الأس والأساس، قوة العدد، القوى في الرياضيات، جداء قوتين، خارج قوتين، قوة قوة، قوة جداء، قوة خارج عددين، قوة العدد 10، الكتابة العلمية، قواعد القوى في الرياضيات،
تعتبر عملية الجمع أول عملية يتعلمها المتعلم في بداية مشواره الدراسي، وبتمكنه منها يتعلم عمليات أخرى بشكل تدريجي وهي الطرح ثم الضرب فالقسمة، وذلك لكون عملية الجمع تعتبر منطلقا لتعلم العمليات الأخرى، فالطرح مثلا يتم تقديمه من خلال أنشطة لتقريب المفهوم انطلاقا من عملية الجمع بالاعتماد على تقنيات مثل تقنية الأخذ المباشر أو تقنية الطرح بالإكمال (وقد تطرقنا إلى درس الطرح وتدرجه في الابتدائي نحو الإعدادي يمكن الولوج إليه عبر الرابط من هنا)، والضرب يتم تقديمه انطلاقا من عملية الجمع باعتباره جمع متكرر(يمكن الولوج إلى درس الضرب في الرياضيات من هنا حيث تحدثنا فيه عن الضرب وخصائصه كمفهوم رياضياتي)، والقسمة بدورها يتم تقديمها انطلاقا من عملية الطرح باعتبارها عملية الطرح المتكرر.
كما تحدثنا في درس سابق حول العمليات الحسابية واختصارها عن كون علم الرياضيات في بحث مستمر للوصول إلى حلول بأقل جهد وفي أسرع وقت، وكمثال على ذلك وضع قوانين جديدة لاختصار عمليات حسابية متداولة، فالضرب هو اختصار للجمع المتكرر والقسمة هي اختصار للطرح المتكرر والقوى هي اختصار للضرب المتكرر وهكذا... يمكن الولج إلى هذا الدرس من خلال الرابط التالي.
درسنا اليوم حول القوى والأسس في الرياضيات، فالقوى والأسس بدورها عملية من العمليات الحسابية المتداولة في الرياضيات، وهو بالضبط عملية اختصار للضرب المتكرر. (فإذا كان الضرب اختصارا للجمع المتكرر، فإن القوى هو اختصار للضرب المتكرر) (صورة)
ولفهم أكثر لمفهوم القوى نقترح الوضعيات التالية:
✤الوضعية 1
حقل يضم 3 أشجار زيتون، يتفرع جدع كل شجرة إلى 3 فروع كبيرة، كل فرع بدوره يتفرع إلى 3 فروع متوسطة، وكل فرع متوسط يتفرع بدوره إلى 3 فروع صغيرة، وكل فرع صغير يحتوي على 3 حبات زيتون. كم عدد حبات الزيتون المنتج في هذا الحقل؟
👈 لحل هذه الوضعية نتبع المراحل التالية:
◄نحدد عدد الفروع الكبيرة الموجودة في الحقل كله:
نعلم أن عدد أشجار الحقل هو 3 وعدد الفروع الكبيرة في كل شجرة هو 3 ← إذن عدد الفروع الكبيرة في الحقل هو 3×3
◄نحدد عدد الفروع المتوسطة الموجودة في الحقل كله:
حددنا عدد الفروع الكبيرة وهو 3×3، ونعلم أن كل فرع كبير يضمن 3 فروع متوسطة ← إذن عدد الفروع المتوسطة في الحقل هو (3×3)×3
◄نحدد عدد الفروع الصغيرة الموجودة في الحقل كله:
حددنا عدد الفروع المتوسطة وهو (3×3)×3، ونعلم أن كل فرع متوسط يتضمن 3 فروع صغيرة ← إذن عدد الفروع الصغيرة هو [(3×3)×3]×3
◄نحدد عدد حبات الزيتون الموجودة في الحقل كله:
حددنا عدد الفروع الصغيرة الموجودة في الحقل وهو [(3×3)×3]×3 ، ونعلم أن كل فرع صغير يتضمن 3 حبات زيتون ← إذن عدد حبات الزيتون الموجودة في هذا الحقل هو ([(3×3)×3]×3)×3
◄وبما أن الضرب تجميعي فيمكن حذف الأقواس فنحصل على:
([(3×3)×3]×3)×3 = 3×3×3×3×3
↤ وهذه كتابة ضربية متكررة للعدد 3 ، يمكن اختصارها باستعمال الكتابة التالية: 3⁵ ،أو 3^5 والتي تعني ضرب 3 خمس مرات، وتقرأ 3 أس 5
↤ 3 تسمى القاعدة أو الأساس، و5 تسمى الأس أو القوة
↤ وباستعمال الألة الحاسبة نجد أن 243=3⁵، كما يمكن حسابها بالطريقة التالية:
❋❋❋❋
✤الوضعية 2
نأخذ مثلثا ABC متساوي الأضلاع، نقوم بتقسيمه إلى مثلثات صغيرة متساوية الأضلاع كما تبين الصورة. كم عدد المثلثات الصغيرة المتوصل إليها في كل حالة؟
◄في الحالة الأولى: المثلث الكبير يتكون من 4 مثلثات أصغر.
◄في الحالة الثانية: المثلث الكبير يتكون من 4 مثلثات صغيرة ، وكل مثلث صغير يتكون من أربع مثلثات أصغر منه← إذن عدد المثلثات الصغيرة في هذه الحالة هو 4×4 (16 مثلثا)
◄ في الحالة الثالثة: في الحالة السابقة حصلنا على 4×4 مثلث صغير، وكل مثلث صغير يحتوي بدوره على 4 مثلثات أصغر منه ← إذن عدد المثلثات الصغيرة في هذه الحالة هو 4×4×4 (64 مثلثا)
◄ في الحالة الرابعة: حصلنا في الحالة الثالثة على 4×4×4 مثلث صغير، وكل مثلث صغير يتكون بدوره من 4 مثلثات أصغر منه ← إذن عدد المثلثات الصغيرة في هذه الحالة هو 4×4×4×4 (256 مثلثا)
👈تلاحظون تكرار الرقم 4 داخل الجداء
← مرة واحدة في الحالة الأولى 4=4¹
← ومرتين في الحالة الثانية 16=4²
← وثلاث مرات في الحالة الثالثة64=4³
← وأربع مرات في الحالة الرابعة 256=4⁴
وتصور معي لو قمنا بتقسيم كل مثلث صغير في الحالة الرابعة إلى أربع مثلثات أصغر منه فسنحصل على 4⁵ مثلث صغير والذي يساوي 1024=4×4×4×4×4 وهكذا...
❋❋❋❋
✤الوضعية 3
1)- احسب مساحة مربع طول ضلعه 5 سنتمترات.
2)- احسب حجم مكعب طول ضلعه 6 سنتمترات.
1- نعلم أنه لحساب مساحة المربع نقوم بضرب طول الضلع مرتين (طول الضلع × طول الضلع)، [ يمكن الولوج إلى درس المساحات للمزيد من التفاصيل]
← في حالتنا هذه طول الضلع هو 5cm
← إذن مساحة المربع هي: 5cm × 5cm
ولحساب هذه العملية نتبع الخطوات المبينة في الصورة التالية:
👈ومن هنا جاءت وحدة قياس المساحة وهي السنتمتر المربع والتي تعني سنتمتر أس 2.
👈 يمكن أيضا قراءة أي عدد أس 2 بمربع هذا العدد، مثلا: 5² ←خمسة أس اثنان أو خمسة مربع.
2- كما نعلم أنه لحساب حجم أيِّ مجسم قائم نقوم بضرب مساحة القاعدة في ارتفاع المجسم [ يمكن الولوج إلى درس الحجوم للمزيد من التفاصيل]
← وفي حالتنا هذه لدينا مكعب، لحساب حجمه، نحسب مساحة القاعدة (على شكل مربع) مضروب في الارتفاع:
أي: (6cm×6cm)×6cm وبما أن الضرب تجميعي يمكن حذف الأقواس (أو تغيير مكانها) فنحصل على: 6cm×6cm×6cm
← ولحساب العملية نتبع الخطوات المبينة في الصورة:
👈 ومن هنا جاءت وحدة قياس الحجوم وهي السنتمتر المكعب والتي تعني السنتمتر أس 3.
