الأعداد النسبية، جمع وفرق الأعداد النسبية، جداء وخارج الأعداد النسبية، Nombres relatifs، Relative Numbers، المستقيم المدرج، ترتيب ومقارنة الأعداد النسبية، قواعد جداء الأعداد النسبية، العدد الموجب والعدد السالب، استعمالات الأعداد النسبية في الحياة
قبل الخوض في درس اليوم حول الأعداد النسبية، دعونا أولا نتحدث عن الاختلاف حول الأسماء التي تم إطلاقها على بعض أنواع الأعداد في الرياضيات، ومثال على ذلك ما نحن بصدده اليوم: الأعداد النسبية.
ففي بعض الدول العربية يطلق هذا الاسم على الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل عدد كسري بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح غير منعدم، والذي نطلق عليها، نحن في المغرب، باسم الأعداد الجدرية، مثل الأعداد: 2/5 ، 3/1 ....
فنوع الأعداد التي نحن اليوم بصددها، والتي نطلق عليها نحن بالأعداد النسبية، بالفرنسية (Nombres relatifs) وبالإنجليزية (Relative numbers) هي مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة ويتوسطها العدد 0، لذلك تسمى نسبية لأنها تحدد بالنسبة للعدد 0، فإذا كانت أكبر من الصفر فهي أعداد نسبية موجبة، وإذا كانت أصغر من الصفر فهي أعداد نسبية سالبة. وسنتطرق خلال هذا الدرس إلى كل ما يخص هذه الأعداد، من حيث بعض استعمالاتها في الحياة اليومية، ثم من حيث التعامل معها قراءة وكتابة وترتيبا وكيف إجراء العمليات عليها.
أولا: تاريخ الأعداد النسبية
يرجع تاريخ أول ظهور للأعداد النسبية إلى الهنود قبل القرن الخامس الميلادي، إلا أن هذه الأعداد لم يتم تداولها بشكل وافر، ولم تتمكن من أخذ مكانتها كأعداد إلا في القرن السابع عشر. ويرجع سبب تأخر استعمال هذه الأعداد إلى كونها مرتبطة بعدِّ أشياء غير موجودة، عكس بقية الأعداد التي تمكننا من عد أشياء موجودة كالأعداد الصحيحة الطبيعية أو تقسيمها إلى أجزاء كالأعداد العشرية.
وأكثر مما يثير الفضول في هذه الأعداد قواعد حساب الجداءات أي عند ضرب عدد سالب في عدد سالب أو موجب في سالب ... وهكذا، وقد حاول بعض المربين تقريب هذه القاعدة إلى أذهان المتعلمين باللجوء إلى علاقة الصداقة والعداوة بين الناس، فإذا اعتبرنا الصديق عددا موجبا والعدو عددا سالبا، إليك هذه التعابير:
← صديق صديقك يعتبر صديقك أي عند ضرب عدد موجب في عدد موجب يعطي عددا موجبا.
← صديق عدوك يعتبر عدوك أي عند ضرب عدد موجب في عدد سالب يعطي عددا سالبا.
← عدو صديقك يعتبر عدوك أي عند ضرب عدد سالب في عدد موجب يعطي عددا سالبا.
← عدو عدوك يعتبر صديقك أي عند ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطي عددا موجبا.
وتبقى هذه التعابير وسيلة فقط لتذكر القواعد ليس إلا....
وقد كثر التعامل في عصرنا الحالي بالأعداد النسبية، فأصبحت تستعمل في المعاملات البنكية وفي البورصة وفي قياس الحرارة وفي المصاعد وفي الألعاب وغير ذلك...
◆◆◆◆◆◆
ثانيا: استعمالات الأعداد النسبية.
تعرفنا فيما سبق على الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية، وتحدثنا عن استعمالات هذه الأعداد في حياتنا اليومية (يمكن الرجوع إلى الدرس من هنا)، فاليوم سنرى أن استعمال هذه الأعداد فقط غير كاف للوصول إلى حل لبعض الوضعيات من الحياة التي نعيشها، ومن هذه الوضعيات ما يلي:
❆قياس درجات الحرارة
يبين كل محرار من هذه المحاريرالمبينة في الصورة درجة الحرارة المسجلة في خمس مدن مختلفة، المطلوب منا هو ملء الجدول الموالي انطلاقا من الصورة:
↤بالنسبة لمدينة B تم تسجيل 20 درجة تحت الصفر، فنكتب: °20-
↤بالنسبة لمدينة C تم تسجيل 15 درجة فوق الصفر، فنكتب: °15
↤بالنسبة لمدينة D تم تسجيل 0 درجة، فنكتب:°0
↤بالنسبة لمدينة E تم تسجيل 5 درجات تحت الصفر، فنكتب: °5-
👈تلاحظون أن عند كتابة درجات حرارة تحت الصفر استعملنا أعداد جديدة تم التعبير عنها بوضع الرمز ناقص (-) إلى جانبها وهي 20 - ، 5- هذه الأعداد تسمى بالأعداد السالبة، أما الأعداد الأخرى المعروفة مسبقا ( 30، 15 ...) فهي أعداد موجبة يمكن كتابتها بهذا الشكل أو إضافة إليها الرمز (+) (30+ ، 15+...) وتسمى أعدادا موجبة، وهي نفس الأعداد الصحيحة الطبيعية.
👈 أما العدد 0، تلاحظون أن تدريجته على المحرار توجد في الوسط، فهو يفصل بين الأعداد الموجبة والأعداد السالبة، فالعدد 0 ليس موجبا ولا سالبا أو يمكن القول أيضا أنه موجب وسالب في نفس الوقت.
-----------------------------------------
❆ قراءة التاريخ
نحن الآن، خلال كتابة هذه الأسطر، في سنة 2023 ميلادية والموافق لـ 1445 هجرية، هذا يعني أن التاريخ الميلادي أو الهجري أو أي نوع آخر من التاريخ له بداية. نأخذ مثلا التاريخ الهجري، بدايته (أي 0 هجرية) كانت عند هجرة الرسول صلى الله عليه وسلم من مكة إلى المدينة، ومنذ ذلك الحين بدأ التأريخ به، وهناك أحداث كثيرة مؤرخة بعد الهجرة النبوية مثل:
← غزوة أحد التي وقعت في السنة الثالثة بعد الهجرة أي 3 هجرية.
← وفاة الرسول صلى الله عليه وسلم في السنة 11 بعد الهجرة أي 11 هجرية,
← فتح الأندلس سنة 92 هجرية,
← تحرير بيت المقدس من الصليبيين عام 583 هجرية.
...
👈 لكن، كيف يمكن التعبير عن تاريخ وقوع الأحداث قبل الهجرة النبوية؟؟ هنا سنستعمل الأعداد السالبة فنقول مثلا:
← وفاة السيدة خديجة بنت خويلد رضي الله عنها زوج الرسول صلى الله عليه وسلم كانت قبل الهجرة بثلاث سنوات أي سنة 3- هجرية
← نزول الوحي على الرسول صلى الله عليه وسلم كان في السنة 13 قبل الهجرة، ونكتب 13- هجرية.
...
👈 وإذا أردنا تمثيل التاريخ الهجري باستعمال مستقيم مدرج فسنحصل على ما يلي:
❆ طوابق العمارة
توجد عمارات تتكون من عدة طوابق، وللصعود إليها أو النزول منها يستعمل المصعد بالفرنسية( Ascenseur وبالإنجليزية (Elevator) ، داخل هذه المصاعد توجد لوحة الأزرار حيث يتم فيها الضغط على الزر الموافق لرقم الطابق المرغوب الصعود أو النزول إليه، بدءا من الطابق الأرضي الذي يشير إليه العدد 0 إلى آخر طابق من هذه العمارة، فإذا أردت الصعود مثلا إلى الطابق 15 تضغط على الزر رقم 15 وهكذا...، لكن توجد عمارات بها طوابق تحت أرضية، فلو أردت النزول إلى الطابق الأرضي الثاني ، فعلى أي زر ستضغط؟؟
👈 تلاحظون أن لوحة أزرار المصعد تتضمن إلى جانب أرقام معروفة هي 0، 1، 2، 3، 4... أرقام أخرى مرافقة للرمز ناقص (-) مثل 1-، 2-، 3- ... هذه الأرقام هي التي تدل على الطوابق تحت الأرضية، فلو أردت الذهاب إلى الطابق الثالث تحت الأرضي ستضغط على الزر الذي يحمل الرقم 3- وهكذا.... هذه الأرقام (الأعداد) هي ما يسمى بالأعداد السالبة.
❆ العمليات البنكية
لا شك أن لك حساب في بنك أو تعرف شخصا له حساب بنكي، فالحساب البنكي هو حساب مالي مع مؤسسة بنكية تسجل جميع العمليات المالية بين الزبون والبنك (السحب، الإيداع، القرض...) وفي آخر كل شهر أو بطلب من الزبون يتوصل هذا الأخير بكشف لحسابه يتضمن مجموع المصاريف والمداخيل التي حدثت خلال تلك الفترة، وفي أسفل الصفحة تجد الرصيد النهائي الموجود في الحساب، تمثل هذه الصورة نموذجا لهذا الكشف:
◆◆◆◆◆◆
ثالثا: أنواع الأعداد النسبية
من خلال الأمثلة السابقة تعرفنا على بعض الوضعيات من الحياة اليومية التي نوظف فيها الأعداد النسبية، وإذا تمعنا أكثر في هذه الوضعيات نجد أننا استعملنا نوعين من الأعداد النسبية: في المثال الأول والثاني والثالث استعملنا أعداد دون الفاصلة ويمكن تمثيلها على المستقيم المدرج على الشكل التالي:
أما في الوضعية الأخيرة، فقد استعملنا أعدادا عشرية (تتكون من جزأين: صحيح وعشري)، فهذه الأعداد تسمى بكل بساطة الأعداد العشرية النسبية، ونرمز لها بالحرف D، ويتم تمثيلها على المستقيم المدرج على الشكل التالي:
فالأعداد مثل :
◆◆◆◆◆◆
رابعا: العمليات على الأعداد النسبية
❆ المقارنة والترتيب
في الحياة اليومية، يكون من المفيد أحيانًا مقارنة الأرقام النسبية (مقارنة درجات الحرارة، وحساب النتائج، وما إلى ذلك). وقد رأينا بعض النماذج في الفقرات السابقة. لكن قبل البدء في مقارنة وترتيب الأعداد النسبية، من الضروري أولا معرفة كيفية مقارنة الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية، إذ من خلالها ننطلق لفهم أكثر للطرق المتبعة لمقارنة وترتيب الأعداد النسبية. يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والعشرية من خلال النقر على هذا الرابط.
👈 ولفهم جيد لكيفية مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها، سنقوم بذلك من خلال طريقتين: باستعمال المستقيم المدرج ثم بدون استعماله. فما هو المستقيم المدرج ومماذا يتكون؟
👈 المستقيم المدرج هو مستقيم به تدريجات أو نقط، كل تدريجة أو نقطة تعبر عن عدد معين، ويسمى أفصول هذه النقطة، والنقطة التي أفصولها العدد 0 تسمى أصل المستقيم المدرج وغالبا ما نرمز لها بالحرف O. مثال:
← أفصول النقطة I هو 1
← أفصول النقطة A هو 3
← أفصول النقطة B هو 3,5-
← أفصول النقطة C هو 5,8-
← أفصول النقطة D هو 5,8
← أفصول النقطة E هو 7,2
👈 نلاحظ أن أفصول كل من النقطة C والنقطة D لا يختلفان إلا في الإشارة (5,8- و 5,8)، نقول إنهما متقابلان.
👈 نقول أيضا العدد 5,8- هو مقابل العدد 5,8 أو العدد 5,8 هو مقابل العدد 5,8-
👈 يعني أن كل عددين يختلفان فقط في الإشارة فهما عددان متقابلان: 2 مقابل 2- ، 23- مقابل 23 ...
⏪مقارنة وترتيب الأعداد النسبية باستعمال المستقيم المدرج:
↤ نقوم بتمثيل الأعداد التي نريد مقارنتها أو ترتيبها على المستقيم المدرج، العدد الممثل في أقصى اليمين هو الأكبر والعدد الممثل في أقصى اليسار هو العدد الأصغر، مثال:
👈 نريد ترتيب هذه الأعداد من الأصغر إلى الأكبر:
2- ، 7,9 ، 6,6- ، 0 ، 4,3 ، 3,8- ، 7,5- ، 4,3 ، 3 ، 2,7
👈 نقوم بالبحث عنها وتمثيلها على المستقيم المدرج:
7,9 > 4,3 > 3 > 2,7 > 0 > 2- > 3,8- > 6,6- > 7,5- > 8-
⏪مقارنة وترتيب الأعداد بدون استعمال المستقيم المدرج:
↤ سنقوم بدراسة هذه المقارنة وفق ثلاث حالات:
👈 الحالة لأولى: مقارنة عددين مختلفي الإشارة (موجب وسالب) ← الموجب هو العدد الأكبر والسالب هو العدد الأصغر
مثال:
203- < 7 ، 0,5 > 4,67- ، 66- < 0 ، 33 > 33-
👈 الحالة الثانية: مقارنة عدد موجبين← نطبق عليهما قاعدة مقارنة الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية، أي نقارن الجزء الصحيح أولا ثم الجزء العشري بدءا بالأعشار وهكذا... (يمكن الرجوع إلى الدرس من هنا)
مثال:
0,5 > 0,07 ، 47 < 983 ، 33,3 > 33,2 ، 3,9827 < 39,827
👈 الحالة الثالثة: مقارنة عددين سالبين← نقارن مقابليهما، فالأكبر هو الذي مقابله أصغر، والأصغر هو الذي مقابله أكبر.
أمثلة:
← المثال 1: نعلم أن 7 أكبر من 5,5 إذن مقابله 7- هو الأصغر ونكتب: 7- < 5,5-
← المثال 2: نعلم أن 234 أكبر من 23,4 إذن مقابله 234- هو الأصغر ونكتب: 23,4- > 234-
← المثال3: نعلم أن 3 أكبر من 0,03، إذن مقابله 3- هو الأصغر ونكتب: 3- < 0,03-
← المثال4: نعلم أن 41 أكبر من 40، إذن مقابله 41- هو الأصغر، ونكتب: 40- > 41-
-----------------------------------------
❆ الجمع والطرح
سنبدأ أولا في هذه الفقرة بالحديث عن طرق حساب مجموع عددين نسبيين، ذلك لأن هذه الطرق هي التي سنستعملها لحساب فرق عددين نسبيين أي أننا سنقوم بتحويل الفرق إلى الجمع تسهيلا للإنجاز.
◉أولا: حساب مجموع عددين نسبيين
توجد وضعيات عديدة من حياتنا اليومية، نوظف فيها حساب مجموع الأعداد النسبية، نقترح منها هذه الوضعية وهي عبارة عن لعبة:
يحتوي صندوق على خمس كرات سوداء (N) وأربع كرات حمراء (R)، عند سحب كرة سوداء تحتسب نقطة (1+) وعند سحب كرة حمراء تخصم نقطة (1-)، كل فريق مشارك يسحب الكرات خمس مرات متتالية ثم يقوم بإرجاعها إلى الصندوق ليأتي دور الفريق الآخر، سجلنا النتائج التالية، والمطلوب هو تحديد الفريق الفائز في هذه اللعبة:
← الفريق الأول: (2-) + (3+)
← الفريق الثاني: (4-) + (1+)
← الفريق الثالث: (1-) + (4+)
👈 نلاحظ أن الأعداد التي نريد حساب مجموعها أعداد نسبية موجبة وسالبة، فكيف نقوم بذلك؟
👈 يمكن حساب مجموع عددين نسبيين على ضوء حالتين هما:
الحالة الأولى: حساب مجموع عددين نسبيين لهما نفس الإشارة (موجب + موجب أو سالب + سالب)
⇐ نحسب مجموع العددين دون اعتبار للإشارة.
⇐ نضع أمام الناتج إشارة ناقص (-) إذا كان العددان سالبين وإشارة (+) أو بدونها إذا كانا موجبين.
أمثلة :
⇐ نحدد مقابل العدد السالب فنحصل على عددين موجبين أحدهما كبير والآخر أصغر.
⇐ نطرح العدد الأصغرمن الأكبر ونكتب الناتج
⇐ نضع إلى جانب الناتج إشارة العدد الأكبر
أمثلة: احسب:
← 6 + (5-) = A
← (6-) + 5 = B
◉ ثانيا: حساب فرق عددين نسبيين
↤ لطرح عدد نسبي من عدد نسبي، نحول الطرح إلى الجمع، أي نحول ناقص – إلى زائد ناقص (–)+، ثم نطبق القواعد السابقة
أمثلة:
← في المثال الأول قمنا بتحويل الطرح إلى الجمع وطبقنا الحالة الثانية (أي حساب مجموع عددين نسبيين مختلفي الإشارة)
← في المثال الثاني قمنا بتحويل الطرح إلى الجمع وطبقنا الحالة الأولى (أي حساب مجموع عددين لهما نفس الإشارة)
← في المثال الثالث قمنا بتحويل ناقص ناقص - - إلى زائد +. أي عند التقاء إشارتي (-) و (+) نطبق القواعد التالية :
👈 توجد طريقة أخرى لإنجاز طرح عددين نسبيين تطرقنا إليها في مقال حول مفهوم الطرح بين الابتدائي والإعدادي يمكن الولوج إليه من خلال الرابط (الفقرة الأخيرة)
◉ثالثا: سلسلة عمليات الجمع والطرح
↤ نقصد بها عملية حسابية تتكون من أكثر من عددين وأكثر من عملية واحدة (الجمع والطرح)، ويمكن أيضا أن تتضمن أقواس وللمزيد من التوضيحات حول كيفية التعامل مع مثل هذه العمليات الحسابية يرجى الاطلاع على مقال حول ترتيب العمليات الحسابية عبر الرابط .
✦عملية حسابية بدون أقواس: يمكن إنجازها بطريقتين:
👈 بشكل مباشر: أي نبدأ بإنجاز العملية الأولى بتطبيق القواعد السابقة، بدءا من اليسار ثم الثانية ... وهكذا حتى الانتهاء من جميع الحدود. مثال:
👈 بشكل غير مباشر: أي أننا نقوم بتجميع الأعداد الموجبة معا ونحسب مجموعها والأعداد السالبة معا ونحسب مجموعها، مثال:
✦ عملية حسابية مع الأقواس: نقوم بحساب ما يوجد بين قوسين متشابهين أولا، حتى نتخلص من الأقواس جميعها، ثم نطبق إحدى طرق الحساب بدون أقواس السابقة. مثال:
👈 ويمكننا القيام بطريقة أخرى، وهي التخلص أولا من الأقواس ثم نطبق إحدى الطرق السابقة، وفي هذه الحالة إذا وُجِدَتْ إشارة ناقص (-) خارج القوس فإن إشارة الأعداد داخل القوس ستتغير، وإذا وُجِدَتْ إشارة زائد (+) خارج القوس فإن ما بين قوسين لا يتغير. مثلا:
👈 وهذه الطريقة هي الأكثر استعمالا في مثل هذه الحالات خاصة عند التعامل مع الحروف كأعداد في حل المعادلات مثلا.
-----------------------------------------
❆ الضرب والقسمة
◉أولا: الضرب
↤ توجد في حياتنا اليومية وضعيات يتطلب حلها توظيف عددين نسبيين، نقترح منها هذه الوضعية:
""قرر متجر تخفيض ثمن بعض منتوجاته بـ 3 دراهم في كل أسبوع، فما هو الثمن المخفض بعدد مرور 5 أسابيع؟""
👈 في كل أسبوع يتم خفض 3 دراهم أي 3-
👈 يعني أن في 5 أسابيع يتم خفض: (3-)+(3-)+(3-)+(3-)+(3-)
👈 حصلنا هنا على الجمع المتكرر لنفس العدد، يمكننا تحويله إلى الجداء، على الشكل التالي: 5×(3-)
👈 فكيف إذن نقوم بحساب هذه العملية والعمليات المشابهة؟
نقوم بذلك وفق ثلاث حالات:
◀ الأولى: ضرب عددين نسبيين لهما نفس الإشارة ( موجب×موجب أو سالب×سالب)
👈 يكون ناتج الضرب في هذه الحالة عددا موجبا، أمثلة:
49=7×7 ، 36=(9-)×(4-) ، 210=(5-)×(42-)
◀ الثانية: ضرب عدد نسبيين مختلفي الإشارة ( موجب×سالب)
👈 يكون ناتج الضرب عدد سالبا، أمثلة:
63-=(7-)×9 ، 432- = 6×(72-) ، 4864- = 16× (304-)
◀ الثالثة: ضرب عدة أعداد نسبية مختلطة ( موجبة وسالبة)
👈 في هذه الحالة نطبق خاصية التجميعية أي أننا نحسب أولا جداء عددين باتباع الحالات الثلاث السابقة (موجب × موجب أو موجب × سالب أو سالب × سالب) ثم نختار عددين آخرين لحساب جدائهما بنفس الطريقة... وهكذا إلى أن ننتهي من جميع الأعداد. مثال
(للمزيد من التوضيحات حول الضرب وخصائصه ومميزاته يمكن الرجوع إلى الدرس عبر الرابط)
◉ثانيا: القسمة
↤ قسمة عدد نسبي على عدد نسبي، يتم إنجازها بنفس الطريقة التي ننجز بها قسمة عدد صحيح أو عشري على عدد صحيح أو عشري، (يمكن الرجوع إلى درس القسمة عبر الرابط)
👈 والجديد هنا هو وضع الإشارات في خارج عدد نسبي على عدد نسبي، أي متى نضع إشارة (+) يعني يكون الخارج عددا موجبا، ومتى نضع إشارة (-) يعني يكون الخارج عدد سالبا.
👈 تبقى قاعدة الإشارات بالنسبية لخارج عددين نسبيين هي نفس القاعدة بالنسبة لجداع عددين نسبيين، أي:
← قسمة عددين نسبيين لهما نفس الإشارة (موجب÷ موجب أو سالب÷ سالب) تعطي عددا موجبا. مثل:
15,75= (4-) ÷ (63-) ، 0,8 = 4 ÷ 3,2
← قسمة عددين نسبيين مختلفي الإشارة ( سالب÷موجب أو موجب÷سالب) تعطي عدد سالبا. مثل:
2,5- = 9 ÷ (22,5-) ، 12,5- = (6,8-) ÷ 80
👈 وكما أشرنا في درس القسمة المضبوطة والقسمة غير المضبوطة، فإن قسمة أي عدد نسبي على عدد نسبي لا يعطي دائما عددا مضبوطا أي أننا نحصل على أعداد لها أرقام غير منتهية بعد الفاصلة، وكمثال على ذلك:
.....3,74166666666- = 3,6 ÷ 13,47-
👈 هذه الأعداد ليست أعداد نسبية لذلك نرمز لها باستعمال خط الكسر :
← القيمة المقربة إلى 1 أي إلى الوحدات:
← القيمة المقربة إلى 0,1 أي إلى الأعشار:
← القيمة المقربة إلى 0,01 أي إلى أجزاء المائة:
← وهكذا، أي أننا لن نتمكن إلى الوصول إلى العدد بالضبط وإنما نقوم بتحديد القيم المقربة إليه...
(يمكن الرجوع إلى درس القسمة المضبوطة والقسمة غير المضبوطة للمزيد من التوضيحات حول هذا الموضوع)
◉ثالثا: سلسلة عمليات الضرب والقسمة
↤ إذا كانت عملية حسابية تتضمن عمليتي الضرب والقسمة لأكثر من عددين، فإنه من الواجب البدء من جهة اليسار وإنجاز العملية الأولى ثم الثانية بالترتيب، هذا في حالة عدم وجود أقواس، أما إذا وجدت أقواس فمن الضروري حساب ما بين قوسين أولا.
أمثلة:
◆◆◆◆◆◆
خامسا: ماذا بعد الأعداد النسبية
تطرقنا خلال الفقرة الأخيرة السابقة إلى أن عند قسمة عدد نسبي على عدد نسبي نحصل على أحيانا على أعداد عشرية جزؤها العشري غير منتهي، هذه الأعداد لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية أي أنها ليست أعدادا نسبية، ونظرا لكون أرقامها في الجزء العشري تتكرر بدون نهاية فإننا نكتبها على شكل عدد كسري، كما رأينا في المثال.
هذه الأعداد الجديدة تسمى بالأعداد الجدرية وسنرى في دروس مقبلة ، إن شاء الله، كيف نتعامل مع مثل هذه الأعداد.
◆◆◆◆◆◆
سادسا: أنشطة التطبيق
نقترح عليكم هنا بعض التداريب حول الأعداد النسبية، يمكنكم الضغط على الصور لتكبيرها، كما يمكنكم تحميل هذه التداريب بصيغة PDF بالضغط هنا على الرابط.
يمكن معاينة حلول هذه الأنشطة من خلال الرابط التالي
رائع شكرا
ردحذف