عمليات الضرب، تاريخ الضرب، تقنيات الضرب، خصائص الضرب، جدول الضرب، ضرب الأعداد الصحيحة، ضرب الأعداد العشري، ضرب الأعداد الكسرية، ضرب الأعداد الستينية، ضرب الأعداد النسبية
عملية الضرب في الرياضيات هي عملية تقابلها عملية القسمة، وفي الابتدائي يمكن تفسير عملية الضرب بأنها عمليات جمع متكررة للعدد ذاته، مثال: 7 × 4 هي 7 + 7 + 7 + 7. (7 أربع مرات).
يسمى العددين المكونين لعملية الضرب «المضروب» و«المضروب فيه» أو «المضروب به»، وتسمى كذلك عوامل الضرب أما النتيجة المحصل عليها تسمى حاصل الضرب أو الجداء.
يرمز لعملية الضرب عادة بالرمز (×) (6=2×3) وأحيانا بالرمز (*) خاصة في عالم المعلوميات (3*2=6)، كما يمكن أن يرمز للجداء بالنقطة فقط (.) أو دون وضع أية عملية خاصة عند التعامل مع الحروف والأرقام: (2.x) أو (2x)
في مقال اليوم سنتحدث عن عملية الضرب وسنتطرق إلى ما يتميز به عن غيره من العمليات الأخرى والعلاقة بينه وبين هذه العمليات، كما سنتحدث عن تاريخ الضرب وأساسياته لتقريب المفهوم، ثم عن طرق إنجاز عمليات الضرب مع مختلف أنواع الأعداد... كل هذا وغيره وفق الفهرسة التالية :
◆ تاريخ الضرب
◆ تقنيات الضرب عبر العصور
◆ خصائص الضرب
◆ تدرج مفهوم الضرب
◆ جدول الضرب
◆ ضرب الأعداد الصحيحة
◆ ضرب الأعداد العشرية
◆ ضرب الأعداد الكسرية
◆ ضرب الأعداد الستينية
◆ ضرب الأعداد النسبية
✴✴✴✴✴
أولا: تاريــخ الضــرب
يعتبر علم الحساب من العلوم الضاربة في القدم، فقد تم استخدامه منذ آلاف السنين في العديد من الحضارات القديمة مثل الحضارة المصرية والحضارة البابلية. وقد وجدت أدلة على استخدام الحساب في الألواح الطينية البابلية وأرواق البردي التي يعود تاريخها إلى آلاف السنين.
ومن بين العمليات الحسابية التي عرفها الإنسان منذ القدم، عملية الضرب، وكانت تستعمل في بداية الأمر اختصارا لعملية الجمع المتكرر، وقد اختلفت التقنيات التي استعملت في الجداءات من حضارة لأخرى رغم تشابهها في بعض الأحيان، ولم يتم تطويرها إلى شكلها الحالي إلا في العصور الوسطى، وقد تم ذلك من خلال استخدام الأرقام العربية والنظام العشري، الشيء الذي أدى إلى تطوير طرق جديدة لعملية الضرب.
✴✴✴✴✴
ثانيا: تقنيات الضـرب عبر العصور
◄كانت أقدم تقنية المستعملة لإنجاز الضرب تعتمد على الجمع المتكرر. فمثلا، لحساب 3 × 4، كان يتم جمع العدد 4 ثلاث مرات، أي 4 + 4 + 4 = 12. فهي تتميز بالبساطة وسهولة الفهم، لكنها من جهة تبقى بطيئة ومرهقة عند استخدامها مع الأعداد الكبيرة، فمثلا لحساب 23×64 يتطلب وقتا طويلا لجمع العدد 64 23 مرة ... ومن جهة أخرى تبقى هذه الطريقة غير صالحة بالنسبة لأنواع أخرى من الأعداد كالأعداد الكسرية أو العشرية، فمثلا، لحساب 2,4×3,7، كيف يمكن حساب جمع 3,7 2,4 مرة؟؟
◄ لذا كان من الضروري البحث عن طرق وتقنيات أخرى لربح الوقت من جهة ولتكون مناسبة لجميع أنواع الأعداد، فتم اكتشاف محاولات كثيرة نسرد منها ما يلي:
تقنية الضرب لدى المصريين:
◄يعتمد الضرب عند المصريين على الحساب في نظمة العد ذات الأساس 2، وهي التي تعتمد حاليا في المحسبات والحواسب.
