العمليات المتكررة وكيف تم اختصارها؟

الجمع المتكرر، الطرح المتكرر، الضرب المتكرر،اختصار الكتابات الجمعية، اختصار الكتابات الضربة، من الجمع المتكررإلى الضرب، من الطرح المتكرر إلى القسمة، الأس والأساس، من الضرب المتكررإلى الأس

 تعتبر عملية الجمع أول عملية يتلقاها المتعلم في مسيرته الدراسية أولا لسهولتها وثانيا لكثرة استعمالها في الحياة اليومية، ثم تأتي بعد ذلك عملية الطرح وهي عملية عكسية لعملية الجمع، لذا يعتبر اكتساب عملية الجمع مهدا ومنطلقا لاكتساب مفهوم الطرح. وبعد ذلك يتعلم المتعلم مفهوم الضرب وهي أيضا عملية تكرارية للجمع او بصيغة أخرى فالضرب اختصارا لعملية الجمع المتكرر، ثم القسمة والتي تعتبر بدورها عكس عملية الضرب، ثم بعد ذلك عمليات أخرى كالأس والجدر وغيرهما...

فالسؤال المطروح هنا ما سبب وجود كل هذه العمليات؟ وما الغاية منها؟

من خلال المقدمة، تعتبر عملية الجمع أساس كل العمليات، فتم تعلم العمليات الأخرى لا لأجل جعل الرياضيات أكثر تعقيدا وصعوبة بالنسبة للمتعلمين وإنما على العكس تماما أي لتيسير إنجاز العمل بشكل جيد وفي وقت وجيز. ففي الماضي، كانت العمليات المتكررة تتم يدوياً، مما كان يتطلب وقتاً وجهداً كبيرين، ومع تطور الرياضيات، تم إيجاد طرق لتبسيط هذه العمليات وجعلها أكثر كفاءة لأن الهدف من الرياضيات في الأساس هو تسهيل حياة الإنسان من جميع الميادين... واكتسابها بشكل جيد يزيد من قدرة المتعلم في التمكن من المضامين الأخرى في الدراسة وفي الحياة عموما. يمكن الولوج إلى مقال سابق حول موضوع (لماذا الرياضيات مهمة في الحياة؟) من خلال النقر على الرابط.   

👈في مقال اليوم، سنتحدث عن العمليات المتكررة في الرياضيات والطريقة التي تم بها اختصارها ربحا للجهد والوقت، وسنتطرق أيضا إلى خصائص ومميزات كل عملية على حدة بشكل مختصر كي لا يكون المقال طويلا

أولا: الجمع المتكرر

نقصد به عملية جمع أعداد بشكل متكرر، هذه العملية تنجز بشكل مباشر، لكن يمكن اختصارها ربحا للوقت والجهد في حالة ما إذا كانت هذه الأعداد إما متساوية أو متتالية  

 ✹✹الجمع المتكرر للأعداد المتساوية

👈نقترح هذه الوضعية:

"" اشترى طفل 6 أقلام بثمن درهمين للقلم الواحد، ما هو الذي دفعه للكتبي؟""

👈 لإيجاد حل لهذه الوضعية يلجأ المتعلم إلى القيام بعملية الجمع على الشكل التالي: 

👈 ومن خلال هذا التمثيل يكتشف المتعلم تكرار نفس العدد الذي هو  2 ست مرات، ويمكنه إيجاد الجواب الصحيح بالقيام بجمع العدد 2 ست مرات، لكن لو طرحت عليه سؤالا آخر بقولك:

"" ماذا لو اشترى هذا الطفل او شخص آخر 100 قلم، أو 1000 قلم، أو 278364 قلم ؟؟؟، هل سنقوم بهذه الطريقة، أي هل سنكتب العدد 2، 100 مرة، 1000 مرة، 278364 مرة، ؟؟""

👈 يكتشف المتعلم إذن عدم كفاية الطريقة التي قام بها في بداية الأمر، وأنها يمكن استعمالها فقط في الأعداد الصغيرة، لابد إذن من طريقة أخرى؟؟

👈 هنا تتدخل الرياضيات وتقول: توجد عملية أخرى أكثر سهولة تقوم باختصار للجمع المتكرر للأعداد المتساوية، ليست الغاية منها هو تعقيد الأمور كما يعتقد البعض وإنما على العكس تماما لتسهل عليك إنجاز العملية بدون تعب ولا ضياع للوقت...

