مفهوم الطرح بين الابتدائي والإعدادي

 عملية الطرح، طرح الأعداد الصحيحة، طرح الأعداد العشرية، طرح الأعداد النسبية، عمليات الطرح الممكنة، عمليات الطرح غير الممكنة، الطرح والجمع، علاقة الطرح بالجمع، تدرج مفهوم الطرح

في مقال اليوم، سنتطرق إلى عملية الطرح كمفهوم رياضياتي، ومقارنة استعمالاته بين مستويات التعليم الابتدائي والإعدادي، والتغيرات التي تطرأ عليه عند الانتقال في المستويات الابتدائية ومن الابتدائي إلى الإعدادي، والهدف الأساسي من هذا المقال هو أخذ فكرة حول تدرج مفهوم الطرح باعتباره عملية حسابية معقدة مقارنة مع عملية الجمع والاطلاع على مختلف التقنيات المستعملة لإنجاز عملية الطرح مع مختلف أنواع الأعداد وأخيرا وضع حد للمشكلة التي طالما عاني منها تلاميذ المستويات الابتدائية عند انتقالهم إلى الإعدادي، فكثير من عمليات الطرح في الطور الابتدائي نقول أنها لا يمكن إنجازها، لكن تبقى نسبية، لأن المتعلم عند انتقاله إلى الطور الإعدادي يجد أنها يمكن إنجازها، فغالبا ما يعتقد ، أي المتعلم، أن ما درسه في الابتدائي خاطئ وما كان يجب عليه ان يدرسه طالما أنه خاطئ، وهذا طبعا ليس صحيحا، بل يتم الاعتماد على مبدأ التدرج في اكتساب المعارف وسنرى في هذا المقال أن تلك العمليات التي نقول بأنها غير ممكنة في سنوات التعليم الابتدائي، تبقى غير ممكنة في نطاق الأعداد الصحيحة الطبيعية فقط، أي أن إمكانية أنجاز الطرح أو عدم إمكانيته مرتبط بنوع الأعداد المستعملة وليس بمستوى المتعلمين.

أولا:مفهوم الطرح

عملية الطرح هي واحدة من العمليات الحسابية الأربعة، وهي عكس عملية الجمع ويرمز لها بإشارة ناقص (-). وهو ببساطة عملية إنقاص عدد أو رقم من عدد أو رقم آخر، ونسمي حاصل طرح عددين فرقا.

ثانيا: تدرج الطرح من الابتدائي إلى الإعدادي

التدرج في بناء المفاهيم يعتمد على ثلاث مبادئ أساسية هي: الانتقال من السهل إلى الصعب ومن البسيط إلى المركب ومن الملموس إلى المجرد، فالطرح يتم تقديمه منذ السنوات الأولى من خلال أنشطة لتقريب المفهوم انطلاقا من عملية الجمع بالاعتماد على تقنيات مثل تقنية الأخذ المباشر أو تقنية الطرح بالإكمال، ثم بعد ذلك يتم الانتقال بالمتعلم إلى تعلم التقنية الاعتيادية للطرح بالاحتفاظ ثم بدون احتفاظ، والتي تتطور من مستوى إلى آخر حسب عدد الأرقام التي تتضمنها الأعداد المستهدف تعلمها في كل مستوى دراسي ( طرح الأعداد من رقمين، ثم من ثلاثة، ثم من أربعة أرقام وهكذا...)، ثم استعمال عملية الطرح مع الأعداد الأخرى كالكسرية والعشرية والستينية، وفي التعليم الإعدادي، استعماله مع الأعداد النسبية وهنا يجد المتعلم حدا للاعتقاد السائد منذ ست سنوات من التعليم وهو عدم إمكان إنجاز عملية الطرح عندما يكون المطروح أكبر من المطروح منه.

ثالثا: العلاقة بين مفهومي الجمع والطرح

وكما أشرنا إلى ذلك، ولتقريب مفهوم الطرح إلى أذهان متعلمي المستوى الأول يجب ربط المفهوم بعملية الجمع أي من خلال أنشطة يستعملون فيها عملية الجمع ليستنبطوا مفهوم الطرح، وفي مرحلة موالية استخدام الجمع للتأكد من صحة الفرق الذي حصل عليه. وبهذه الطريقة يتأكد المتعلم أن هناك علاقة وطيدة بين مفهومي الطرح والجمع وهذا سيساعده لا محالة خلال مساره الدراسي طيلة سنوات الابتدائي إلى غاية الإعدادي حيث سيكتشف أن عملية الجمع تتضمن في حد ذاتها عملية الطرح وأن عملية الطرح هي أيضا تتضمن عملية الجمع: 

رابعا: تقنيات تقريب مفهوم الطرح

من بين هذه التقنيات وكما أشرنا إلى ذلك:

تقنية الأخذ المباشر

يتعرف من خلالها المتعلم فرق عددين انطلاقا من إزالة عدد من العناصر من مجموعة (تقنية الشطب) وتتم هذه العملية المباشرة والملموسة من خلال مناولات تعبر عن وضعيات من الواقع الاجتماعي المعاش للمتعلم سواء داخل المدرسة أو خارجها. وكمثال لذلك نقترح الوضعية التالية: (صورة)

تقنية الطرح بالإكمال

تعتبر هذه التقنية من أسهل التقنيات المقترحة لحساب الفرق لكونها المألوفة لدى المتعلم، فقد سبق أن استعملها في وضعيات جمعية، إضافة الى كونها قريبة من تصوره لكنها تتطلب أن يكون المتعلم متحكما في الجداول الجزئية للجمع.

 تتمظهر هذه التقنية في إكمال المطروح حتى يتساوى مع المطروح منه فيحصل على الفرق. وكمثال تقترح الوضعية التالية:(صورة)

تقنية الفروق المتساوية

تعتبر هذه التقنية تقنية خاصة لحساب الفرق بين عددين، وذلك بإكمال المطروح أولا الى العشرة أو المئة الموالية له بعدد معلوم ثم إضافة نفس العدد الى المطروح منه. وتعتبر هذه التقنية من بين أكثر التقنيات المعتمدة عليها خلال الحساب الذهني، وكمثال على ذلك:(صورة)

تقنية المستقيم المدرج (المستقيم العددي)

تتم هذه التقنية بتمثيل كل من المطروح والمطروح منه على مستقيم مدرج، وتحديد الفرق بينهما باستعمال تدريجات هذا المستقيم، لكن تبقى هذه التقنية مرتبطة بالفهم الصحيح للمستقيم العددي وعناصره. وكمثال على ذلك: (صورة)

خامسا: التقنية الاعتيادية للطرح

👈في التعليم الابتدائي يتم الاعتماد على تقنيتين لإنجاز عملية الطرح وهما:

❋التقنية الأولى: تقنية المبادلة (أو الطرح بالاستلاف)

في هذه التقنية يتم تتبع نفس الخطوات المتبعة في الجمع لكن بكيفية عكسية، ذلك أنه بدلا من أن نجمع عشر مربعات لنكون قضيبا

فإننا نبادل قضيبا بعشر مربعات أو صفيحة بعشر قضبان... وهكذا. وتعتمد هذه التقنية خاصية بسيطة ترتبط بنظمة العدِّ العشري

والمتمثلة في تفكيك عدد إلى عشرات ووحدات.

مثال: 

 ليكن المطلوب حساب: 

نبدأ بالوحدات: 2 ناقص 8 لا يمكن، لذلك نأخذ 10 وحدات من 3 فنحصل على 12 ناقص 8 والذي يساوي 4. 

في العشرات بقي 2، و2 ناقص 7 لا يمكن أيضا، لذلك نأخذ 10 عشرات من 4 فنحصل على 12 ناقص 7 ويساوي 5. 

ثم في المئات بقي 3، و3 ناقص 1 يساوي 2. فيكون الجواب هو 254

👈وما قمنا به في هذه الطريقة هي ما تعبر به هذه المتساوية: 

👈العيب الوحيد في هذه الطريقة هو أنها تصبح معقدة شيئا ما، بسبب تكدس الأرقام نتيجة تشطيب أرقام وكتابة أرقام أخرى فوقها ويظهر هذا العيب بشكل كبير عندما يتوسع المتعلم في دراسة الأعداد من 4 أرقام فما فوق.. فلو أردنا طرح عدد من عدد مكون من أصفار: 

لنأخذ المثال التالي:

- 0 ناقص 6 لا يمكن، نأخذ 10 من 0 وذلك غير ممكن، لذا نبحث عن المنزلة التي لا يوجد فيها الصفر لنأخذ منها 10، وفي هذا المثال نأخذ 10 من الألف:

- ثم نأخذ 10 من 10 مئات ونضعها في منزلة العشرات وتبقى 9 في منزلة المئات:

- وأخيرا نأخذ 10 من 10 عشرات ونضعها في منزلة الوحدات وتبقى 9 مرة أخرى في العشرات:

- ثم ننجز العملية: في منزلة الوحدات لدينا: 10 ناقص 6 يساوي 4، وفي منزلة العشرات: 9 ناقص 2 يساوي 7، وفي منزلة المئات: 9 ناقص 4 ويساوي 5، ويكون الجواب النهائي:

❋التقنية الثانية: تقنية الاحتفاظ (أو الطرح بالإضافة)

👈هذه التقنية تعتمد على خاصية الفروق المتساوية أي أننا أضفنا 10 إلى كل طرف (المطروح والمطروح منه) والفرق لا يتغير

a - b = (a + 10) - (b + 10 )

هناك من لا يفضل استعمال هذه الطريقة لكونها لا تعكس التناول الحقيقي للعملية، ذلك إننا إذا كنا نقوم بالطرح فإنه لا يعقل إن نضيف عددا جديدا إلى المطروح منه والمطروح، لكن تبقى طريقة وتقنية فقط يعتمد عليها لإنجاز العملية لا غير.

👈ولفهم أكثر لهذه التقنية نأخذ المثال السابق: 

- في منزلة الوحدات 2 ناقص 8 لا يمكن، نضيف 10 (عشر وحدات) إلى 2 فيصبح 12 ونضيف 10 إلى منزلة العشرات على شكل 10 واحدة ونضعها إلى جانب الرقم 7 في الأسفل فيصبح الرقم الجديد هو 8 (كأننا نضيف في الأعلى 10 ونضيف في الأسفل 1) فتكون النتيجة هي 12 ناقص 8 وتساوي 4. 

- في منزلة العشرات: 3 ناقص 8 (7+1) لا يمكن أيضا، نضيف 10 (في الحقيقة 10 عشرات) إلى 3 فيصبح 13 ونضيف 10 إلى منزلة المئات على شكل 100 واحدة ونضعها إلى جانب الرقم 1 في الأسفل فيصبح الرقم الجديد هو 2 (نفس الشيء، كأننا أضفنا 10 في الأعلى و1 في الأسفل)، فتكون النتيجة مرة أخرى هي 13 ناقص 8 وتساوي 5. 

- وفي منزلة المئات: 4 ناقص 2 (1+1) يساوي 2، فيكون الجواب النهائي:

👈وما قمنا به في هذه الطريقة هي ما تعبر به هذه المتساوية: (يمكن النقر على الصورة لتكبيرها)

سادسا: طرح الأعداد العشرية.

👈يتم تتبع نفس التقنيات السابقة لحساب فرق عددين عشريين، غير أن طبيعة العدد العشري يتطلب احترام قواعد خاصة بالأعداد العشرية، وهي:

← عند وضع العملية يجب وضع الجزء الصحيح تحت الجزء الصحيح والجزء العشري تحت الجزء العشري والفاصلة تحت الفاصلة

← بالنسبة للجزء الصحيح: الوحدات تحت الوحدات والعشرات تحت العشرات وهكذا... وبالنسبة للجزء العشري: الأعشار تحت الأعشار وأجزاء المائة تحت أجزاء المائة وهكذا... وفي حالة وجود الجزء الصحيح فقط في طرف واحد (المطروح أو المطروح منه)، يجب إضافة الفاصلة والأصفار في الجزء العشري حسب عدد الأرقام وراء الفاصلة.

يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية من هنا

سابعا: طرح الأعداد الكسرية

👈 بالنسبة للأعداد الكسرية فالأمر مختلف إلى حد ما، لكون العدد الكسري يتكون من بسط ومقام، وفي هذه الحالة تتم عملية الطرح حسب مقامي العددين، فإذا كان لهما نفس المقام نقوم بطرح البسطين ونحتفظ بنفس المقام وإذا كان لهما مقامان مختلفان نقوم بتوحيد المقامين ثم نطرح البسطين ونحتفظ بنفس المقام الموحد. 

يمكن الرجوع إلى درس درس الأعداد الكسرية من هنا

ثامنا:طرح الأعداد الستينية

👈 الأعداد الستينية هي الأعداد التي تدل على المدد الزمنية كالساعات أو الدقائق أو الأيام... وتسمى أعدادا ستينية لإنها تنتمي إلى النظام الستيني بدل النظام العشري المعروف أي أن عند وصولها إلى العدد 60 تتغير وتتحول إلى وحدة أكبر:

60s = 1min

60min = 1h

👈 فعملية طرح الأعداد الستينية تتطلب بالإضافة إلى التقنيات المشار إليها سابقا احترام قواعد أخرى جديدة متعلقة بطبيعة هذه الأعداد،

وهي كالآتي:

← يتم وضع عملية الطرح بشكل عمودي وذلك بوضع كل وحدة زمنية تحت نفس الوحدة (الثواني تحت الثواني والدقائق تحت الدقائق وهكذا ...) 

← يتم إنجاز عملية الطرح بشكل مستقل لدى كل وحدة زمنية إن كان ذلك ممكنا، بدءا بأصغر وحدة زمنية (في هذه الحالة أصغر وحدة هي الثواني وعملية الطرح فيها ممكنة: 20=10-30). 

- وفي حالة استحالة إنجاز عملية الطرح، يتم استلاف وحدة واحدة من الوحدة الأكبر وتحويلها إلى الوحدة الأصغر وإضافتها إلى ما يوجد في الوحدة الأصغر ثم تنجز عملية الطرح.

في هذه الحالة: 25 ناقص 40 لا يمكن، نستلف ساعة واحدة من الساعات ويبقى 12 ساعة بدل 13، ثم نحولها إلى 60 دقيقة ثم نضيفها إلى ما يوجد من الدقائق (25) فيكون مجموع الدقائق هو 60+25=85، الآن يمكن طرح 40 من 85. ثم نمر إلى الساعات ونطرح 1 من 12. 

يمكن الرجوع إلى درس القياسات في الرياضيات لمزيد من التوضيحات حول الأعداد الستينية.

تاسعا: طرح الأعداد  النسبية

👈 الأعداد النسبية هي الأعداد التي تحدد بالنسبة للعدد 0، لذلك تسمى نسبية، فإذا كانت أكبر من الصفر فهي أعداد نسبية موجبة، وإذا كانت أصغر من الصفر فهي أعداد نسبية سالبة. 

👈 للأعداد النسبية استعمالات متعددة في الحياة اليومية، وكمثال على ذلك نقترح الوضعية التالية.

👈 تلاحظون أن الأرقام المدونة في الجدول في كل خانة متعلقة بالعدد الصفر (0)، (تحت الصفر، فوق الصفر، تساوي الصفر)، لذلك فهي أعداد نسبية، ونعبر عنها في الرياضيات بما يلي: (نفس الجدول لكن بصيغة الرياضيات)

←الأعداد فوق الصفر (أي أكبر من الصفر)، تسمى أعدادا موجبة ونرمز لها بإضافة الإشارة زائد (+) أو بدونها: 7  ; 2+  ;  4 ;  2764   ;   34,23+

← والأعداد تحت الصفر (أي أصغر من الصفر) تسمى أعداد سالبة ونرمز لها بإضافة الإشارة ناقص (-) وجوبا: 3-  ;  4,5-  ; 34,02- 

← ويعتبر الصفر الرقم الوحيد الموجود في الوسط ويفصل بين الأعداد الموجبة والأعداد السالبة (وسنخصص درسا خاصا بطريقة التعامل مع الأعداد النسبية لا حقا) 

👈 وبالنسبة لطرح الأعداد النسبية، فالأمر مختلف قليلا، لابد من معرفة العددين (المطروح والمطروح منه) ما إذا كانا موجبين معا أو سالبين معا أو مختلفي الإشارة أي أحدهما موجب والآخر سالب:

⇐ طرح عددين نسبيين موجبين:

⇐ طرح عددين نسبيين سالبين:

⇐ طرح عددين نسبيين مختلفين:

👈 وكما أشرنا إلى ذلك في إحدى الفقرات السابقة، فإن الطرح يمكن تحويله إلى الجمع وذلك في حالة ما اذا التقت إشارتا ناقص (-) مرتين:   - -  ←  +

أمثلة:

👈 كما أنه عند التقاء إشارة ناقص (-) مع إشارة زائد (+) فإن الأقوى هي ناقص (-)، كما في المثال 2 والمثال 3 السابقين.

خاتمة

من خلال ما سبق، تبين لنا أن إنجاز عملية الطرح وغيرها من العمليات الأخرى مرتبط بنوع الأعداد التي نريد إنجاز العملية عليها، ففي الأعداد الصحيحة الطبيعية تكون العملية ممكنة فقط إذا كان المطروح أصغر من المطروح منه، في حين أنه في الأعداد النسبية فإن العملية تكون ممكنة في جميع الحالات.