👈مثلا: لحساب جداء 11 في 13 نعتمد الجدول التالي الذي نضاعف فيع العدد 13 وفي المقابل نقسم فيه العدد 11 على 2 دون اعتبار للباقي:
👈ثم نقوم بحساب مجموع الأعداد التي تقابلها الأعداد الفردية في خانة العدد 11 أي : 104+26+13=13×11، أي أن 143=13×11
تقنية الضرب عند العرب:
◄ يعتبر العرب هم من ابتكروا الضرب كما نعرفه اليوم والذي يعتمد على الوضع والاحتفاظ. وقبل التوصل إلى الصيغة الحالية استعملوا طريقة أكثر وضوحا تنظم فيه العمليات بطريقة واضحة وتعتمد على عدة جموع جزئية.
👈 فمثلا، لحساب جداء 17 في 63 نرسم هذا الجدول وننجز العملية على الشكل التالي:
👈 والنتيجة تكون بحساب مجموع الأعداد التي توجد في الأشرطة المائلة فيكون حاصل ضرب العددين هو 1071.
✴✴✴✴✴
ثالثا: خصائص الضــرب
تعتبر خصائص عملية الضرب أدوات مهمة ، فهي تساعد على تسهيل إجراء العمليات الحسابية وجعلها أكثر كفاءة، فمن الضرورة، إذن، فهم هذه الخصائص وتطبيقها في العمليات الحسابية المختلفة.
◀ التبادلية
أول خاصية يتميز بها الضرب هي خاصية التبادلية، أي أن حاصل ضرب عددين لا يتغير إذا غيرنا موضع هذين العددين.
فمثلا: 4×5=5×4.
👈 وهذه الخاصية تفيد المتعلم في اكتسابه لجدول الضرب إذ يصبح ممكنا إن أراد حساب جداء أن يختار الكتابة التي تجعل الحساب أسهل، أو الحساب الذي هو متمكن منه. فـ 5×9 هي نفسها 9×5، يبقى فقط للمتعلم حرية اختيار الجداء حسب إمكاناته وقدراته.
◀ التجميعية
تعني خاصية التجميعية في الضرب أن حاصل ضرب مجموعة من الأعداد يساوي مجموع حاصل ضرب كل رقم في المجموعة مع حاصل ضرب الأعداد المتبقية، وبلغة الرياضيات يمكن تعريف التجميعية بالشكل التالي:
وكمثال على ذلك:
👈 تفيد هذه الخاصية في تسهيل حساب وإنجاز عملية الضرب في حالة وجود أكثر من عاملين، إذ يتم اختيار الجداء الأسهل من بين هذه العوامل ربحا للوقت والجهد أيضا.
◀التوزيعـية
نعني بها الخاصيّة التي تبين إمكانيّة ضرب العدد الموجود خارج الأقواس بكل الأعداد أو الحدود الموجودة داخله أي أننا نقوم بتوزيع العدد أو المعامل الواقع خارج القوس على الأعداد الموجودة بداخله واحدا واحدا ثم نقوم بجمع النواتج أو طرحها حسب نوع العملية الموجودة داخل القوسين، ويمكن تعريف التوزيعية بلغة الرياضيات على الشكل التالي:
ويمكن أن يكون التوزيع على الجمع أو الطرح أو كليهما.
👈 هذه الخاصية لها استعمالات كثيرة في الرياضيات، ويرجع لها الفضل في إيجاد حلول كثير من المسائل الرياضيات حيث تساعد على تبسيطها وجعلها في المتناول، كما يتم اعتماد خاصية التوزيعية عند إجراء التقنية الاعتيادية للضرب، وتعتبر أيضا تمهيدا لإجراء المسائل الرياضية التي تتطلب إجراء عمليات النشر والتعميل في المستويات الأعلى.
◀العنصر المحايد والعنصر الماص
العنصر المحايد في الرياضيات هو العدد الذي لا يؤثر في ناتج العملية مع أي عدد آخر، أي العنصر الذي يدخل على العملية الرياضياتية دون أي يُغير بها شيئاً، حيث تبقى ناتج العملية كما هو. ففي عملية الجمع يعتبر الصفر هو العنصر المحايد لأن أي عدد أضفناه إلى الصفر يساوي نفس العدد، وفي الضرب فإن العنصر المحايد هو 1 لأن أي عدد ضربناه في 1 يساوي نفس العدد. 4=1×4 ، 35=1×35 ، 546=1×546 ...
