الدائرة، خصائصها، استعمالاتها وأنواعها

استعمل الإنسان منذ زمن بعيد وما يزال يستعمل الأشكال الهندسية في مختلف الميادين، فهي تعتبر عنصرا أساسيا في كلّ ما نراه ونستخدمه في حياتنا اليومية، من المباني والسيارات إلى الأجهزة الإلكترونية وغير ذاك...

 وتعتبر الدائرة جزءا مهما من هذه الأشكال الهندسية، وكان أول استخدام للدائرة هو العجلة وهو أكثر مثال اُسْتُخْدِمَ عبر التاريخ كما لها استخدامات كثيرة في الهندسة كبناء القباب والأقواس والجسور، وفي الفنون والحرف اليدوية، وفي الرياضة، وأيضا في إعداد الطعام. 

في هذا المقال سنتحدث عن الدائرة وعن خصائصها وما يميزها عن الأشكال الهندسية الأخرى، بالإضافة الى استعمالها في الهندسة، وأيضا سنتعرف عن أنواع الدوائر وطريقة رسمها. 

وذلك وفق الفهرسة التالية (يمكن النقر على العنوان للذهاب مباشرة إلى الفقرة الموافقة له)

✪ تعريف الدائرة

✪ التمييز بين المسميات

✪ رسم الدائرة

✪ الدائرة والنقط 

✪ الدائرة والمستقيم

✪ الدائرة والزوايا

✪ الدائرة والمضلعات

✪ أنواع الدوائر

✪ محيط الدائرة ومساحة القرص

✪ تطبيقات الدائرة

✷✷✷✷✷

👈للإشارة فإن الدائرة تدخل ضمن ما يسمى بالمخروطيات والتي تضم إلى جانب الدوائر أشكال أخرى مثل الإهليلج (الشكل البيضوي بالإنجليزية: Ellipse)، الهذلول( بالإنجليزية: Hyperbola )، الشلجم (بالإنجليزية: Parabola) سنتطرق إلى المخروطيات في وقت لاحق إن شاء الله. 

أولا : تعريف الدائرة

✷هل نعرف أن كل خط نرسمه إنما هو مجموعة من النقط المتتالية غير المتناهية؟

 👈 فإذا كانت هذه النقط على استقامة واحدة فنقول إنها تشكل مستقيم (أو قطعة أو نصف المستقيم) وإذا كانت غير ذلك أي لا توجد على استقامة واحدة نقول إننا حصلنا على منحنى.

👈 وبنفس الطريقة، فإن الدائرة هي منحنى، أي مجموعة من النقط المتتالية غير المتناهية، والتي لا توجد على استقامة واحدة لكنها تبعد بنفس المسافة عن نقطة واحدة، هذه النقطة تسمى مركز الدائرة وهذه المسافة الثابتة تسمى شعاع الدائرة أو نصف قطر الدائرة. 

👈 من هنا نستنتج هذه التعاريف والخصائص:

⚫الدائرة شكل هندسي ثنائي الأبعاد (أي نرسمها على المستوى كالورقة أو السبورة... كباقي الأشكال الهندسية الأخرى كالمربع والمستطيل وغيرها...) 

⚫ الدائرة مجموعة من النقط تبعد بنفس المسافة عن المركز. (صورة متحركة)

        ⚫ مركز الدائرة هي نقطة وحيدة في وسط الدائرة وتبعد بنفس المسافة عن كل نقطة من هذه الدائرة.

⚫ شعاع الدائرة هو المسافة الثابتة والفاصلة بين كل نقطة من هذه الدائرة ومركز الدائرة 

⚫ وتر الدائرة هو كل خط يربط بين نقطتين من هذه الدائرة. 

⚫ قطر الدائرة هو الوتر الذي يمر من مركز الدائرة ويساوي ضعف الشعاع، وهو أطول أوتار الدائرة. والقطر يقسم الدائرة إلى نصفي دائرة.

⚫ قوس الدائرة هو كل جزء من الدائرة الذي يربط نقطتين من هذه الدائرة. 

⚫ نصف الدائرة هو القوس الذي يربط بين نقطتين من الدائرة هما قطرا هذه الدائرة. 