👈 هذه العملية بطبيعة الحال هي عملية الضرب، فنحصل إذن على: 6×2 = 2+2+2+2+2+2

👈 وبدل ما نكتب 2+2+2+2+...+2 مائة مرة، نكتب 100×2 وهكذا ...

👈 فيكون الجمع المتكرر للأعداد المتساوية هو الضرب، فنكتب: 

👈 ثم بعد ذلك ينتقل المتعلم إلى دراسة خصائص ومميزات عملية الضرب بدءا بجدول الضرب الذي من الضروري التمكن منه حتى يتم إنجاز العمليات بشكل سريع ثم اكتشاف طرق وضع العمليات مستغلا بذلك خصائص الضرب المتمثلة في خاصيتي التبادلية والتجميعية والعنصر المحايد وخاصية توزيعية الضرب على الجمع. 

👈 لكن، إذا كان الجمع المتكرر لنفس الأعداد هو الضرب، فهل العكس صحيح، أي أن كل عملية ضرب هي الجمع المتكرر، يمكن أن يكون ذلك صحيحا بالنسبة للأعداد الصحيحة، أما في بقية الأعداد فلا يمكن تحول الضرب إلى الجمع المتكرر في بعض الحالات، وكمثال على ذلك: 

👈 لذلك تم وضع قواعد خاصة بطريقة حساب الضرب لكل نوع من الأعداد ( العشرية، الجدرية، الحقيقية)، وسنتطرق إلى مفهوم الضرب وخصائصه وطرق إنجازه العمليات على جميع أنواع الأعداد بالتفصيل في موضوع لاحق إن شاء الله.

✹✹الجمع المتكرر للأعداد المتتالية

👈 الأعداد المتتالية هي الأعداد التي تأتي مباشرة بعد الأخرى، وفي الرياضيات يمكن اختصار مجموع هذه الأعداد في صورتين مختلفتين:

الأولى: الأعداد المتتالية ابتداء من العدد 1، مثال: 7+6+5+4+3+2+1 

الثانية: الأعداد المتتالية ابتداء من أي عدد، مثال: 12+11+10+9+8+7+6

👈 فكيف يتم إذن اختصار كل عملية من هاتين العمليتين؟

↤بالنسبة للأولى: يمكن اختصار مجموع الأعداد المتتالية بدء من العدد 1 بالطريقة التالية:

👈 وكان مكتشف هذه الطريقة هو العالم الرياضي الألماني كارل فريدريش غاوس، عندما كان صغيرا، كان ذكيا جدا إلى حد أنه يزعج أحيانا مدرسه بأجوبته السريعة دون ترك فرصة لزملائه داخل الفصل، وفي يوم من الأيام، ودائما هو على حاله، طلب منه المدرس إنجاز مجموع الأعداد من 1 إلى 100 كي يلهو بها ويترك فرص التعلم للآخرين إلا أنه في ظرف 5 دقائق توصل إلى الجواب مما جعل مدرسه مندهشا عندما اكتشف طريقة وصوله إلى الجواب دون القيام بعملية الجمع 99 مرة.

👈 وهذه المجاميع المحصل عليها باستعمال الأعداد المتتالية بدءا من 1، تسمى بالأعداد المُثَلَّثِيّة (بالإنجليزية: Triangular number)

👈 وهذه الأعداد هي 1 - 3 - 6 - 10 - 15 - 21 - 28 - 36 - 45 - 55 - 66 - 78...