أما الصفر (0) في عملية الضرب فيسمى العنصر الماص لأن ناتج ضرب أي عدد في الصفر يساوي صفرا. 0=0×23 ، 0=0×6764 ، 0=0×3 ...
👈 تفيد هذه الخاصية في التمييز بين عمليتي الجمع والضرب من حيث العنصر المحايد، فالكثير يعتقد أن العنصر المحايد في عملية الضرب هو الصفر؛ لكن هذا خاطئ، حيث أن ضرب أي رقم في العدد صفر يكون الناتج صفرا، مما يعني أنه يُخِل بقواعد المحايد الضربي، لذلك يجب التنويه أن العنصر المحايد في عملية الضرب هو 1، وأن العنصر المحايد في عملية الجمع هو 0 ، أما الصفر (0) فهو العنصر الماص في عملية الضرب.
✴✴✴✴✴
رابعا: تدرج مفهوم الضرب
كغيرها من المفاهيم الرياضياتية، يعتمد مفهوم الضرب في تقديمه للمتعلمين على مبدأ التدرج من البسيط إلى المركب ومن المحسوس إلى المجرد وفق النمو العقلي والجسدي والوجداني للمتعلم، وذلك من خلال أنشطة ووضعيات مستقاة من واقعه المعاش على الشكل التالي:
👈 ينطلق بناء مفهوم الضرب، كما أشرنا إلى ذلك، من عملية الجمع، حيث يتعرف المتعلم على عملية الضرب كعملية جمع متكرر من خلال وضعيات واقعية ومألوفة تساعده على إدراك دور عملية الضرب في اختصار عملية الجمع المتكرر وتسهيل إيجاد حلول لمسائل ووضعيات في المستقبل.
👈 ثم بعد ذلك ينتقل المتعلم إلى اكتشاف جدول الضرب كمرحلة ثانية، بدءا بالأعداد الصغيرة، ومحاولة استيعابه وحفظه بشكل جيد لأن ذلك يساعده على إنجاز العمليات على الأعداد الكبيرة ومختلف أنواعها (الصحيحة، العشرية، الكسرية...) وإيجاد حلول للمسائل الرياضياتي بشكل سريع وبجهد أقل.
👈 بعد تمكنه من جدول الضرب، ينتقل المتعلم من خلال وضعيات إلى إنجاز عمليات الضرب وفق التقنية الاعتيادية المعروفة بدون الاحتفاظ ثم بعد ذلك بالاحتفاظ بدءا بالأعداد الصغيرة، لكن قبل ذلك يتعرف المتعلم على الطرق المعتمدة عليها للقيام بهذه التقنية كتوظيف لخصائص الضرب في ذلك مثل التبادلية والتوزيعية بشكل غير مصرح به.
👈 هذا كله ينجزه المتعلم في نطاق الأعداد الصحيحة الطبيعية، ثم ينتقل المتعلم إلى توظيف ما تعلمه على الأعداد العشرية والتعرف على ما يميز عملية الضرب على هذه الأعداد والتغيرات التي تطرأ على الجداء المحصل عليه من خلال مكان وضع الفاصلة وعدد الأرقام وراء الفاصلة.
👈 ثم ينتقل المتعلم إلى التعرف على عملية الضرب في نطاق الأعداد الكسرية من خلال أنشطة متنوعة تفسح المجال أمام المتعلم لتعميق استيعابهم للإجراءات الحسابية وتوظيف كل ما من شأنه أن يساعدهم على ضبطها موظفا خصائص الضرب التي تعرف عليها من قبل.
👈 وفي الإعدادي، بعد التعرف على الأعداد النسبية وخصائصها التي تميزها، ينتقل المتعلم إلى التعرف على خصائص الضرب الخاصة بهذه الأعداد كقواعد إشارة جداء عددين نسبيين أو أكثر واستعمال مختلف الكتابات الضربية والتعرف على خصائص القوى وغيرها...