👈 كما يمكن قراءة أي عدد أس 3 بمكعب هذا العدد، مثلا: 6³ ستة أس 3 أو 6 مكعب.
👈 الوضعية الثالثة توضح لنا أننا كنا نستعمل الأساس والقوى منذ سنوات الابتدائي بطريقة ضمنية من خلال وحدات قياس المساحة ووحدات قياس الحجوم.
❋❋❋❋
❋❋خصائص وتعاريف❋
👈 سنتطرق خلال هذه الفقرة إلى كل الخصائص والمميزات التي تخص عملية القوى في الرياضيات، وسنقوم بتبسيطها إلى أقصى حد للتمكن من فهم هذه الخصائص وتطبيقها خلال إنجاز العمليات الحسابية أو حل معادلة رياضياتية.
👈 تعرفنا قبل قليل على مكونات القوى والأسس وهي على الشكل التالي:
وعلى ضوء هذين المكونين سنقدم خصائص القوى، نبدأ أولا بالأساس (القاعدة)،
أولا : حساب قوة انطلاقا من الأساس
𝟙-عملية الضرب داخل الأساس (القاعدة)
👈 عند ضرب عددين (أو أكثر) مرفوعين إلى أس معين نحصل على خمس حالات:
✤الأولى: ضرب نفس الأعداد مرفوعة إلى أُسُسٍ مختلفة. أمثلة: 4²×4⁵ ، 2×2⁵×2³ ...
← في هذه الحالة، نكتب العدد مرة واحدة ونرفعه إلى مجموع الأُسُس، فيكون الجواب للعمليات السابقة هو
← فنحصل على القاعدة العامة على الشكل التالي:
✤الثانية: ضرب أعداد مختلفة مرفوعة إلى نفس الأسس. أمثلة: 2³×5³ ، 2⁴×7⁴×4⁴
← في هذه الحالة نحسب جداء العددين ثم نرفعه إلى نفس الأس مرة واحدة، فيكون الجواب للعمليات السابقة هو:
← فنحصل على القاعدة العامة على الشكل التالي:
--------------------------------
✤ الثالثة: ضرب نفس الأعداد مرفوعة إلى نفس الأسس. أمثلة: 4³×4³×4³
← في هذه الحالة يمكن تطبيق الحالة الأولى (الخاصية 1) باعتبار نفس الأعداد في القاعدة فنقوم بكتابة العدد مرة واحدة ونرفعه إلى مجموع الأسس فيكون الجواب للعملية السابقة هو:
← نلاحظ أن 262144 = 64³ و 262144= 4⁹
✤الرابعة: ضرب أعداد مختلفة مرفوعة إلى أسس مختلفة. أمثة: 7²×5³ ، 4⁸×3²، 9⁵×3³
← في هذه الحالة، تنجز العملية بشكل عاد إلا في حالة ما إذا كان للأسين قاسما مشتركا أو يوجد في الأساس عددان ( أو أكثر) أحدهما يساوي الأخر مرفوع إلى قوة معينة.
← في المثال الأول (7²×5³): العدد 7 مرفوع إلى الأس 2، مضروب في العدد 5 مرفوع إلى الأس 3. 2 و3 ليس لهما نفس القاسم وبالتالي نحسب العملية بشكل عاد: 6125= 49×125= 7²×5³
← في المثال الثاني(4⁸×3²): العدد 4 مرفوع إلى الأس 8، مضروب في العدد 3 مرفوع إلى الأس 2، ونحن نعلم أن 8 و2 لهما نفس القاسم هو 2، إذن نحول الأس 8 إلى الجداء 4×2 فنحصل على ما يلي:
في المرحلة ①: حولنا العدد 8 إلى الجداء 2×4
في المرحلة②: حولنا جداء أسين إلى أس مرفوع إلى أس وهذه القاعدة سنراها في إحدى الفقرات الموالية
في المرحلة ④: قمنا بحساب 44 والذي يساوي 256.
في المرحلة ⑤: قمنا بحساب ما بين قوسين: 256×3 والذي يساوي 768
في المرحلة ⑥: قمنا بحساب 768 أس 2 والذي يساوي: 589824.
← في المثال الثالث(9⁵×3³): العدد 9 مرفوع إلى الأس 5، مضروب في العدد 3 مرفوع إلى الأس 3، ونحن نعلم أن 9 يساوي 3 أس 2 (9=3²)
إذن نعوض 9 ب 3² فنحصل على مايلي:
في المرحلة ①: عوضنا العدد 9 بالقوة 3²
في المرحلة②: حولنا أس مرفوع إلى أس، إلى جداء الأسين وهذه القاعدة سنراها في إحدى الفقرات الموالية
في المرحلة ④: طبقنا فيها الخاصية 1 السابقة :
✤الخامسة: حساب جداء عددين (أو أكثر) مرفوع إلى أس واحد معين. أمثلة: ³(4×2) ، ²(3×2×5)
← هذه الحالة هي الحالة العكسية للحالة الثانية (الخاصية 2)، أي أننا نقوم بتوزيع الأس على العددين، أو نقوم بحساب ما بين قوسين أولا ثم نرفعه إلى الأس، فيكون الجواب للأمثلة السابقة على النحو التالي:
4³×2³=³(4×2) أو 8³=³(4×2) 3²×2²×5²=²(3×2×5) أو 30²=²(3×2×5)
--------------------------------
𝟚- عملية القسمة داخل الأساس (القاعدة)
👈عند قسمة عددين مرفوعين إلى أسين معينين، نحصل على خمس حالات:
✤الأولى: قسمة نفس العددين مرفوعين إلى أُسَّيْنِ مختلفين. أمثلة:
← في هذه الحالة، نكتب العدد مرة واحدة ونرفعه إلى فرق الأُسين، كما يوضح الجواب للعمليات السابقة:
✤ الثانية: قسمة عددين مختلفين مرفوعين إلى نفس الأس. أمثلة:
← في هذه الحالة نحسب خارج العددين أو نكتب العدد الكسري ثم نرفعه إلى نفس الأس مرة واحدة، فيكون الجواب للأمثلة السابقة هو
✤ الثالثة: قسمة نفس العددين مرفوعين إلى نفس الأسين: أمثلة:
- باعتبار قسمة عدد على العدد نفسه والذي يساوي 1
- باعتبار الحالة الأولى ( الخاصية 3)
- باعتبار الحالة الثانية (الخاصية 4)
✤الرابعة: قسمة عددين مختلفين مرفوعين إلى أسين مختلفين. أمثلة:
← في هذه الحالة، كما قمنا بذلك في حالة الجداء (الحالة الرابعة)، تنجز العملية بشكل عاد إلا في حالة ما إذا كان للأسين قاسما مشتركا أو يوجد في البسط والمقام عددان أحدهما يساوي الأخر مرفوع إلى قوة معينة.
← بالنسبة للمثال الأول: العدد 4 أس 3، مقسوم على العدد 3 أس 2، الأسين ( 3 و 2) ليس لهما قاسم مشترك والأساسين ( 4 و3) ليس بينهما علاقة قوة (أي أن 4 لا يساوي 3 مرفوع إلى أس معين ولا 3 لا يساوي 4 مرفوع إلى أس معين)، في هذه الحالة نحسب العملية بشكل عاد:
← بالنسبة للمثال الثاني: العدد 12 أس 6، مقسوم على العدد 3 أس 9، نلاحظ هنا أن الأسين (6 و9) لهما قاسم مشترك هو 3، نعوض إذن 6 بـ 2×3 و 9 بـ 3×3، فنحصل على النتيجة التالية:
في المرحلة ①: عوضنا الأس 6 بالجداء 3×2 و الأس 9 بالجداء 3×3
في المرحلة②: حولنا جداء أسين إلى أس مرفوع إلى أس وهذه القاعدة سنراها في إحدى الفقرات الموالية
في المرحلة ④: قمنا بحساب 12² والذي يساوي 144 و 3³ والذي يساوي 27.
في المرحلة ⑤: قمنا بعملية الاختزال بالعدد 3
← بالنسبة للمثال الثالث: العدد 8 أس 2، مقسوم على العدد 2 أس 5، نلاحظ أن العدد 2 إذا رفعناه إلى الأس 3 نحصل على 8، إذن نعوض العدد 8 ب 2³، فنحصل على ما يلي:
في المرحلة②: حولنا أس مرفوع إلى أس، إلى جداء (وهي القاعدة العكسية لما قمنا به في المرحلة الثانية للمثال السابق) وهذه القاعدة سنراها في إحدى الفقرات الموالية:
في المرحلة ④: طبقنا فيها الخاصية 3 السابقة (حساب قسمة نفس العددين لهما أسين مختلفين)
في المرحلة ⑥: طبقنا القاعدة التي تقول: أي عدد أس واحد يساوي نفسه (a¹=a)
✤ الخامسة: حساب خارج عددين مرفوع إلى أس واحد معين. أمثلة:
← هذه الحالة هي الحالة العكسية للحالة الثانية (الخاصية 4)، أي أننا نقوم بتوزيع الأس على العددين (في البسط والمقام)، أو نقوم بحساب ما بين قوسين أولا ثم نرفعه إلى الأس، فيكون الجواب للأمثلة السابقة على النحو التالي:
𝟛-عملية الجمع والطرح داخل الأساس
👈لا توجد قواعد خاصة بحساب مجموع أو فرق عددين مرفوعين إلى أسس معينة، فيتم بذلك اللجوء إلى حساب كل قوة على حدة ثم حساب المجموع أو الفرق بين ما تم التوصل إليه. أمثلة:
👈 ويتعذر القيام بالحساب إذا تم التعامل مع الحروف بدل الأرقام. مثال: a²+b³
👈 إلا أنه توجد قواعد خاصة يتم تطبيقها في حالة حساب مجموع أو فرق عددين مرفوعين إلى أسس معينة، هذه القواعد تدعى بالمتطابقات الهامة. (وسوف نتطرق إلى درس خاص بها إن شاء الله تعالى)
←لا توجد قاعدة حساب مجموع عددين مرفوعين إلى نفس الأس إذا كان الأس عدد زوجيا. مثال: a²+b²
← لحساب فرق عددين مرفوعين إلى أسين مختلفين، يجب التأكد هل أحد الأسين لهما قاسما مشتركا، فإذا كان الأمر كذلك يجب تحويل أحد الأسين إلى جداء حتى يظهر نفس الأس لدى العددين، مثال: a²-b⁶ ،
- عددين لهما أسين مختلفين هما 2 و6، ونحن نعلم ان 3×2=6، إذن نعوض 6 ب 2×3، فنحصل على:
- نحول جداء الأسين إلى قوة قوة ( سنرى هذه الخاصية في الفقرات المقبلة)، فنحصل على:
- فحصلنا على عددين لهما نفس الأس، نطبق المتطابقة الهامة الثالثة من الدرجة الثانية، فيكون الجواب هو:
← يمكن كذلك تطبيق هذه القواعد لحساب مجموع أكثر من عددين. مثلا نريد حساب المجموع التالي: ²(a+b+c)
- نحول مجموع ثلاثة أعداد إلى مجموع عددين باستعمال الأقواس، فنحصل على:
- نعوض b+c بعدد آخرd (أو نقتصر على ذلك ذهنيا). فنحصل على:
- نقوم بتطبيق للمتطابقة الهامة فنحصل على:
- نعوض العدد d بقيمته السابقة b+c
- نقوم بتطبيق المتطابقة الهامة على ²(b+c) وتوزيعية الضرب في 2a(b+c) فنحصل على
- فيكون الجواب النهائي هو:
← هذه المتطابقات لا نهاية لها أي أنه كما توجد متطابقات من الدرجة الثانية والثالثة والخامسة فإنه توجد متطابقات من الدرجة n
👈 وفي حالة حساب مجموع نفس العددين (نفس الأعداد) مرفوعين إلى نفس الأسين (الأسس). أمثلة: 3⁴+3⁴ ، 5²+5²+5²
فإننا نحول الجمع المتكرر إلى الضرب، فيكون الجواب على الأمثلة السابقة هو: 162=81×2=3⁴×2=3⁴+3⁴ ، 75=25×3=5²×3=5²+5²+5²
فنحصل على القاعدة العامة على الشكل التالي:
ثانيا: حساب قوة انطلاقا من الأس
𝟙-عملية الجمع داخل الأس
👈 في حالة وجود عملية الجمع في الأس فإننا يمكن تحويلها إلى جداء عددين (أو أكثر) من نفس النوع مرفوعين إلى طرفي عملية الجمع الموجودة في الأس، أمثلة:
𝟚-عملية الطرح داخل الأس
👈 في حالة وجود عملية الطرح في الأس فإننا يمكن تحويلها إلى قسمة عددين من نفس النوع مرفوعين إلى طرفي عملية الطرح الموجودة في الأس، أمثلة:
𝟛-عملية الضرب داخل الأس
👈 في حالة وجود عملية الضرب في الأس فإننا يمكن تحويلها إلى قوة مرفوعة إلى أحد طرفي عملية الضرب وأساسها قوة أخرى أسها الطرف الآخر من عملية الضرب، أمثلة:
👈 وهنا نحصل على القاعدة العامة الخامسة على الشكل التالي:
𝟜-عملية القسمة ( العدد الكسري) داخل الأس
👈 في حالة وجود العدد الكسري في الأس فإننا يمكن تحويلها إلى الجدر برتبة العدد الموجود في مقام العدد الكسري. أمثلة:
👈 وهنا نحصل على الخاصية العامة السادسة على الشكل التالي:
ثالثا: الأساس الموجب والأساس السالب
👈 في حالة ما إذا كان الأساس موجبا فإن نتيجة القوة تكون موجبة كيفما كان الأس. أمثلة: 16=4² ، 512=8³ ، 32=2²
👈 في حالة ما إذا كان الأساس سالبا فإن نتيجة القوة تكون موجبة إذا كان الأس زوجيا وتكون سالبة إذا كان الأس فرديا. أمثلة:
👈 وفي حالة ما إذا كان الأساس يساوي 0 فإن نتيجة القوة تساوي 0.
👈 ونكون هنا قد حصلنا على القواعد التالية:
رابعا: الأس الموجب والأس السالب
👈 في حالة ما إذا كان الأس موجبا نحسب القوة بشكل عاد، أي بتطبيق طريقة حساب قوة عدد. (مثال: 3×3×3×3=3⁴ )
👈 وفي حالة ما إذا كان الأس سالبا، نحسب مقلوب القوة. أمثلة:
👈 أما في حالة ما إذا كان الأس يساوي الصفر فإن نتيجة القوة تساوي 1. أمثلة: 1=7⁰، 1= 12⁰ ، 1=234⁰ ...
👈 ونكون قد حصلنا هنا على القواعد التالية:
خامسا: ماذا لو كان الأساس والأس يساويان 0
👈 في هذه الحالة تكون نتيجة القوة غير محدد.( 0⁰ عدد غير محدد)
❋حالة خاصة للأساس والقوى: قوى العدد 10 والكتابة العلمية للأعداد❋
منذ سنوات التعليم الابتدائي، كنا نتعرف على الأعداد الكبيرة انطلاقا من عدد الأرقام الذي يتكون منها، فمثلا وحدات الملايين يتكون من سبعة أرقام وعشرات الملايير يتكون من 11 رقما... كما كنا نعرف المئة والألف وعشرة ألاف ومائة ألف والمليون... بحساب عدد الأصفار المكونة له، فمثلا مائة (100) له صفران و 10 ملايين ( 10000000) له 7 أصفار وهكذا... (يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية من هنا)
لكن ما العلاقة بين هذه الأصفار والقوى الذي نحن بصدده؟؟
👈 نعم، هناك علاقة وطيدة بينها، وهي ما يلي:
10⁴ يساوي عشرة آلاف (10000) (أربعة أصفار وواحد)
10¹¹ يساوي مائة مليار (100000000000) ( 11 صفرا وواحد)
10¹ يساوي عشرة (10) (صفر واحد)
10⁰ يساوي واحد ( 1) (صفر صفر) ورأينا في ما سبق أن أي عدد أس 0 يساوي 1.
👈 ونفس الأمر يتعلق بالأعداد العشرية وبالضبط في الجزء العشري،
👈 كل هذه المعطيات تعطينا فكرة عن جدول العد (الصحيح والعشري) وأيضا فكرة عن طريقة مختصرة لتفكيك العدد الصحيح أو العشري في نظمة العد العشري
عدد الذرات الموجودة في غرام واحد من الهيدروجين هو 000 000 000 000 000 000 000 602. نلاحظ أن هذا العدد كبير ولكتابته يأخذ حيزا كبيرا لذا يتم اختصاره بكتابة: 10²³×6,02
👈هذا في حالة ما إذا كان العدد كبيرا، إذ يمكن أيضا اختصار عدد صغير جدا باستعمال الكتابة العلمية بنفس الطريقة السابقة لكن في هذه الحالة بتم رفع العدد 10 إلى الأس السالب. مثال:
يبلغ قطر ذرة الهيدروجين حوالي: 0,000000000074 مترا. نلاحظ أيضا أن هذا العدد صغير جدا ولكتابته يأخذ حيزا كبيرا، لذا نقوم باختصاره باستعمال الكتابة العلمية على الشكل التالي:
طريقة تحويل العدد من الكتابة العشرية إلى الكتابة العلمية:
↤ بالنسبة للمثال الأول ( الأس الموجب) لدينا العدد 000 000 000 000 000 000 000 602
👈 نحسب عدد الأصفار بدءا من الوحدات إلى أن نصل إلى أول رقم غير منعدم، في هذا العدد عدد الأصفار هو 21 صفرا
👈 نكتب العدد على الشكل : 10²¹×602
👈 ونحن نعرف أن الكتابة العلمة لها شرطين:
- الأول قوى العدد عشرة (متحقق 10²¹)
- والثاني: عدد محصور بين 1 و10 ( غير متحقق لأن 602 غير محصور بين 1 و10)
👈 العدد 602 نكتبه بدوره كتابة علمية، هل هي 100×602 أو 101×60,2 أو 102×6,02؟
- الأول: 602=1×602=10⁰×602
- الثاني: 602=10×60,2=10¹×60,2
- الثالث: 602=100×6,02= 10²×6,02
👈 كل هذه الكتابات صحيحة، لكن الكتابة العلمية هي الثالثة لأنها حققت الشرطين السابقين.
👈 نقوم إذن بتعويض العدد 602 بكتابته العلمية في العدد: 10²¹×602 ، فنحصل على:
10²¹× 10²×6,02
👈وهذا يساوي 10²³×6,02
↤ بالنسبة للمثال الثاني (الأس السالب) لدينا العدد 0,000000000074
👈 نحسب عدد الأرقام وراء الفاصلة ( عدد الأرقام في الجزء العشري)، في هذا العدد يوجد 12 رقما
👈 نكتب إذن العدد على الشكل:
👈 نعوض 74 بكتابته العلمية في العدد
👈 فنحصل على
👈فيكون الجواب هو
❋خلاصة❋
❋خاتمة❋
يعتبر درس اليوم ( القوى في الرياضيات) من بين الدروس الأساسية، باكتسابه بشكل جيد يساعدنا على الاستمرار في اكتساب مزيد من الدروس الأخرى وفي حل المسائل والمعادلات الرياضياتية كما يتم استخدام القوى في العديد من المجالات خارج الرياضيات كالكيمياء والفيزياء والاقتصاد وعلوم الكمبيوتر والبيولوجيا، من خلال تطبيقات عملية كثيرة مثل حساب الفائدة المركبة، وحساب النمو السكاني والتفاعلات الكيميائية والسلوك الموجي والتشفير وغير ذلك.
❋تطبيقات حول القوى❋
التمرين الأول:
التمرين الثاني:
التمرين الثالث:
التمرين الرابع:
التمرين الخامس:
التمرين السادس:
التمرين السابع:
فيديو معاينة حلول التمارين السابقة:
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى