ترتيب العمليات الحسابية

قوانين ترتيب العمليات، العمليات الحسابية، الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، الأس، الجدر، أولويات العمليات الحسابية، ترتيب العمليات الحسابية، التبادلية، التجميعية،

تستعمل في علوم الرياضيات وبرمجة الحاسوب قوانين وقواعد لتوضيح العمليات الحسابية التي يجب اتباعها عند إنجاز العمليات الحسابية للحصول على الناتج الصحيح، خاصة عند تواجد أكثر من عملية حسابية في مسألة واحدة، هذه القوانين أو القواعد تسمى بأولويات العمليات الحسابية أو ترتيب العمليات الحسابية.

لو طلب منك إنجاز هذه العملية، في رأيك ما هو الجواب الصحيح من بين هذه الأجوبة؟؟

✷✷ما العمل إذن؟ كيف نتعامل مع مثل هذه العمليات الحسابية؟✷✷

في مقال اليوم، سنتحدث عن العمليات الحسابية في الرياضيات، كيفية التعامل معها، كيفية إنجازها، القواعد التي يجب احترامها لتجنب الوقوع في الأخطاء، العمليات ذات الأولوية وغير ذلك...

أولا:ما هي العمليات الحسابية؟

العمليات الحسابية هي أساس علم الحساب في الرياضيات، إذ بها نتمكن من إجراء العمليات الحسابية يوميا، وذلك لحساب الأعداد أو أشياء من حياتنا اليومية. وتوجد في الرياضيات أربع عمليات حسابية أساسية، لكل عملية رمز خاص بها وهي

- عملية الجمع ونستعمل الرمز (+) للدلالة عليها، ويسمى العدد الناتج عن عددين بالمجموع. مجموع العددين 3 و4 هو 7.

- عملية الطرح ونستعمل الرمز (-) للدلالة عليها، ويسمى العدد الناتج عن عددين بالفرق. فرق العددين 7 و5 هو 2.

- عملية الضرب ونستعمل الرمز (×) للدلالة عليها، ويسمى العدد الناتج عن عددين بالجداء. جداء العدد 4 في 3 هو 12.

- عملية القسمة ونستعمل الرمز (÷) للدلالة عليها، ويسمى العدد الناتج عن عددين بالخارج. خارج 12 على 3 هو 4.

إضافة إلى ذلك، توجد عمليات أخرى كالأس والجدر المربع...

ثانيا: اتجاه إنجاز العمليات

✹تتميز كل من عملتي الجمع والضرب بخاصيتي التبادلية والتجميعية:

←التبادلية أي قابلية تبديل موضع طرفي العملية دون تغيير في النتيجة. مثال: 3+4 = 4+3 و 2×4=4×2

← التجميعية أي أن نتيجة العملية لن تتغير بتغير ترتيب الأعداد أو طريقة الإنجاز. مثال:

4+2+8=(2+8)+4=8+(4+2) و 5×3×2=(5×3)×2=5×(3×2)

👈 لذا فإن إنجاز عملية الجمع أو عملية الضرب لا يحتاج إلى تحديد اتجاه العملية هل من اليمين إلى السيار أم من اليسار إلى اليمين فالنتيجة تكون واحدة في الاتجاهين.

✹ أما فيما يتعلق بعمليتي الطرح والقسمة فإن اتجاه إنجاز العملية هنا ضروري وهو كالآتي:

← من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية، مثال: ← 7-3=4

← من اليسار إلى اليمين في اللغة اللاتينية (الفرنسية والإنجليزية وغيرهما...)، مثال: 4=3-7→

👈 لكن في بعض الدول العربية كالمملكة المغربية مثلا، رغم أن الرياضيات تدرس باللغة العربية في بعض المؤسسات التعليمية، إلا أن العمليات في الرياضيات تنجز من اليسار إلى اليمين على غرار اللغة اللاتينية، لذا في كافة هذه المقالة نتفق معا على أن ترتيب إنجاز العمليات يتم من اليسار إلى اليمين على غرار اللغة اللاتينية (الفرنسية والإنجليزية وغيرهما...).

ثالثا: قواعد ترتيب العمليات الحسابية

✹ كما أشرنا إلى ذلك فترتيب العمليات الحسابية هي تلك القواعد الأساسية التي يجب اتباعها لتحديد الأولويات عند القيام بأكثر من عملية حسابية في مسألة واحدة أي معرفة العمليات التي تنجز أولا وقبل الأخرى، هذه القواعد تم الاتفاق عليها عالميا والغاية منها هو الحصول على نتيجة صحيحة وموحدة، حتى لا تختلف النتائج المتوصل إليها في عملية حسابية واحدة.

✹ وسنقوم في هذا المقال بتسهيل هذه القواعد بدءا من السهل إلى الصعب ومن البسيط إلى المركب، حتى يستفيد الجميع.

✪ العمليات الحسابية ذات عملية واحدة

👈 نقصد بها هنا، العمليات الحسابية التي تتضمن عملية واحدة، إما الجمع فقط، أو الضرب فقط، أو الطرح فقط، أو القسمة فقط

العملية الحسابية التي تتضمن الجمع فقط

👈 لحساب عملية حسابية تتضمن الجمع فقط، يمكن البدء من أية جهة (اليسرى، اليمنى، الوسط) لأن وكما أشرنا إلى ذلك، عملية الجمع عملية تبادلية وتجميعية. مثال:

👈 وغالبا ما نختار في البداية العمليات السهل إنجازها ذهنيا أي الأعداد المكملة إلى مضاعفات العدد 10. وفي المثال السابق أسهل عملية وأسرعها هي الأولى.

العملية الحسابية التي تتضمن الضرب فقط

👈 الذي يتعلق بالجمع يتعلق هنا بالضرب، يعني أنه يمكن البدء من أية جهة ومن أي عدد، عند إنجاز عملية حسابية تتضمن الضرب فقط، لأن عملية الضرب بدورها عملية تبادلية تجميعية. مثال:

العملية الحسابية التي تتضمن الفرق فقط

👈 لإنجاز الفرق في عملية حسابية تتضمن أكثر من حدين، يجب البدء من جهة اليسار بالترتيب أو بدونه، بالترتيب كما يبين المثال الأول، أو بدونه كما يبين المثال الثاني:

👈 الفرق بين الطرح والجمع هو اتجاه أنجاز العملية. أي أن الطرح لا ينجز إلا عند البدء من جهة واحدة (الحد الموجود على اليسار)، أما الجمع فيمكن البدء من أي حد.

👈 كما يمكن اعتماد طريقة تحويل الطرح إلى الجمع، كما في المثال:

العملية الحسابية التي تتضمن القسمة فقط

👈 ونفس الشيء يتعلق أيضا لإنجاز القسمة في عملية حسابية تتضمن أكثر من حدين، أي البدء من جهة اليسار بالترتيب (مثال1) أو بدونه (مثال2)

👈 الفرق بين القسمة والضرب هو اتجاه إنجاز العملية. عند الضرب يمكن البدء من أي حد، وعند القسمة فلا يجب البدء إلا من جهة اليسار.

👈 كما يمكن اعتماد طريقة تحويل القسمة إلى الضرب، كما في المثال:

✪العمليات الحسابية ذات عمليتين مختلفتين

👈 نقصد بها العمليات الحسابية التي تتضمن عمليتين: إما الجمع والطرح، أو الجمع والضرب، أو الطرح والقسمة ...

العملية الحسابية التي تتضمن الجمع والطرح

👈 لإنجاز عملية الجمع مع الطرح في عملية حسابية تتضمن أكثر من حدين ولاجتناب الوقوع في الخطأ يجب البدء من جهة اليسار وإنجاز العملية الأولى واحدة تلو الأخرى.

👈 لكن، وفي مستوى أعلى، يمكن تغيير الحدود شرط الحفاظ على نفس الإشارة المرافقة للعدد، وهذه الطريقة نستعملها لتجميع الأعداد الموجبة جنبا إلى جنب والأعداد السالبة جنبا إلى جنب.

العمليات الحسابية التي تتضمن الضرب والقسمة

👈 لإنجاز عملية الضرب مع القسمة في عملية حسابية تتضمن أكثر من حدين ولاجتناب الوقوع في الخطأ يجب البدء من جهة اليسار وإنجاز العملية الأولى واحدة تلو الأخرى.

👈 لكن، وفي مستوى أعلى، يمكن تغيير مكان العدد شرط الحفاظ على الإشارة المرافقة له، وهذه الطريقة نستعملها لتسهيل إنجاز العملية.

العمليات الحسابية التي تتضمن الجمع والضرب أو الطرح والضرب

👈 لإنجاز عملية الجمع مع الضرب أو الطرح مع الضرب في عملية حسابية تتضمن أكثر من حدين، يجب أولا إنجاز عملية الضرب ثم الطرح أو الجمع ولو كان الضرب في الوسط أو من جهة اليمين. ولتفادي الوقوع في الخطأ، يمكن اعتبار ضرب عددين كعدد واحد.

العمليات التي تتضمن الجمع والقسمة او الطرح والقسمة

👈 يتم إنجاز مثل هذه العمليات الحسابية بنفس طريقة الضرب، أي أنه من الضروري إنجاز القسمة أولا ثم الجمع أو الطرح، أينما وجدت القسمة.

✪ العمليات الحسابية ذات أكثر من عمليتين مختلفتين

👈 نقصد بها العمليات الحسابية التي تتضمن أكثر من عمليتين: إما الجمع والطرح والضرب، أو الجمع والضرب والطرح والقسمة...

👈 لإنجاز مثل هذه العمليات الحسابية نتبع الخطوتين التاليتين:

↤ ننجز أولا عمليتي الضرب والقسمة أينما وجدتا في اليسار أو في اليمين أو في الوسط، وإذا كان هناك أكثر من عملية ضرب أو قسمة بشكل متتال يتم تطبيق الطريقة التي رأيناها في حالة العمليتين الحسابيتين ذات عملية واحدة أو عمليتين مختلفتين فيما يخص الضرب والقسمة.

↤ ثم بعد ذلك ننجز عمليتي الجمع أو الطرح بالطريقة التي رأيناها في الحالة التي توجد في العملية الحسابية الطرح والجمع معا، أو الطرح فقط، أو الجمع فقط.

✪ العمليات الحسابية بالأقواس

👈 تبقى كل القواعد السالفة الذكر غير صالحة في حالة وجود أقواس في العملية الحسابية. فما العمل إذن في هذه الحالة؟

👈 لإنجاز عملية حسابية تتضمن أقواس نعطي الأسبقية أولا لما هو بين قوسين من نفس النوع ()،[ ]،{} بدءا بما يوجد في داخلهما ثم الذي يليه حتى تصبح العملية بدون أقواس ثم نطبق من جديد ما تعلمناه في الحالات السابقة.

✪ العمليات الحسابية الأخرى

👈 توجد عمليات حسابية أخرى غير التي تم التطرق إليها مسبقا وهي الأس والجدر.

👈 فعند إنجاز أي عملية حسابية تحتوي على الأس أو الجدر، تعطى الأولوية بطبيعة الحال لهما، ثم تنجز العمليات الأخرى المرافقة لها بتطبيق نفس القواعد السابقة.

👈 إذا تمت الإشارة إلى الأس بواسطة إحدى العمليات السابقة أو خليط منها. ننجز أولا تلك العمليات باحترام قواعد الأولوية التي تم التطرق إليها ثم نرفع الأس إلى المجموع المحصل عليه.

خــــلاصــــة

إلى هنا نكون قد تناولنا أولويات ترتيب العمليات الحِسابية المُختلفة، وأهميتها في حلّ المسائل الرياضية التي تتكون من أكثر من عملية حِسابية، وخلاصة أولويات العمليات الحسابية بالترتيب هي كما يلي:

الأقواس ← الأس الجدر← الضرب القسمة← الجمع الطرح

تــــداريـــــب

-احسب ثم قارن (يمكن النقر على الصورة لتكبيرها)