⚫ مماس الدائرة هو المستقيم الذي يمس الدائرة في نقطة وحيدة ولا يمر داخل الدائرة، أي أنه إذا قطع مستقيم ما دائرة ما في نقطتين مختلفتين، فإن هذا المستقيم ليس بمماس الدائرة، ولنا عودة خاصة إلى مماس الدائرة. 

⚫ محيط الدائرة هي المسافة بين نقطة بداية رسم الدائرة ونقطة نهاية رسمها 

✷✷✷✷✷

ثانيا: التمييز بين المسميات

1- الدائرة والقرص

قبل أن نميز بين الدائرة والقرص، دعونا أولا نوضح ما يلي: (أشرنا إلى هذه النقط بالتفصيل في فقرة: الدائرة والنقط)

↤ النقط التي تقع على الدائرة (تنتمي إلى الدائرة) تبعد بنفس المسافة عن المركز وتساوي الشعاع. 

↤ النقط التي تقع خارج الدائرة، تكون المسافة بينها وبين المركز أكبر من الشعاع. 

↤ النقط التي تقع داخل الدائرة، تكون المسافة بينها وبين المركز أصغر من الشعاع. 

👈هذه النقط التي تقع داخل الدائرة تكون مجتمعة ما يسمى بالقرص (بالإنجليزية: Disk)

👈 الفرق إذن بين الدائرة والقرص أن الدائرة تكون فارغة من الوسط، يبقى فقط محيطها، والقرص يكون مملوءا، لذا عندما نتحدث عن المساحة لا نقول مساحة الدائرة وإنما مساحة القرص. 

2- الدائرة والكرة

الفرق بين الدائرة والكرة هو أن الدائرة شكل ثنائي الأبعاد أي أنها ترسم فقط على سطح ما (المستوى) كالورقة أو لوحة... في حين أن الكرة (وتسمى أيضا الفلكة) هي مجسم ثلاثي الأبعاد يتم تمثيله في الفضاء:

👈 والفضاء هنا لا نقصد به فقط الفضاء الخارجي للأرض وإنما أي مكان على الأرض أيضا مثلا: فضاء القسم هو المكان الذي تشغله الأشياء الموجودة داخل القسم، فضاء المنزل، هو الفضاء التي تشغله الأشياء الموجودة داخل المنزل وهكذا... وفي الرياضيات يشغل الفضاء عدة مستويات كما يشغل المستوى عدة مستقيمات ويشغل المستقيم عدة نقط. (وسنتطرق إلى هذا الدرس في وقت لاحق إن شاء الله)

👈 الشيء الذي يشترك فيه الدائرة والفلكة (الكرة) هو أن كل نقطة على الدائرة تبعد بنفس المسافة عن المركز، نفس الأمر بالنسبة للكرة أي أن كل نقطة على سطح الكرة تبعد بنفس المسافة عن مركز الكرة.

3- الدائرة والاهليلج (الشكل البيضوي)

👈 في الدائرة المسافة تبقى ثابتة بين كل نقطة تنتمي إلى الدائرة ونقطة توجد في وسطها تسمى مركز الدائرة. 

👈 وفي الاهليلج مجموع المسافتين يبقى ثابتا بين نقطة تنتمي إلى الإهليلج ونقطتين في وسطه تسمى بؤرتا الاهليلج. 

👈 في الدائرة طول القطر يبقى ثابتا رغم تغير مكانه. بينما في الإهليلج طول القطر يتغير بتغير مكانه.

👈 الدائرة لها ما لا نهاية لها من محاور التماثل بينما الإهليلج له (2) محورا تماثل فقط.

✷✷✷✷✷

ثالثا: رسم الدائرة

لرسم دائرة أو قوس من الدائرة نستعمل أداة تسمى البركار أو الفرجار، نقترح عليكم هذه الحالات الأكثر شيوعا لرسم الدائرة:

◉ رسم دائرة محددة انطلاقا من الشعاع:

          👈 نأخذ مسطرة ونحدد عليها طول الشعاع،

          👈 نوافق فتحة البركار مع طول الشعاع،

          👈 نحدد نقطة على الورقة أو أي مستوى آخر.

