التدرج بالتعلمات أساس اكتساب الرياضيات

 من المبادئ التي يعتمد عليها المنهاج الدراسي في كل بلد مبدأ التدرج والاستمرارية في التعلمات، وبدورها فالرياضيات تعتمد على هذا المبدأ لبناء المفاهيم الرياضياتية، أي أن بناء المفاهيم الرياضياتية سيرورة مستمرة، من المفروض إكسابها بشكل تدريجي ومنهجي وتكرار استعمالها في فرص متنوعة، كما أن إدراك المتعلم لهذه المفاهيم يأخذ بعدا أعمق من سنة إلى أخرى، لذا من المهم أن يكتسب المتعلم هذه المفاهيم بصورة لولبية حلزونية؛ بمعنى أنها تتوسع وتتطور أكثر فأكثر بشكل مستمر ومن مرحلة لأخرى.

لكن في غياب لهذا المبدأ أو سوء استغلاله أو المرور بالمفهوم الرياضي مرور الكرام دون التأكد من فهم واستيعاب جيد له، يؤدي لا محالة إلى اختلالات في اكتساب هذه المفاهيم وعدم القدرة على حل المسائل الرياضياتية مستقبلا وسبب ذلك تراكمات التعلمات غير المستوعبة شيئا فشيئا إلى أن يكون المتعلم عاجزا أمام ما يطلب منه إنجازه فيُحكم عليه بالتعثر وبالفشل وربما يحكم بنفسه على نفسه بأن الرياضيات صعبة ولا يمكن إدراكها وفهم مضامينها وبالتالي تصبح الرياضيات عقدة له في حياته الدراسية.

هذه التراكمات يمكن أن تكون نتيجة عدة سنوات أو نتيجة سنة دراسية واحدة، لذا نجد أحيانا متعلمين متفوقين في الرياضيات في الابتدائي وتجدهم يجدون صعوبة فيها بعد اجتيازهم للسنة الأولى في الاعدادي، وهذا مرتبط ربما بظروف التعلم الذي يختلف عن الابتدائي. 

ويبقى السؤال المطروح: هل بإمكان أمثال هؤلاء المتعلمين أن يتمكنوا من استدراك ما فاتهم وتجاوز أخطائهم وتعثراتهم ويصبحوا على الأقل متمكنين من الحد الأدنى من التعلمات والتي تساعدهم على حل مسائل ووضعيات في الرياضيات؟

دعوني أقول لكم: نعم، يمكن ذلك لكن بالإصرار والصبر والابتعاد عن اليأس والإحباط وعدم مقارنة أدائكم مع أداء أصدقائكم من نفس العمر المتفوقين في المادة، ونسيان أنكم في المستوى الدراسي الذي أنتم فيه والرجوع بأنفسكم إلى المستويات الابتدائية الأولى والبدء من جديد وإعادة بناء الأساس من جديد كأنكم تبنون بيتا، فبيتكم الآن هشيش لا تستطيعون بناء طبقة أخرى فوقه، يمكنه السقوط في أي لحظة أو ربما قد سقط فعلا، ولكي يكون قويا يجب إعادة بنائه من جديد وبأساس قوي كي تتمكنوا من بناء عدة طوابق فوقه... بهذه الطريقة إذن يمكنكم تجاوز أي تعثرات وعراقيل تعرضتم لها في مسيرتكم الدراسية ليس فقط في الرياضيات وإنما في جميع المواد الأخرى، وهذا ما يدل عليه المثل الذي يقول: خطوة إلى الوراء من أجل خطوتين إلى الأمام.

هذا النهج هو الذي اعتمدناه في تقديم الدروس على موقعنا (رياضياتي) حيث إننا تحدثنا في كل درس عن مبدأ التدرج من السهل إلى الصعب ومن المحسوس إلى المجرد ومن هذه الدروس ما يلي يمكنكم الرجوع إليها بالنقر عليها:

الضرب في الرياضيات: خصائص، عمليات وتدرج المفهوم

مفهوم الطرح بين الابتدائي والإعدادي

القوى في الرياضيات

التناسبية: تقريب المفاهيم، تمثيلات وتطبيقات

التحولات الهندسية: أنواعها، خصائصها، إنشاءات

وغيرها من الدروس، كما أن تقديم الدروس مستقبلا سيكون باتباع نفس النهج بحول الله.