👈 وتسمى مثلثية لأنها تكون على شكل مثلث إذا قمنا بتمثيلها على الشكل التالي: 

 

↤ بالنسبة للثانية: يمكن اختصار مجموع الأعداد المتتالية بدءا من أي عدد بالطريقة التالية:

👈وبصفة عامة، لاختصار العمليات الجمعية للأعداد المتتالية نستعمل الرمز(سيكما) Σ،ويسمى مجموع المتتاليات، وله خصائص ومميزات خاصة سنتطرق إليها في دروس مقبلة إن شاء الله.

أمثلة:

ثانيا: الطرح المتكرر

👈هو القيام بتكرار عملية طرح نفس العدد من العدد المحصل عليه حتى يكون الطرح مستحيلا (المطروح منه أصغر من المطروح)، مثال: 

👈ويعتبر الطرح المتكرر من بين التقنيات المعتمد عليها لتقريب مفهوم القسمة إلى أذهان المتعلمين في المستويات الأولى، ولفهم أكثر للطرح المتكرر نقترح الوضعية التالية:

"" وزعت مدرسة 29 ورقة بالتساوي على 6 طالبات، كم عدد الأوراق التي يحصل عليها كل طالب؟""

👈 للإجابة عن الوضعية، يقوم المتعلم بطرح العدد 6 من كل عدد توصل إليه بدءا بالعدد 29، بهذه الطريقة:

- في البداية وزعت المعلمة الأوراق على 6 طلاب أي أن كل طالب أخذ ورقة، إذن عدد الأوراق الموزعة هي 6 والباقية هي: 23=6-29 

- بعد ذلك قامت المدرسة بنفس العملية، فيكون عدد الأوراق المتبقية هو: 17=6-23

- ثم نفس العملية، فيكون عدد الأوراق المتبقية هو: 11=6-17

- ثم نفس العملي، فيكون عدد الأوراق المتبقية هو: 5=6-11

- وأخيرا، لا يمكن توزيع 5 أوراق على 6 متعلمين

👈  يكتشف المتعلم إذن نصيب الأوراق لدى كل طالب من خلال عدد عمليات التوزيع التي قامت بها المدرسة أو من خلال عدد عمليات الطرح المنجزة التي هي 4.

👈 بعد ذلك، نضع المتعلم أمام نفس الوضعية لكن هذه المرة يكون عدد الأوراق الموزعة كبيرا، مثلا 2354 ورقة، كم عدد المرات التي سنقوم بها بعملية الطرح للوصول إلى الجواب؟؟ 

👈 يكتشف المتعلم أن القيام بهذه الطريقة يتطلب وقتا طويلا وجهدا كبيرا، فلابد من وجود طريقة أخرى تختصر كل هذه المراحل، 

👈 هنا أيضا تتدخل الرياضيات، وتقول أن بدل ما تقوم بالطرح المتكرر مرات عديدة يمكن إنجاز القسمة مرة واحدة للوصول إلى الجواب الصحيح في وقت وجيز ودون عناء.

👈 وبعد ذلك، ينتقل المتعلم إلى دراسة القسمة ومميزاتها ومراحل إنجازها، وكنا قد تطرقنا في مقال سابق حول المراحل المتبعة لإنجاز القسمة الاقليدية، يمكن الرجوع إليه عبر الرابط.

رابعا: الضرب المتكرر

👈 ما يتعلق بالجمع المتكرر، يتعلق هنا بالضرب المتكرر، فهو عملية ضرب أعداد بشكل متكرر، هذه العملية تنجز بشكل مباشر، لكن يمكن أيضا اختصارها ربحا للوقت والجهد في حالة ما إذا كانت هذه الأعداد إما متساوية أو متتالية، وهذا ما رأيناه في الجمع المتكرر.