          👈 نضع سن البركار على هذه النقطة (لاعتبارها مركز الدائرة)

          👈 نقوم بتدوير البركار لرسم دائرة. 

مثال: رسم دائرة مركزها O وشعاعها 3cm. 

        ◉ رسم دائرة انطلاقا من القطر:

           👈 نحدد الشعاع من القطر (الشعاع هو نصف القطر) ثم نتبع المراحل السابقة.

◉ رسم دائرة انطلاقا من الوتر:

           👈 نحدد منتصف هذا الوتر 

           👈 نرسم مستقيم يمر من المنتصف وعمودي على الوتر

           👈 نختار نقطة من هذا المستقيم لتكون مركز الدائرة التي تمر بطرفي الوتر. 

  

✷✷✷✷✷

رابعا: الدائرة والنقط

في هذه الفقرة سنتحدث عن العلاقة بين الدائرة والنقط المرتبطة بها، وهذه النقط هي:

◉◉ مركز الدائرة

👈 مركز الدائرة هو النقطة الوحيدة التي توجد في وسط الدائرة وتبعد بنفس المسافة عن النقط الموجودة على الدائرة ( محيط الدائرة)

👈 نقترح هذه الوضعية :

↤ يمكن تحديد مركز الدائرة للدوائر التي لا تتوفر على مركز عن طريق ثلاث طرق مختلفة:

الطريقة الأولى:

- رسم وترين مختلفين على الدائرة

- تحديد منتصف هذين الوترين

- رسم مستقيم عمودي على هذين الوترين ومار من منتصفيهما

- نقطة تلاقي المستقيمين هي مركز الدائرة. 

 الطريقة الثانية

- تحديد ثلاث نقط على الدائرة 

- الربط بينها للحصول على مثلث

- تحديد منتصف كل ضلع من أضلاع هذا المثلث

- رسم ثلاث مستقيمات، كل مستقيم يمر من منتصف هذه القطع وعمودي عليها

- نقطة تلاقي المستقيمات الثلاث هي مركز الدائرة 

الطريقة الثالثة:

- تحديد نقطة على الدائرة

- رسم مستقيم يمر من هذه النقطة ويقطع الدائرة في نقطة أخرى

- رسم مستقيم آخر عمودي على المستقيم السابق في هذه النقطة ويقطع الدائرة في نقطة ثانية

- الربط بين النقطتين 

- منتصف هذه القطعة هو مركز الدائرة 

◉◉ النقط التي توجد على الدائرة 

👈 كل النقط الموجودة على الدائرة (تنتمي إلى الدائرة) تبعد بنفس المسافة عن المركز وهذه المسافة هي  شعاع الدائرة.

ضم هذه النقط بعضها إلى بعض يشكل دائرة أو محيط دائرة. 

◉◉ النقط التي توجد داخل الدائرة: 

👈 كل النقط التي توجد داخل الدائرة تكون المسافة بينها وبين مركز الدائرة أصغر من الشعاع، 

ضم هذه النقط بعضها إلى بعض يشكل قرص.

◉◉ النقط التي توجد خارج الدائرة:

👈 كل النقط الموجودة خارج الدائرة تكون المسافة بينها وبين مركز الدائرة أكبر من الشعاع.

ضم هذه النقط بعضها إلى بعض يشكل مستوى خارج الدائرة. 

✷✷✷✷✷

خامسا: الدائرة والمستقيم

👈 في هذه الفقرة سنتحدث عن العلاقة بين الدائرة والمستقيم في المستوى.

👈 توجد ثلاثة أوضاع، لا رابع لها وهي:

◉◉ المستقيم  يقطع الدائرة في نقطتين.

👈 هاتان النقطتان تُشَكِّلان وتر الدائرة، وإذا مر المستقيم بمركز الدائرة فإن النقطتان تشكلان قطر الدائرة. 

◉◉ المستقيم  يقطع الدائرة في نقطة واحدة :

👈 هذا المستقيم يسمى مماس الدائرة (بالإنجليزيّة: Tangent of a Circle) والنقطة التي يمس فيها الدائرة تسمى نقطة التماس، ونلاحظ أن كل مماس للدائرة يكون عموديا على قطر الدائرة في نقطة التماس. 