في مقال اليوم سنتحدث عن أمثلة لطريقة التدرج  خلال إنجاز بعض الأنشطة في الرياضيات ، بهذه الطريقة يمكن استدراك التعلمات السابقة وتجاوز التراكمات لبناء معارف جديدة. (تم الاقتصار على بعض التمارين الخاصة بالمستويات الابتدائية)

المثال1: العمليات على الأعداد الكسرية

✤لإنجاز ما طلب منا في هذا المثال يجب استحضار ما يلي:

 👈جدول الضرب: يساهم التمكن من جدول الضرب في إنجاز مثل هذه العمليات بأسرع وقت ممكن، أي أن جدول الضرب يوفر الوقت والجهد.

👈 قواعد الأولوية في إنجاز العمليات الحسابية، وقد تطرقنا إلى هذه القواعد في درس خاص يمكن الرجوع إليه من هنا، الهدف منها هو معرفة ما هي العملية التي ستبدأ بها أولا قبل الأخرى عندما تقوم بحساب متساوية تتضمن أكثر من عملية كما هو الشأن بهذا المثال.

👈 طريقة جمع وطرح عددين كسريين (لهما نفس المقام ومختلفي المقام) وطريقة حساب جداء وخارج عددين كسريين: أشرنا إليها في درس الأعداد الكسرية (يمكن الرجوع إليه من هنا)

✤ باستحضار لهذه القواعد والطرائق نتبع الخطوات التالية لحساب المتساوية:  (يمكن النقر على الصورة لتكبيرها)

✷✷✷✷✷

 المثال2: مسألة حول التناسبية:

 المسافة الفاصلة بين مدينتين A  و B  على خريطة بسلم 1/3000000 هي 31 سنتمترا، خرج دراجي من مدينة A على الساعة 5h40min ووصل إلى مدينة B على الساعة 11h30min. إذا علمت أنه توقف خلال هذه الفترة لمدة 20 دقيقة، فاحسب السرعة المتوسطة لهذا الدراجي بـ km/h.

✤لإنجاز ما طلب منا في المثال الثاني يجب استحضار ما يلي:

👈 القواعد المتعلقة السرعة المتوسطة

👈 القواعد المتعلقة بسلم التصاميم والخرائط

👈 طريقة القيام بالتحويلات ( وحدات الطول)

👈 طريقة القيام بالتحويلات ( تحويل الزمن)

👈 جدول الضرب وطريقة إنجاز عمليات الضرب والقسمة 

👈 بعض القواعد الخاصة مثل: عدم إمكانية إجراء العمليات (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) بشكل مباشر في حالة وجود وحدتين مختلفتين.

✤باستحضار لهذه القواعد والطرائق نقوم بما يلي:

👈 أولا: نكتب قاعدة حساب السرعة المتوسطة وهي كالآتي: 

👈ثانيا: لحساب السرعة المتوسطة نحتاج إلى المسافة والمدة. نبحث أولا عن المسافة، المسافة الموجودة في نص المسألة هي 31 سنتمتر، فهي لا تمثل المسافة الحقيقية بين مدينتين (لا يعقل أن تبعد مدينة عن أخرى ب 31 سنتمتر)، إذن يجب البحث عن المسافة الحقيقية.

👈ثالثا: نتذكر القواعد المتعلقة بسلم التصاميم والخرائط، وخاصة حساب المسافة الحقيقية انطلاقا من المسافة على التصميم والسلم وهي كالآتي: 

👈رابعا: نبحث في النص عن المسافة على التصميم،  وهي 31 سنتمتر ونبحث عن مقام السلم وهو 3000000، نطبق القاعدة السابقة أي ننجز عملية الضرب: 31×3000000، بأي طريقة من الطرق المعتادة، لكن اختصارا للوقت والجهد ننجز 26×2 ويساوي 52 ونضيف إليه 6 أصفار فتصبح النتيجة هي : 93000000=31×3000000 والوحدة هي السنتمتر (93000000cm)

👈خامسا: نستحضر جدول التحويلات لنحول 93000000 سنتمتر إلى الكيلومتر، والذي يساوي 93km. لإن المطلوب منا هو إيجاد السرعة بـ km/h وليس بـ cm/h:

👈سادسا: نعود إلى قاعدة حساب السرعة المتوسطة، توصلنا إلى حد الآن إلى المسافة وهي 93km، الآن نبحث عن المدة الزمنية المستغرقة بين المدينتين، وتساوي ساعة الوصول ناقص ساعة الانطلاق، أي:   11h30min – 5h40min

👈 سابعا: الآن يجب استحضار طريقة طرح الأعداد الستينية، وهي كالآتي: 

👈ثامنا: بالرجوع إلى نص المسألة، لا ننسى أن السيارة توقفت لمدة 20 دقيقة، يعني أننا نقوم مرة أخرى بطرح 20 دقيقة من المدة المستغرقة التي حصلنا عليها، أي :  

👈تاسعا: بعدما حصلنا على المدة المستغرقة وهي (5h10min) وحصلنا على المسافة وهي (93km) كيف سنقوم بقسمة  93km على 5h10min؟؟ وهل سنقوم بقسمة 93km على 5h أم على 10min ؟؟

في هذه الحالة يجب تحويل كل المدة المستغرقة (5h10min) إلى الساعات، أي  5h10min=……..h 

👈 عاشرا: استحضار قواعد تحويل الخاصة بالزمن، هنا لدينا 5 ساعات ستبقى 5 ساعات، وسنحول 10 دقائق إلى الساعات.

ونحن نعرف أنه إذا أردنا تحويل الساعات إلى الدقائق نضرب في 60، مثلا 3 ساعات تساوي 3×60  (أي 180 دقيقة)

أما إذا أردنا القيام بالعكس أي تحويل الدقائق إلى الساعات فإننا نقوم بالقسمة على 60، فنحصل على: 

فتكون إذن نتيجة التحويل هي كالآتي:

وهذا يعني أننا سنقوم بإنجاز عملية جمع عددين كسريين.

👈حادي عشر: نستحضر قواعد حساب جمع الأعداد الكسري، فتكون النتيجة هي:

 

👈 ثاني عشر: الآن حصلنا على المدة الزمنية المستغرقة بالساعات وهي 31/6 ساعة، وحصلنا على المسافة بالكيلومتر وهي 93km، سنقوم بتطبيق قاعدة حساب السرعة المتوسطة (المسافة مقسومة على المدة) أي:

هنا حصلنا على عملية أخرى وهي قسمة عدد على عدد كسري.

👈ثالث عشر: نستحضر قواعد قسمة الأعداد الكسرية، أي لقسمة عدد كسري على عدد كسري نضرب الأول في مقلوب الثاني، فتكون النتيجة النهائية على الشكل التالي:

✷✷✷✷✷

مثال3: تمرين في الهندسة

- ارسم مثلثا OAB متساوي الساقين رأسه O بحيث: OA=3cm.

- ما هو طول القطعة [OB]؟ علل جوابك.

- ارسم الدائرة (C) مركزها O  وتمر بالنقطة A.

- ارسم النقطة I منتصف القطعة [AB].

- ارسم النقطة D مماثلة النقطة O بالنسبة لمحور التماثل (AB).

- أين توجد هذه النقط بالنسبة للدائرة (C)؟ النقطة B  والنقطة  I والنقطة D؟ علل جوابك

- ما طبيعة الرباعي  OADB المحصل عليه؟ علل جوابك.

✤ للإجابة عن هذا التمرين نحتاج إلى استحضار ما يلي:

👈 اختيار الأدوات الهندسية المناسبة.

👈 طريقة الرسم باستعمال هذه الأدوات

👈 طريقة رسم مثلث انطلاقا من معطيات محددة، وحسب أنواع المثلثات.

👈 طريقة رسم دائرة وفق شروط معينة وخصائص الدائرة.

👈 طريقة تحديد المنتصف

👈 دور التماثل المحوري في الرسومات الهندسية

👈 أنواع الرباعيات وخصائص كل نوع.

✤وباستحضار لهذه القواعد نقوم بما يلي:

 - المطلوب منا في السؤال الأول هو رسم مثلث OAB متساوي الساقين في O بحيث: OA=3cm.

👈 نبدأ برسم زاوية رأسها O.

👈 نحدد النقطة Aعلى أحد ضلعي الزاوية بحيث تبعد عن  O ب: 3cm باستعمال مسطرة مدرجة.

👈 باستعمال المسطرة أو البركار نحدد النقطة B على الضلع الآخر بالاحتفاظ بنفس المسافة (لأن المثلث متساوي الساقين) 

👈 نربط بين النقطتين A و B باستعمال المسطرة. 

- السؤال الثاني يطلب تحديد طول القطعة [OB]، يساوي  3cm لأن OA= OB ولأن OAB متساوي الساقين

- السؤال الثالث يطلب رسم دائرة، الرسم يكون باستعمال البركار بوضع سن البركار على النقطة O ( مركز الدائرة) والطرف الآخر للبركار على النقطة A تم نرسم دائرة. 

- السؤال الرابع يطلب رسم منتصف القطعة [AB]، ويمكن رسم المنتصف بإحدى الطريقتين:

👈 إما باستعمال المسطرة المدرجة حيث نقوم بقياس طول القطعة ثم نقوم بقسمة القياس على 2 ونحدد مكان القياس الجديد على القطعة. 

👈أو باستعمال البركار. 

- السؤال الخامس يطلب رسم مماثلة النقطة O بالنسبة لمحور التماثل (AB). 