✹✹الضرب المتكرر لنفس الأعداد

👈 نقترح الوضعية التالية:

"حقل يضم 3 أشجار زيتون، يتفرع جدع كل شجرة إلى 3 فروع كبيرة، كل فرع بدوره يتفرع إلى 3 فروع متوسطة، وكل فرع متوسط يتفرع بدوره إلى 3 فروع صغيرة، وكل فرع صغير يحتوي على 3 حبات زيتون. كم عدد حبات الزيتون المنتج في هذا الحقل؟"

👈 لحل الوضعية نقوم بما يلي:

- عدد الأشجار هو 3

- عدد الفروع الكبيرة في كل هذه الأشجار هو 3×3

- عدد الفروع المتوسطة في كل هذه الأشجار هو 3×(3×3)

- عدد الفروع الصغيرة في كل هذه الأشجار هو 3×[3×(3×3)]

- عدد حبات الزيتون في كل هذه الأشجار هو 3×[3×[3×(3×3)]]

👈 وبما أن عملية الضرب عملية تجميعية، يمكن كتابة العملية الأخيرة بدون اقواس بهذا الشكل: 3×3×3×3×3

👈 نلاحظ تكرار عملية الضرب لنفس العدد 5 مرات، وماذا لو كان عدد مرات التكرار عددا كبيرا؟؟.. لذا لا بد من عملية أخرى تقوم باختصار الضرب المتكرر.

👈ولاختصار عملية الضرب المتكرر نستعمل الأس ويسمى أيضا قوة العدد، فنكتب: 3×3×3×3×3=5³ ،أو 3×3×3×3×3=3^5 في بعض الآلات الحاسبة وبعض لغات البرمجة  وتقرأ 3 أس 5.

👈 فإذا كان الجمع المتكرر لنفس العدد يساوي ضرب ذاك العدد في عدد مرات تكراره 

👈 فإن الضرب المتكرر لنفس العدد يساوي رفع ذاك العدد إلى الأس الذي هو عدد مرات تكراره 

✹✹الضرب المتكرر للأعداد المتتالية

↤ نبدأ أولا بالأعداد المتتالية التي تنطلق من العدد 1، كيف يتم اختصار كتاباتها الضربية؟

👈 لاختصار مثل هذه العمليات نستعمل عملية جديدة تسمى (عاملي عدد)، والذي يكتب على شكل !n، ويقرأ عاملي n  أو nعاملي. وفيما يلي مثال لـ7 عاملي:

7×6×5×4×3×2×1=!7

👈 ويمكن حساب عاملي أي عدد بشكل مباشر باستعمال الآلة الحاسبة العلمية بالضغط على زر ! بعد العدد.

↤ أما ضرب الأعداد المتتالية بصفة عامة يمكن اختصارها باستعمال الرمز:

أمثلة:

- هناك علاقة بين الرمز عاملي(!) والرمز السابق وهي: 

- أمثلة أخرى:

خلاصـــــــة

خلاصة مقال اليوم هو أن الرياضيات دائما في بحث عن إيجاد حلول للعمليات المتكررة المستعملة كثيرا في ميادين الحياة، وذلك لتسهيل الحساب والقيام بالعمليات في وقت قصير وبمجهود قليل، هي مجرد رموز تم الاتفاق عليها من طرف الرياضياتيين من مختلف العالم، لكن لها دلالات ومعان واستعمالات محددة...

فالجمع المتكرر ← الضرب

والضرب المتكرر ← الأس

ويبقى السؤالين المطروحين هما:

- ماذا لو كان هناك الأس المتكرر  3^(3^(3^(3^(3^… ) ) ) )؟؟؟ 

- وإذا كان الطرح المتكرر هو القسمة، فهل يعني أن القسمة المتكررة هي الجدر؟؟؟

أنشطة التدريب

المطلوب في هذه الأنشطة هو اختصار كل تعبير من التعابير الرياضياتية التالية باستعمال الرموز المناسبة: (يمكن النقر على الصورة لتكبيرها)

انقر هنا لإظهار الحلول