👈 كما يمكن استخلاص هذه الخصائص:

↤ من كل نقطة واحدة على الدائرة يمر مماس واحد للدائرة (نفس المثال السابق)

↤ من كل نقطة خارج الدائرة يمر مماسان للدائرة:

        ↤ لا يوجد مماس لدائرة يمر من نقطة داخلها.

◉◉ المستقيم  لا يقطع الدائرة نهائيا، 

كما توضح الصورة :

👈 فالمستقيم إذن: 

■ إما أن يقطع الدائرة في نقطتين ويشكل بذلك وتر الدائرة (أو قطر الدائرة إذا مر من المركز)

■ إما أن يقطع الدائرة في نقطة واحدة ويسمى مماس الدائرة.

■ إما ألا يقطع الدائرة نهائيا.

✷✷✷✷✷

سادسا: الدائرة والزوايا

👈 في هذه الفقرة سنتحدث عن العلاقة بين الدائرة والزوايا، وأول علاقة هي أننا عند قياس الزوايا نستعمل منقلة وهي عبارة عن نصف دائرة، وتوجد منقلات أخرى عبارة عن دائرة كاملة، ومن هنا يتضح أن هناك علاقة بين الدائرة والزوايا 

👈 يمكن تقسيم أنواع الزوايا في علاقتها مع الدائرة حسب أنواع النقط التي تحدثنا عنها في الفقرة الرابعة، باعتبارها رؤوس هذه الزوايا: 

◉ الزاوية التي رأسها هو مركز الدائرة وطرافاها هم شعاعان من هذه الدائرة وتحصر قوسا على الدائرة تسمى الزاوية المركزية (بالفرنسية Angle au centre  وبالإنجليزية Central angle) 

◉ الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة وطرافاها هما وتران من هذه الدائرة وتحصر قوسا على الدائرة تسمى الزاوية المحيطية ( بالفرنسية  Angle inscrit و وبالإنجليزية Inscribed angle ) 

◉ الزاوية التي يقع رأسها داخل الدائرة وطرفاها وتران من هذه الدائرة، تسمى الزاوية الداخلية (Angle intérieur)

◉ الزاوية التي رأسها يقع خارج الدائرة وطرفاها مستقيمان متقاطعان للدائرة أو مماسان لهذه الدائرة تسمى الزاوية الخارجية (Angle extérieur) 

👈 العلاقة بين هذه الزوايا:

◉ قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرتبطة بها. بصيغة أخرى، إذا حصرت الزاوية المركزية والزاوية المحيطية نفس القوس فإن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية. 

حالة خاصة: 

إذا كان قياس الزاوية المركزية يساوي 90 درجة، فإن قياس الزاوية المحيطية المرتبطة بها يساوي 180 درجة، فنحصل إذن على مثلث قائم الزاوية منتصف وتره هو مركز الدائرة. (هذا المبدأ هو الذي اعتمدنا عليه لتحديد مكان تواجد مركز الدائرة. يمكن الرجوع إلى الفقرة الرابعة: الدائرة والنقط) 

◉ الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس لها نفس القياس. بصيغة أخرى، قياس الزاوية المحيطية يساوي نفس قياس الزاوية المحيطية الأخرى إذا تحصران نفس القوس. 

◉ قياس الزاوية الداخلية يساوي نصف مجموع قياسي الزاويتان المركزيتان اللتان تحصران القوسين اللذين تحصرههما كل من  الزاوية الداخلية والزاوية المقابلة للزاوية الداخلية.

◉ قياس الزاوية الخارجية يساوي نصف الفرق بين قياس الزاويتان المركزيتان اللتان تحصران القوسين اللذين تحصرهما الزاوية الخارجية.  

✷✷✷✷✷

سابعا: الدائرة والمضلعات الاعتيادية

👈 العلاقة بين الدائرة والمضلعات التي سنتطرق إليها في هذه الفقرة هي علاقة الإحاطة، أي أن الدائرة يمكن أن تكون محيطة بالمضلع أو أن تكون محاطة بالمضلع

لا تقلق،،، هاتان الكلمتان ( محاطة ومحيطة) ستتضحان أكثر عند ملاحظة الأشكال.

◉◉ الدائرة والمثلث:

👈 في المثلث يمكن أن تكون الدائرة محيطة ويمكن أن تكون محاطة ، أي:

↤ في الحالة الأولى الدائرة تحيط بالمثلث وفي الحالة الثانية المثلث هو الذي يحيط بالدائرة :

↤ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث: هو نقطة التقاء واسطات أضلاع المثلث، ويمكن أن يكون:

 - داخل المثلث: في حالة ما إذا كانت جميع زوايا المثلث زوايا حادة (أقل من 90 درجة)

- خارج المثلث: في حالة ما إذا كانت إحدى زوايا المثلث زاوية منفرجة (أكثر من 90 درجة) 

- على أحد أضلاع المثلث (منتصف الضلع): في حالة ما إذا كانت إحدى زوايا المثلث قائمة (مثلث قائم الزاوية) 

↤ مركز الدائرة المحيطة بالمثلث: هو نقطة التقاء منصفات زوايا المثلث. ولا يمكن أن يتواجد إلا داخل المثلث. 

👈 وإذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإن مركز الدائرة المحيطة هو نفسه مركز الدائرة المحاطة. 

(يمكنك الرجوع إلى درس المستقيمات الخاصة في المثلث للمزيد من التوضيحات بالنقر هنا)

◉◉ الدائرة ومتوازيات الأضلاع:

👈 في المربع يمكن رسم دائرة محيطة (تحيط بالمربع) كما يمكن رسم دائرة محاطة (يحيط بها المربع)

 الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة لهما نفس المركز هو نقطة تلاقي قطري المربع، ويختلفان في الشعاع:

↤ الدائرة المحيطة شعاعها يساوي نصف قطر المريع: 

↤ الدائرة المحاطة شعاعها يساوي نصف طول ضلع المربع:

 

👈 في المستطيل يمكن رسم دائرة محيطة فقط (تحيط بالمستطيل) ولا يمكن رسم دائرة محاطة (يحيط بها المستطيل)، 

 

↤ مركز الدائرة المحيطة هو مركز المستطيل وقطرها يساوي قطره.

👈 في المعين (عكس المستطيل) لا يمكن رسم دائرة محيطة (تحيط بالمعين) ولكن يمكن رسم دائرة محاطة (يحيط بها المعين) 

👈 في متوازي الأضلاع لا يمكن رسم لا دائرة محيطة ولا دائرة محاطة.

✷✷✷✷✷

ثامنا: أنواع الدوائر

👈 سنرى في هذه الفقرة أنواع الدوائر في علاقتها مع المثلث.

👈 رأينا في الفقرة السابقة نوعين من الدوائر وهما:

↤ الدائرة المحيطة، وهي الدائرة المحيطة بالمثلث ومركزها هو نقطة تلاقي واسطات أضلاع المثلث

↤ الدائرة المحاطة، وهي الدائرة المحاطة بالمثلث ومركزها هو نقطة نلاقي منصفات زوايا المثلث

👈 توجد أنواع أخرى من الدوائر، سنتعرف على بعض منها في هذه الفقرة:

◉◉ دائرة Euler وتسمى أيضا دائرة النقاط التسع،

👈 وتسمى بهذا الاسم لأنها تمر عبر تسع نقط في المثلث، وهي:

- منتصفات أضلاع المثلث وعددها ثلاثة

- نقط التقاء ارتفاعات المثلث مع الأضلاع المقابلة معها، وعدد أيضا ثلاثة.

- منتصفات القطع المستقيمية الرابطة بين كل رأس مثلث ونقطة التقاء الارتفاعات

👈 مركز هذه الدائرة يقع في منتصف القطعة المستقيمية الرابطة نقطة التقاء واسطات المثلث (مركز الدائرة المحيطة) ونقطة التقاء ارتفاعات المثلث. 

👈 لرسم دائرة Euler نتبع المراحل التالية:

- رسم مثلث نسميه ABC

- رسم ارتفاعات المثلث ('AA) و ('BB) و ('CC)

- تحديد نقط تلاقي الارتفاعات وهي H

- تحديد منتصفات أضلاع المثلث: منتصف الضلع [AB]هو I، ومنتصف الضلع [BC] هو J، ومنتصف الضلع [AC] هوK.  

- ررسم واسطات كل ضلع (وهو المستقيم المار من المنتصف والعمودي على الضلع)

- تحديد نقطة تلاقي الواسطات وهي O

- رسم القطعة  [HO] التي تربط نقطة تلاقي الواسطات ونقطة تلاقي الارتفاعات

- تحديد منتصف القطعة  [HO] وهو E

- رسم دائرة مركزه E وشعاعاها يساوي المسافة بين E وإحدى منتصفات أضلاع المثلث: EI أوEJ أوEK

- هذه الدائرة هي ما يسمى بدائرة Euler

- تلاحظون أنها تمر بتسع نقط وهي:

⬥ منتصفات أضلاع المثلث: I و J و K 

⬥ نقط تلاقي الارتفاعات مع أضلاع المثلث: 'A و 'B و'C  

⬥ منتصفات القطع المستقيمية الرابطة بين كل رأس مثلث ونقطة التقاء الارتفاعات وهي:  H1 و H2 وH3

◉◉ دائرة (cercle d'Adams) Adams 

👈 هي دائرة مركزها هو نفس مركز الدائرة المحيطة بالمثلث (نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث)، وتمر من 6 نقط على أضلاع المثلث كما يبين الشكل التالي : 

👈 لرسم دائرة Adams نتبع المراحل التالي:

- رسم مثلث ABC

- رسم منصفات زوايا المثلث وتلتقي في النقطة O 

- رسم الدائرة المحاطة التي مركزها O

- تحديد نقط تماس أضلاع المثلث مع الدائرة المحاطة:  الأضلاع [AB] ,[BC] ,[AC] مماسات الدائرة على التوالي في النقط K,J,I ( للتذكير الشعاع يكون عموديا على المماس)

- ربط النقط لتكوين مثلث IJK   

- ربط رؤوس المثلث مع النقط المماسة للدائرة المقابلة معها:  A مع J و B مع K و C معI  

- القطع المستقيمية [AJ]  و [BK] و [CI] تتقاطع في النقطة G  تسمى هذه النقطة بنقطة Gergonne.

- رسم مستقيمات متوازية للقطع المستقيمية [KJ]  و [IK] و [IJ] والمارة من النقطة G

- المستقيم الذي يوازي  (KJ) يقطع (AC) و (BC) في النقطتين N و R على التوالي 

- المستقيم الذي يوازي  (IK) يقطع (AB) و (AC) في النقطتين S و P على التوالي 

- المستقيم الذي يوازي (IJ)  يقطع (AB) و (BC) في النقطتين M و Q على التوالي 

- رسم دائرة مركزها النقطة O  وشعاعها  OM

- نلاحظ أن هذه الدائرة تمر عبر كل هذه النقط الست ( M و N و P و Q و R و S )

- هذه الدائرة هي ما تسمى بدائرة Adams

◉◉ دائرة Conway (cercle de Conway)

👈 هي دائرة نحصل عليها بامتداد أضلاع المثلث، بحيث يتساوى كل ضلعيان ممتدان من كل رأس مثلث مع طول الضلع المقابل لهذا الرأس، كما يوضح الشكل التالي: 

👈 الدائرة التي تمر عبر رؤوس هذه القطع ( 6 نقط) هي ما يسمى بدائرة Conway، مركزها هو نفس مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ( نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث) 

👈 لرسم هذه الدائرة نتبع المراحل التالية:

- رسم مثلث ABC

- تمديد أضلاع المثلث

- بالنسبة للضلعين الممتدين جهة النقطة A نحدد عليهما النقطتين M  و N بحيث تكون المسافة بينهما والنقطة  A تساوي طول الضلع [BC] المقابل للنقطة A 

- نفس الشيء بالنسبة للضلعين الممتدين جهة النقطة B حيث   BR=BQ=AC 

- ونفس الشيء بالنسبة للضلعين الممتدين جهة النقطة C حيث   CO=CP=AB

- نحدد النقطة I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث وهو نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث.

- نرسم الدائرة التي مركزها النقطة I وتمر بالنقطة M ، ونلاحظ أنها تمر من جميع النقط الأخرى: NوO وP وQ وR .

- هذه الدائرة هي التي تسمى بدائرة Conway

◉◉ دائرة van Lamoen (cercle de van Lamoen)

👈 هي دائرة نحصل عليها عن طريق رسم متوسطات المثلث (متوسط مثلث هو كل مستقيم يمر من كل رأس مثلث ومن منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس (راجع درس المستقيمات الخاصة في المثلث من هنا))

👈 عند رسم متوسطات مثلث نحصل على ست مثلثات داخل المثلث الأول

👈 نرسم الدائرة المحيطة لكل مثلث على حدة (ست دوائر) والدائرة المحيطة بالمثلث هي الدائرة التي مركزها نقطة تلاقي واسطات أضلاع المثلث.

👈 المراكز الست لهذه الدوائر تنتمي إلى دائرة واحدة هي ما يسمى بدائرة van Lamoen نسبة إلى العالم الرياضياتي الهولندي Floor van Lamoen. 

✷✷✷✷✷

تاسعا: محيط الدائرة ومساحة القرص

👈 المحيط كما يدل عليه اسمه هو الطول الخارجي للدائرة أي المسافة بين نقطة بداية رسم الدائرة ونقطة نهاية رسمها.

👈 والمساحة هي جميع النقط الموجودة داخل الدائرة والتي تشكل ما رأيناه سابقا أي القرص.

↤ لذلك عندما نتحدث عن الدائرة فإننا نقصد المنحنى وهو المحيط ونقول محيط الدائرة

↤ وعندما نتحدث عن المساحة نقصد القرص ونقول مساحة القرص. 

👈 فكيف إذن تم اكتشاف محيط الدائرة ومساحة القرص، وكيف يتم حسابه؟؟

↤ عندما حاول العلماء القدامى اكتشاف قانون حساب محيط الدائرة، أحضروا عدة دوائر وأقراص وقاموا بقياس محيط هذه الدوائر باستعمال حبل وتوصلوا إلى النتائج التي يوضحها الجدول التالي: 

↤ واستنتجوا في الأخير أن طول الحبل (أي محيط الدائرة) في كل حالة يتناسب مع قطر الدائرة، كما يوضح الجدول التالي:

↤ نلاحظ أنه عند قسمة المحيط على قطر الدائرة يساوي نفس الناتج رغم اختلاف الدوائر ومحيطاتها ويقارب الخارج في كل حالة:  3.141592654. وقد سُمي ذلك العدد بالعدد π.  ووضحوا أنّه عندما يكون قطر دائر ة مساوياً لـ 1، يكون محيطها مساويا ل π. 

↤ فتكون القاعدة العامة لحساب محيط الدائرة هي: القطر× العدد π و (π≈3,14) أو: الشعاع × π × 2

👈 هذا بالنسبة للمحيط، لكن كيف تمكنوا من استنتاج مساحة القرص؟

↤ قاموا بتجزيء قرص من ورق مقوى إلى أجزاء وقاموا بلصق هذه الأجزاء لتشكل مستطيل طوله هو نصف محيط الدائرة وعرضه يساوي شعاع الدائرة كما توضح الصورة:

↤  وبهذه الطريقة الموضحة في الصورة أعلاه تمكنوا من استنتاج مساحة القرص التي تساوي: الشعاع × الشعاع × العدد π

👈 وتوجد طرق أخرى لاستنتاج مساحة القرص ومن بينها:

◉ الانطلاق من مساحة المضلعات المنتظمة، حيث إن مساحة مضلع منتظم تساوي نصف محيطه مضروبا في المسافة الفاصلة بين مركز المضلع وأحدٍ من أضلاعه. وكلما كبُر عدد أضلاع مضلع منتظم، كلما اقترب المضلع المنتظم من الدائرة التي تضمه، وكلما اقتربت هذه المسافة من شعاع الدائرة. هذا الأمر يؤكد أن مساحة القرص تساوي نصف محيط الدائرة مضروبا في شعاعها.