👈 ثم يأتي استعمالات الضرب في مفاهيم أخرى كالجدور المربعة والمتجهات
✴✴✴✴✴
خامسا : جدول الضــرب
◄ يمكن اعتبار جدول الضرب أساسا لكل ما تم التطرق إليه في الفقرة السابقة، فالتمكن منه من طرف المتعلم منذ المستويات الأولى، يساعده، دون عناء، على اكتساب مختلف الخصائص والتقنيات الخاصة بالضرب عبر مختلف المستويات ويساعد على حل المشكلات بأقل جهد وفي وقت وجيز، لذلك تمت برمجته منذ السنوات الأولى ويتم التطرق إليه من حين لآخر من خلال أنشطة الحساب الذهني التي تسبق دروس الرياضيات.
◄ اُكْتُشِفَ جدول الضرب من طرف الفيلسوف والعالم الإغريقي فيثاغورس، وسمي بجدول الضرب لأنه يساعد في إظهار نتائج جداء عددين في جدول يسهل حفظه من طرف المتعلم، وتوجد طرق وأساليب تعليمية مختلفة تساعد على حفظ جدول الضرب، فهناك من يلجأ إلى الأناشيد والقصص، لكن تبقى هذه الطريقة محدودة، لأن الرياضيات لا تعتمد على الحفظ المجرد من الفهم... بل يجب أن يقترن الحفظ مع الفهم حتى يتمكن المتعلم من إدراك ما يحفظه ويعلم لما يحفظه وأين ومتى يستعمله، ويبقى تحفيز المتعلمين أساس كل اكتساب للمعرفة من خلال وضعيات من حياتهم اليومية.
◄ توجد طرق كثيرة ومتنوعة للتمكن من جدول الضرب يمكن البحث عنها عبر الانترنيت، نقترح عليكم بعض النصائح التي من الواجب استحضارها من طرف المتعلم بشكل مستمر حتى يجد نفسه يوما قد تمكن من جدول الضرب بشكل جيد:
👈 أولا يجب استحضار خاصية التبادلية خلال معرفة جداء عددين إذ يصبح ممكنا إن أراد المتعلم حساب جداء أن يختار الكتابة التي تجعل الحساب أسهل، أو الحساب الذي هو متمكن منه. فـ 5×9 هي نفسها 9×5.
👈 يمكن أيضا الانطلاق من جداء عددين معروفين لمعرفة جداء عددين غير معروفين، فمثلا المطلوب هو حساب 8×7 وانا أعرف أن 49=7×7، هنا فقط أضيف 7 إلى 49 ليصبح الناتج هو 56.
👈 تحديد الجداء انطلاقا من مربعات الأعداد، ونقصد بها جداء نفس العددين وهي: 1=1×1، 4=2×2، 9=3×3، 16=4×4، 25=5×5، 36=6×6، 49=7×7، 64=8×8، 81=9×9، 100=10×10. فمثلا لحساب 8×6، أنا أعرف أن 36=6×6 أقوم فقط بإضافة 6 مرتين (أي 12) إلى 36 فيكون الناتج هو 48. ويمكن أيضا استعمال الطرح.
👈 تحديد جميع النواتج الممكنة لجداءات الأعداد بين 2و 10 وهي بالترتيب:
4،6،9،10،12،14،16،18،20،21،24،25،27،28،32،35،36،40،42،45،48،49،54،56،63،64،72،81،100
مع معرفة جميع الحالات الممكنة للحصول على كل ناتج، فمثلا العدد 36 له حالتان ممكنتان هما: 4×9، 6×6...
👈 التدرب على تحديد المضاعفات والقواسم للأعداد الأقل من 100، بهذه الطريقة وبشكل مستمر، ستمكن المتعلم من حفظ جدول الضرب دون أن يدرك ذلك.
👈 توجد طرق أخرى كثيرة منها:
◈عند ضرب أي عدد في اثنين (2) يكفي إضافة العدد إلى نفسه مرتين، 14=7+7=2×7
◈ عند ضرب عدد في العدد أربعة (4) يتم مضاعفة العدد ثم مضاعفة الناتج مرة أخرى، لحساب 4×3، نضاعف العدد 3 فيكون 6 ثم نضاعف العدد 6 فيكون 12
◈ عند ضرب عدد في العدد 10 نضع صفرا (0) إلى جانب هذا العدد جهة الوحدات، 50=10×5
◈ عند ضرب عدد في 5، نحدد نصف العدد ونضربه في 10، فمثلا لحساب 5×8، نصف العدد 8 هو 4 ، نضربه في 10 فيكون الجواب هو 40.
✴✴✴✴✴
سادسا: ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية
👈 يرتكز إجراء عملية ضرب الأعداد الصحيحة الطبيعية على الجمع المتكرر، فمثلا لحساب جداء العددين 6×4 نحسب المجموع 4+4+4+4+4+4 أو 6+6+6+6، وهذا هو مبدأ الانطلاق لتقريب مفهوم الضرب في السنوات الأولى من التعليم الابتدائي، لكن تبقى هذه الطريقة غير صالحة في حالة حساب جداء أعداد كبيرة مثل 47×38 ، فهل نقوم بتكرار العدد 47، 38 مرة؟ وماذا لو أردنا حساب جداء أعداد أكبر بكثير، لذا فمن الضروري البحث عن تقنيات أخرى لحساب جداء الأعداد كيفما كان عدد أرقامها.
👈 للقيام بهذه العملية، يتم اللجوء إلى تقنية تسمى التقنية الاعتيادية للضرب، هذه التقنية ترتكز على ما يلي:
1 - قواعد العد بالوضع في نظمة العد العشري، حيث يتعين احترام رتب الأرقام في الوضع العمودي للتقنية.
2 - جدول الضرب.
3 - خاصيات الضرب في المجموعة IN : التبادلية، التجميعية، توزيعية الضرب على الجمع
4 - التقنية الاعتيادية للجمع.
👈 وتمر هذه التقنية عبر المراحل التالية، لنأخذ المثال: 47×38
1- احترام قواعد وضع الأرقام: (الوحدات تحت الوحدات والعشرات تحت العشرات...)
2- عند إنجاز عملية الضرب وفق هذه التقنية يجب البدء من وحدات الطرف الثاني الموجود في الأسفل على غير عادة التقنية الاعتيادية للجمع أو الطرح. ثم نضربه في أرقام العدد الأول بدءا بالوحدات ثم العشرات وهكذا ... ونكتب النتيجة في السطر الأول.
نتيجة السطر الأول:
3- الانتقال إلى الرتبة الموالية في الطرف الثاني الموجود في الأسفل، في هذا المثال، هي العشرات، ثم نقوم بنفس الطريقة أي نضربه مرة أخرى في أرقام العدد الأول بدءا بالوحدات، ونكتب النتيجة في السطر الثاني لكن بعد وضع نقطة أسفل الوحدات، والنقطة بمثابة الصفر (0).
نتيجة السطر الثاني:
4- حساب مجموع العددين: العدد الموجود في السطر الأول والعدد الموجود في السطر الثاني.
يمكن أضافة سطر آخر في حالة وجود رتبة أخرى في العدد الثاني، أي أن عدد السطور متعلق بعدد أرقام العدد الثاني.
نتيجة الضرب:
👈 ويمكن توضيح مختلف الخطوات السابقة بإنجاز متتالية الحسابات التالية:
1 - تفكيك الطرف الثاني (47) في نظمة العد العشري كالتالي:
2 - بما أن الجمع تبادلي فيمكن كتابة المتساوية على الشكل:
3 – نطبق خاصية توزيعية الضرب على الجمع، فنكتب
👈 يتم تقديم هذه التقنية بالتدرج حتى يتم استيعابها بشكل جيد من طرف المتعلم، حيث تقدم أولا تقنية الضرب بالاحتفاظ ثم بدون احتفاظ، وأيضا يتم البدء بحساب جداء عدد مكون من رقمين أو ثلاثة في عدد مكون من رقم واحد أي فقط سطر واحد ثم بعد ذلك في عدد مكون من رقمين أي الحاجة إلى سطرين لإنجاز العملية وهكذا...
✴✴✴✴✴
سابعا: ضرب الأعداد العشرية
سنقوم بتقسيم هذه الفقرة إلى جزأين: الأول سنتطرق فيه إلى التقنية الاعتيادية للضرب في نطاق الأعداد العشرية، والثاني سنتطرق فيه إلى بعض الطرق التي يعتمد عليها لحساب جداء الأعداد العشرية.