👈 نحن نعرف انه لرسم مماثلة أي نقطة بالنسبة لمحور التماثل نرسم مستقيم يمر من هذه النقطة ويكون عموديا على محور التماثل تم نحدد المسافة بينها وبين محور التماثل بالبركار أو المسطرة المدرجة ونحدد النقطة التي تبعد بنفس هذه المسافة في الجهة المقابلة لمحور التماثل وهذه هي صورة النقطة الأولى. 

- السؤال السادس يطلب تحديد النقط بالنسبة للدائرة المرسومة، ومن خلال الشكل المحصل عليه يتضح لنا أن النقطة  B توجد على الدائرة والنقطة I توجد داخل الدائرة أما النقطة D توجد خارج الدائرة 

 تفسير ذلك: 

👈 أن النقطة B تبعد عن النقطة O مركز الدائرة بنفس المسافة التي تبعد عنها النقطة A التي تمر منها الدائرة حسب السؤال الثالث. وجميع النقط التي تبعد بنفس المسافة عن مركز الدائرة تقع على هذه الدائرة.

👈 في حين أن المسافة الفاصلة بين النقطة I ومركز الدائرة أصغر من المسافة OA الذي هو شعاع الدائرة، إذن النقطة I تقع داخل الدائرة

👈 والعكس تماما يحدث بالنسبة للنقطة D لأن المسافة التي تفصلها عنO مركز الدائرة أكبر من الشعاع. 

- السؤال الأخير يطلب منا تحديد طبيعة الرابعي المحصل عليه. من خلال الشكل المحصل عليه، يتضح لنا أن طبيعة الرباعي  OADB المحصل عليه هو معين، لأن قطرا المعين متعامدين وغير متقايسين:

👈 القطران هنا هما [AB] و[OD] نلاحظ أنهما غير متقايسين ( أحدهما طويل والآخر قصير) وأنهما متعامدان حسب الجواب عن السؤال الخامس.

✷✷✷✷✷

المثال الرابع: تمرين في حساب المساحات

احسب مساحة  الشكل:

✤ للإجابة عن هذا النشاط يجب استحضار ما يلي:

👈 طريقة حساب مساحة الأشكال المركبة، أي التي تحتوي على عدة أشكال بسيطة كما هو الشأن بهذا النشاط.

👈 قواعد حساب الأشكال الهندسية 

✤باستحضار لهذه القواعد نقوم بما يلي: 

أولا: تجزيء الشكل الذي لدينا إلى أشكال معهودة (المربع، المستطيل، المعين، القرص ...) وبالنظر جيدا إلى الشكل يمكن تجزيئه إلى مثلث ومستطيل ونصف القرص، ثم نحسب مساحة كل شكل.

ثانيا: حساب مساحة المثلث،  مساحة المثلث تساوي (الارتفاع × القاعدة)÷2، الارتفاع والقاعدة في هذا المثلث هو ما هو مبين في الشكل: 

والتالي الارتفاع يساوي 6cm-4cm= 2cm، والقاعدة تساوي: 8cm.

إذن مساحة المثلث تساوي: (8×2)÷2 = 8cm²

ثالثا: حساب مساحة المستطيل: مساحة المستطيل تساوي الطول × العرض، في هذا الشكل المستطيل طوله 8cm وعرضه 4cm  إذن مساحته تساوي: 4×8=32cm² 

رابعا: حساب مساحة نصف قرص. نعرف أن مساحة القرص كاملا يساوي: π×R×R (العدد π يقارب 3,14 ، وR شعاع القرص) إذن مساحة نصف القرص تساوي: (π×R×R)÷2

👈 نبحث إذن في الشكل عن شعاع نصف القرص، والذي يساوي نصف طول المستطيل، أي 4cm. 

👈 فتكون مساحة نصف القرص هي: (3,14×4×4)÷2=25,12cm²

خامسا: عند الانتهاء من حساب مساحات جميع الأشكال الهندسية، نقوم بعملية جمع هذه المساحات:

مساحة المثلث: (8×2)÷2 = 8cm²

مساحة المستطيل: 4×8=32cm² 

مساحة نصف القرص: (3,14×4×4)÷2=25,12cm²

فتكون المساحة الكلية للشكل هي:8+32+25,12= 65,12cm²

✷✷✷✷✷

بهذا التدرج وتتبع المراحل، يمكن إنجاز أي نشاط في الرياضيات، فقط يجب استحضار المفاهيم والمواضيع المرتبطة بهذا النشاط وترتيبها حسب المطلوب. نتمنى أن تكون الفكرة قد وصلت وإلى موضوع آخر والسلام عليكم ورحمة الله.