◉ نشر القرص وتحويله مثلث قائم الزاوية كما توضح الصورة، ونعلم أن مساحة المثلث القائم الزاوية هو جداء طولي الضلعين المتعامدين مقسوم على 2:

(يمكن الرجوع إلى هذا الدرس للمزيد من المعلومات حول المساحات والمحيطات والتداريب الخاصة بها)

✷✷✷✷✷

عاشرا: تطبيقات الدائرة

 يعتبر الشكل الدائري الشكل الهندسي الوحيد الذي لا يمكن أن يغيب في التصاميم والمنشآت وفي الزخارف بشتى أنواعها... سنرى في هذه الفقرة بعض استخدامات الدائرة في الرياضيات:

👈 رسم الأشكال الهندسية الأخرى، نعلم أنه بالإمكان رسم الأشكال الهندسية باستعمال المسطرة والمزواة، لكن يمكن كذلك استعمال البركار لرسمها، وعندما نتحدث عن البركار فإننا نقصد الدائرة، وكأمثلة نقترح ما يلي:

↤ لرسم مربع باستعمال دائرة نرسم دائرة ونرسم معها قطرين متعامدين في المركز← نقط تقاطع القطرين مع محيط الدائرة يشكل مربعا:  

 

↤ لرسم مستطيل باستعمال دائرة، نرسم دائرة ونرسم معها قطرين غير متعامدين ← نقط تقاطع القطرين مع محيط الدائرة تشكل مستطيل :

↤ لرسم معين نحتاج إلى رسم دائرتين لهما نفس المركز ومختلفتي الشعاع، ونرسم مع كل واحدة منهما قطرها حيث يكونان متعامدين في المركز. ← نقط تقاطع القطرين مع محيط الدائرتين تشكل معين:

↤ لرسم متوازي الأضلاع نحتاج أيضا إلى دائرتين لهما نفس المركز ومختلفتي الشعاع، ونرسم مع كل واحدة قطرها شرط ألا يكونا متعامدين في المركز. ← نقط تقاطع القطرين مع محيط الدائرتين تشكل متوازي الأضلاع 

👈 رسم واسط القطعة، أو تحديد منتصفها، عن طريق رسم دائرتين أو قوسين من الدائرة مركزه مركزهما طرفي القطعة ولهما نفس الشعاع، ← نقطتي التقاء الدائرتين ( أو القوسين) يشكلان واسط القطعة ويمكن تحديد  منتصف هذه القطعة. 

👈 رسم منصف زاوية عن طريق رسم دائرة (أو قوس من الدائرة) مركزها رأس الزاوية ثم دائرتين (أو قوسين من الدائرة) مركزهما نقطتي تقاطع الدائرة الأولى مع طرفي الزاوية ولهما نفس الشعاع ← إحدى نقطتي تقاطع الدائرتين تشكل مع رأس الزاوية منصف هذه الزاوية. 

👈 يمكن رسم مستقيمين متعامدين باستعمال الدائرة بنفس الطريقة التي رأيناها في رسم واسط القطعة.

👈 يمكن استخدام الدائرة أيضا لتمثيل البيانات عليها حيث تسهل مقارنتها وتحليلها في ما يسمى بالقطاعات الدائرية كما هو الشأن بالنسبة للمخططات بالأعمدة والمنحنيات، وقد تناولنا طريقة استعمال الدائرة ( أو نصف الدائرة) لتمثيل البيانات يمكن الرجوع إليها من هنا.

خاتمة:

تلكم أهم ما يخص أساسيات الدائرة، وبطبيعة الحال ليس هذا كل ما تتميز به الدائرة في الرياضيات، بل هناك أشياء أخرى لم نتحدث عنها مثل الدائرة المثلثية، والتمثيل المبياني للدائرة وغير ذلك... سنقوم بالتطرق إليه في فرص أخرى إن شاء الله تعالى... 

نتمنى أن نكون قد وفقنا الله في الشرح وتوصيل الأفكار، ولا تنسوا مشاركة الموضوع والانضمام إلينا عبر وسائل التواصل الاجتماعي المختلفة كي يصلكم أي جديد...

المراجع:

- https://www.wikipedia.org/

- https://www.alloprof.qc.ca/