◄الجزء الأول
👈 لإيجاد حل للوضعيات التي يتطلب حلها توظيف جداء أعداد عشرية، يلجأ المتعلم إلى وضع عملية الضرب بتتبع التقنية الاعتيادية المعروفة والتي أشرنا إليها في الفقرة السابقة (ضرب الأعداد الصحيحة)، بتتبع نفس الخطوات، والجديد هنا هو وضع الفاصلة، لذا لإنجاز عملية ضرب عددين عشريين بشكل عمودي نتبع الخطوتين التاليتين:
◈الأولى، ننجز العملية دون اعتبار لوجود الفاصلة (كأن الفاصلة غير موجودة)، وتسهيلا للإنجاز يجب وضع العدد الذي له أكبر عدد من الأرقام في الأعلى.
◈ الثانية، إرجاع الفاصلة عند الانتهاء من العملية ووضعها في المكان المناسب أي أننا نقوم باحتساب عدد الأرقام وراء الفاصلة في كل من المضروب والمضروب فيه، وبقدر مجموع هذه الأرقام نضع الفاصلة في حاصل الضرب.
◄ الجزء الثاني
👈 توجد طرق يمكن استعمالها للحساب السريع والذهني لجداء أعداد عشرية منها:
◈وضع الفاصلة انطلاقا من معرفة جداء عددين دون الفاصلة
مثال1: ↤ نريد حساب: 0,2×3 ،
↤ نحسب الجداء دون الفاصلة أي 6=2×3
↤ نكتب 6=0,2×3 ونحسب عدد الأرقام وراء الفاصلة وهو رقم واحد
↤ نضع الفاصلة بعد 6 ليكون الجواب الصحيح هو 0,6=0,2×3
وبنفس الطريقة نحصل على: 0,06 = 0,2×0,3 ، 0,6=2×0,3، 0,006=0,2×0,03 ...
مثال 2: ↤ نريد حساب 4×1,2
↤ نحسب الجداء بدون فاصلة أي 4×12 ويساوي 48
↤ نكتب 48=4×1,2
↤ عدد الأرقام وراء الفاصلة هو رقم واحد
↤ نضع الفاصلة بعد 8 ليصبح الجواب: 4,8=4×1,2
وبنفس الطريقة نحصل على: 0,48=4×0,12 و 0,048 = 0,4×0,12 و 4,8= 0,4×12 ...
◈ انتقال الفاصلة عند ضرب العدد العشري في 10، 100، 1000... أو في 0,1، 0,01، 0,001...
👈 عند ضرب العدد العشري في قوى العدد 10 (10، 100، 1000...) نحتفظ بنفس أرقام العدد وتنتقل الفاصلة إلى اليمين برتبة واحدة إذا ضربنا في 10 وبرتبتين إذا ضربنا في 100 وثلاث رتب إذا ضربناه في 1000 وهكذا... مثال:
34,01=10×3,401
340,1=100×3,401
3401=1000×3,401
👈 وعند ضرب العدد العشري في أجزاء العدد 10 (0,1، 0,01، 0,001...) نحتفظ بنفس الأرقام وتنتقل الفاصلة إلى اليسار برتبة واحدة عند الضرب في 0,1 وبرتبتين عند الضرب في 0,01، وبثلاث رتب عند الضرب في 0,001 وهكذا... مثال:
95,73=0,1×957,3
9,573=0,01×957,3
0,9573=0,001×957,3
👈 وللمزيد من التوضيحات حول كيفية التعامل مع الأعداد العشرية، يرجى زيارة هذا الموقع.
✴✴✴✴✴
ثامنا: ضرب الأعداد الكسرية
👈 العدد الكسري يتكون من البسط والمقام، لإنجاز عملية ضرب عددين كسريين نقوم بضرب البسطين وضرب المقامين، كما يبين الشكل التالي:
👈وكأمثلة على ذلك:
👈 نلاحظ أن عملية ضرب الاعداد الكسرية تلازمها أحيانا عملية الاختزال، أي أننا نقوم بقسمة كل من البسط والمقام على نفس العدد، أو بعبارة أخرى نزيح العدد نفسه من البسط والمقام إن وجد بهما. (انظر الصورة السابقة)
👈 وللمزيد من التوضيحات حول الأعداد الكسرية والعمليات عليها يرجى زيارة الموقع التالي من هنا.
✴✴✴✴✴
تاسعا: ضرب الأعداد الستينية
👈 الأعداد الستينية هي الأعداد التي تدل على المدد الزمنية كالساعات أو الدقائق أو الأيام... وتسمى أعدادا ستينية لإنها تنتمي إلى النظام الستيني بدل النظام العشري المعروف أي أن عند وصولها إلى العدد 60 تتغير وتتحول إلى وحدة أكبر:
1min = 60s
1h = 60 min
👈 جداء الأعداد الستينية غير مصرح به ضمن دروس الرياضيات في الابتدائي كما كان في الأعوام السابقة، حيث كان هناك درس خاص بضرب وقسمة الأعداد الستينية بشكل مستقل، لكن حاليا، يتم توظيف جداء الأعداد الستينية بشكل ضمني لحل بعض المسائل في الرياضيات، نقترح هذا المثال:
"" دار متسابق حول حلبة السباق 6 دورات، إذا علمت أن مدة كل دورة هي 16min34s، فاحسب المدة الزمنية التي استغرقها هذا المتسابق لإتمام سباقه.""
👈 يمكن حل هذه المسألة باللجوء إلى عملية الجمع، حيث يقوم المتعلم بحساب مجموع المدد الزمنية لكل دورة، على الشكل التالي:
👈 نلاحظ تكرار نفس المدة ست مرات، فلماذا إذن لا يتم اختصار العملية باستعمال عملية الضرب مادامت المدة لم تتغير، فنحصل على:
👈 يبقى الآن، كيف نقوم بإنجاز مثل هذه العمليات.
👈 للقيام بذلك ننجز عملية الضرب بشكل مستقل لكل وحدة زمنية، أي أننا نضرب العدد 6 في 34 ثانية ثم مرة أخرى 6 في 16 دقيقة، على الشكل التالي:
👈 بعد ذلك، نقوم بالتحويلات اللازمة:
↤ هنا نحول 204s فتصبح 3min24s، فيصبح لدينا: 99min24s.
↤ ثم نحول 99min فتصبح 1h39min ، فيكون الجواب النهائي: 1h39min24s
👈 يمكن الرجوع إلى درس القياسات في الرياضيات لمزيد من التوضيحات حول الأعداد الستينية من هنا.
✴✴✴✴✴
عاشرا: ضرب الأعداد النسبية
👈 تبقى كل قواعد الضرب والتقنيات التي تم التطرق إليها في نطاق الأعداد السابقة صالحة بالنسبة للأعداد النسبية، فالجديد هنا هو العدد الموجب والعدد السالب. أي أننا نقوم بحساب الجداء بنفس الطرق السابقة، والذي يتغير هنا هو إشارة ناتج الضرب، هل ستكون موجبة أم سالبة.
👈 سنقوم إذن بدراسة ضرب هذه الأعداد وفق ثلاث حالات، وهي:
◈ عدد موجب × عدد موجب:
👈 هذه الحالة تشبه تماما الحالات السابقة الذكر، أي أن الناتج يكون طبعا عدد موجبا. مثال:
49=7×7 ، 324=6×54 ، 2016= 84×24 ...
◈ عدد سالب × عدد سالب
👈 ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطي عدد موجب، مثال:
36=(9-)×(4-) ، 210=(5-)×(42-) ، 325=(25-)×(13-) ...
◈ عدد موجب × عدد سالب
👈 ضرب عدد سالب في عدد موجب (أو العكس) يعطي عدد سالب، مثال:
63-=(7-)×9 ، 432- = 6×(72-) ، 4864- = 16× (304-)
👈👈وخلاصة هذه الحالات الثلاث هي كالآتي:
ضرب عددين لهما نفس الإشارة يعطي عددا موجبا، وضرب عددين مختلفي الإشارة يعطي عددا سالبا.
👈👈 هذا في حالة ما إذا كان لدينا جداء عددين، ماذا لو أردنا حساب جداء أكثر من عددين؟؟
👈 في هذه الحالة نطبق خاصية التجميعية أي أننا نحسب أولا جداء عددين باتباع الحالات الثلاث السابقة (موجب × موجب أو موجب × سالب أو سالب × سالب) ثم نختار عددين آخرين لحساب جدائهما بنفس الطريقة... وهكذا إلى أن ننتهي من جميع الأعداد. مثال:
✴✴✴✴✴
خــاتــمــة
إلى هنا نأتي إلى نهاية درس اليوم حول عملية الضرب، نتمنى أن نكون قد استوفينا جميع الجوانب المتعلقة به، وإذا استفدتم منه فلا تبخلوا علينا ولو بكلمة شكر، وشكرا على تفاعلكم.
😊😊😍
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى