساوي 1: 

ملاحظات:

👈 بالنسبة لمساحة الرباعي المنتظم (المربع) تكون قيمتها مضبوطة وتساوي 1 في حالة يساوي طول الضلع 1 وتساوي 4 في حالة يساوي العامد 1 وتساوي 2 في حالة يساوي الشعاع 1. (يمكن التأكد من ذلك بتطبيق قواعد حساب المساحة السابقة )

👈 نلاحظ أيضا، أن المساحة تزداد كلما زاد عدد الأضلاع في حالة حسابها بدلالة طول الضلع، وتنقص كلما زاد عدد الأضلاع في حالة حسابها بدلالة العامد أو الشعاع.

← من هنا نستنتج ان كلما زاد عدد طول العامد أو الشعاع ينقص طول الضلع فتقترب رؤوس المضلع من بعضها

👈 ملاحظة أخرى مهمة، هي أن قيمة المساحة  بدلالة كل من العامد والشعاع تتجه نحو التساوي كلما زاد عدد الأضلاع ( لاحظ أنه في حالة n=1000000 مساحة المضلع بدلالة كل من العامد والشعاع متساوية بالتقريب)

← هذه القيمة تقترب أيضا من العدد π، والتي تساوي مساحة القرص في حالة شعاعها يساوي1.

← هذا يعني إذن أن مساحة المضلع كلما زاد عدد أضلاعه يقترب من مساحة القرص 

← ويبقى السؤال المطروح: هل هذا القرص هو القرص ذو الدائرة المحيطة أو ذو الدائرة المحاطة؟

← نحن نعلم أن الدائرة المحاطة هي التي شعاعها هنا يساوي طول العامد والدائرة المحيطة التي شعاعها هنا هو نفس شعاع المضلع (تطرقنا إلى هذا في فقرة الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة يمكن الرجوع إليها) ولاحظنا أن كلما ازداد عدد أضلاع المضلع تتساوى المساحة في حالة قمنا بحسابها بدلالة العامد وبدلالة الشعاع، وهذا يعني أن الدائرة المحاطة تقترب شيئا فشيئا  لتتطابق مع الدائرة المحيطة، فتكون دائرة واحدة ومساحتها تقترب من مساحة المضلع كلما زاد عدد أضلاعه.

❉ محاور التماثل في المضلعات المنتظمة:

👈 محور التماثل كما هو معروف، هو كل مستقيم يقوم بتجزيء شكل إلى جزئين متماثلين، أي أن كل جزء يكوِّن صورة معكوسة مطابقة للجزء الآخر، وبتعبير آخر أننا إذا قمنا بطي الشكل وفق هذا المحور تتطابق الأضلاع والرؤوس فيما بينها.

👈 فمثلا لو أخذنا مثلثا متساوي الأضلاع (المضلع المنتظم الثلاثي)، نلاحظ أنه بالإمكان طي هذا المثلث وفق ثلاثة محاور في كل مرة لينطبق الرأس الثاني مع الثالث، 

← نستنتج إذن أن عدد محاور التماثل في المضلع المنتظم الثلاثي هو 3، والذي هو نفس عدد الأضلاع..

👈 وهل هذا يعني أن عدد محاور كل نوع من المضلعات المنتظمة هو نفس عدد الأضلاع؟؟

← هذا صحيح، فالمضلع الرباعي المنتظم له أربعة محاور تماثل، والمضلع الخماسي المنظم له خمس محاور تماثل والسداسي له ست وهكذا... 

← نلاحظ أنه إذا تعلق الأمر بالمضلع المنتظم ذي عدد زوجي من الأضلاع فإن نصف عدد محاوره التماثل تعتبر من أقطاره.

❉ المضلعات النجمية المنتظمة

👈 المضلع النجمي المنتظم هو المضلع المنتظم غير المحدب، والمثال الأكثر شيوعاً هو النجمة الخماسية، التي لها نفس رؤوس الخماسي، ورأينا ذلك في فقرة أقطار المضلع المنتظم، أي عند إنشاء أقطار المضلعات المنتظمة فإن هذه الأقطار تشكل نجوما أو مضلعات نجمية منتظمة، أمثلة:

- المضلع الخماسي المنتظم تشكل أقطاره نوع واحد من المضلعات النجمية (النجمة الخماسية) 

- المضلع السداسي المنتظم تشكل أقطاره نوع واحد من المضلعات النجمية (النجمة السداسية) 

- المضلع السباعي المنتظم تشكل أقطاره نوعين من المضلعات النجمية (النجمة السباعية)

- المضلع الثماني المنتظم تشكل أقطاره نوعين من المضلعات النجمية (النجمة الثمانية)

- المضلع التساعي المنظم تشكل أقطاره ثلاثة أنواع من المضلعات النجمية (النجمة التساعية) 

← تلاحظون أنه كلما ارتفع عدد أضلاع المضلع المنتظم يرتفع أنواع المضلعات النجمية 

إنشاء المضلع المنتظم

👈 من الممكن إنشاء المضلع المنتظم باستعمال الأدوات الهندسيةوبتوظيف للخصائص السابقة، غير أنه توجد بعض المضلعات التي يستحيل إنشاؤها باستعمال الأدوات الهندسية إلا إذا تم ذلك بالتقريب مثل المضلع المنتظم السباعي، لكون قياس زاويته الداخلية يساوي عدد غير مضبوط، أي أننا نكتفي بقيمة مقربة، وهذا لا يعطينا المضلع بأبعاده المضبوطة، ويتعلق الأمر أيضا ببعض المضلعات المنتظمة... إلا أنه باستعمال الوسائل الحديثة كبرامج الحاسوب يمكن إنشاء أي مضلع كيفما كان نوعه.

👈 يمكن إنشاء المضلع المنتظم بأربع طرق مختلفة: انطلاقا من أضلاعه وزواياه الداخلية، انطلاقا من أقطاره، انطلاقا من الزوايا المركزية، انطلاقا من الدائرة المحيطة (يمكن مشاهدة الفيديو أسفله للمعاينة المباشرة لهذه الطرق) 

1-انطلاقا من أضلاعه وزواياه:

↤ نرسم ضلعا حسب طول معين

↤ نرسم ضلعا آخر له نفس الطول مع الضلع الأول ويشكل معه زاوية قياسها:

    - 60 درجة لرسم المضلع الثلاثي المنتظم (المثلث المتساوي الأضلاع)

    - 90 درجة لرسم المضلع الرباعي المنتظم (المربع)

    - 108 درجة لرسم المضلع الخماسي المنتظم

    - (يمكن الرجوع إلى الجدول السابق للاطلاع على قياس الزوايا الداخلية لأنواع المضلعات)

↤ ثم نرسم ضلعا آخر يحقق نفس الشروط إلى نحصل على المضلع المطلوب.

2- انطلاقا من أقطاره: (هذه الطريقة يمكن توظيفها في الخماسي المنظم وابتداء من السباعي المنظم، ولا يمكن توظيفها في الثلاثي والرباعي والسداسي)

↤ نرسم قطعة وفق طول معين (باعتبارها أحد الأقطار)

↤ نرسم قطعة أخرى لها نفس طول القطعة الأولى وتشكل معها زاوية قياسها:

    - 36 درجة بالنسبة للخماسي المنظم

    - 25 درجة (بالتقريب) بالنسبة للسباعي المنظم

    - 45 درجة بالنسبة للثماني المنظم 

-( للحصول على قياس هذه الزوايا الخاصة بكل مضلع يمكن قسمة قياس الزاوية الداخلية لكل مضلع على n – 2  ، إذا كان n فرديا أو قسمتها على نصف n – 2   إذا كان  n زوجيا، حيث n عدد أضلاعه) 

↤ ثم نرسم قطعة أخرى تحقق نفس الشرطين السابقين حتى نصل إلى نقطة البداية ونحصل على المضلع النجمي المنتظم، ثم نربط بين رؤوسه للحصول على المضلع المطلوب.

3-انطلاقا من الزوايا المركزية

↤ نرسم قطعة مستقيمة بطول معين.

↤ نحدد أحد طرفي القطعة باعتباره مركز المضلع.

↤ نرسم قطع أخرى بنفس طول الأولى ونحقق زاوية مركزية قياسها:

    - 120 درجة لرسم المضلع الثلاثي المنظم (المثلث المتساوي الأضلاع)

    - 90 درجة لرسم المضلع الرباعي المنظم (المربع)

    - 72 درجة لرسم المضلع الخماسي المنظم.

    - 60 درجة لرسم المضلع السداسي المنظم.

    - 51,43 درجة (بالتقريب) لرسم المضلع السباعي المنظم.

    - (يمكن الرجوع إلى الجدول أعلاه للاطلاع على قياس الزوايا المركزية لأنواع المضلعات)

↤ ثم نرسم قطعة أخرى لها نفس الطول وتشكل مع القطعة الثانية زاوية مركزية لها نفس القياس،

↤ وهكذا حتى الانتهاء من رسم جميع الزوايا المركزية، وفي الأخير أربط بين رؤوس القطع لأحصل على المضلع المطلوب.

4-انطلاقا من الدائرة المحيطة:

↤ نرسم دائرة وفق شعاع معين R.

↤ نحدد طول الضلع بتحديد نقطة أخرى على الدائرة تبعد عن الأولى بـتطبيق إحدى العلاقات السابقة: 

ويوضح هذا الفيديو هذه الطرق بالتفصيل:

من المضلعات المنتظمة نحو تعلم مبادئ الزخرفة

👈 بمعرفتك لأنواع المضلعات المنتظمة وخصائصها من حيث الأضلاع والزوايا والأقطار ومحاور التماثل، وأيضا طرق رسمها المختلفة، يمكنك اكتساب بعض مبادئ الزخرفة كما توضح هذه الصور:

1- بتكرار النجمة الخماسية نحصل على الزخرفة التالية:

2- حصلنا على هذا النموذج انطلاقا من المضلع السباعي المنتظم،  

وبتكراره نحصل على هذه الزخرفة التالية:

3- حصلنا على هذا النموذج انطلاقا من المضلع المنتظم ذي 12 ضلعا،

وبتكراره حصلنا على الزخرفة التالية:

4- حصلنا على هذا النموذج انطلاقا من المضلع الثماني المنتظم، 

وبتكراره حصلنا على الزخرفة التالية: 

5- بواسطة المضلعات المنتظمة ( الثلاثية والرباعية والسداسية) حصلنا على الزخرفة التالية: 

6- برسم جميع أقطار المضلع المنتظم ذي 12 ضلعا، نحصل على نموذج الزخرفة التالي: 

7- ومن المضلع العشاري المنتظم، حصلنا على الزخرفة التالية: 

8- وانطلاقا من أقطار المضلع المنتظم ذي 20 ضلعا نحصل على هذه الزخرفة: 

9- حصلنا على هذا النموذج من المضلع الثماني المنتظم،

وبتكراره نحصل على النموذجين: 

كما تلاحظون، يمكن إنشاء أي نوع من الزخرفة بتكرار رسم المضلعات، أو انطلاقا من أقطاره، وتبقى لكل واحد طريقته الخاصة في الرسم وتوظيف الأضلاع والأقطار وأيضا توظيف الألوان المناسبة، كما يمكن إضافة الدوائر لإضفاء جمالية ورونق اكثر...

خاتمة:

إلى هنا نأتي إلى نهاية هذا المقال حول المضلعات المنتظمة، ونتمنى أن نكون قد تحدثنا عن جميع الجوانب الخاصة بها، فإذا كانت هذه هي أول مرة تقرأ عن هذه المضلعات واستفدت منها، فلا تنس أن تقوم بالانضمام إلى صفحاتنا في مواقع التواصل الاجتماعي وإلى قناتنا على اليوتيوب للاطلاع على مزيد من الدروس والمهارات في الرياضيات، كما ننتظر منكم آرائكم وملاحظاتكم وأيضا اقتراحاتكم واستفساراتكم في كل ما يخص الرياضيات، وشكرا لكم وإلى لقاء آخر إن شاء الله.