المجموعات في الرياضيات

 نظرية المجموعات في الرياضيات، مجموعة الأعداد في الرياضيات، العمليات على المجموعات، أنواع المجموعات في الرياضيات،مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية، مجموعة الأعداد العشرية النسبية، مجموعة الأعداد الجدرية، مجموعة الأعداد الحقيقية، مجموعة الأعداد العقدية

خلال العقدين السادس والسابع من القرن العشرين، أدرك علماء الرياضيات وخبراء التعليم أهمية المفاهيم المضمَّنة في نظرية المجموعات، في مساعدة طلاب التعليم العام على فهم أساسيات الحساب والرياضيات، فأصبحت مبادئ نظرية المجموعات جزءًا أساسيًاً مما يُسمَّى الرياضيات الحديثة. فباستخدام المجموعات يمكن للطلاب أن يستوعبوا مفاهيم أساسية مثل العدد والرقم، كما يمكنهم أيضاً توظيف المجموعات في المسائل المنطقية.    

أعزائي المتابعين، مرحبا بكم من جديد، اليوم نتحدث عن المجموعات في الرياضيات، سنتطرق فيه إلى المواضيع التالية:

❉- تعريف المجموعة

❉- المجموعة في الرياضيات

❉- أنواع المجموعات

❉- العمليات على المجموعات

❉- مجموعات الأعداد 

 أولا: تعريف المجموعة

المجموعة هي تجمع من أشخاص أو أشياء سواء كانت مجردة أو محسوسة والتي تُصنف معًا لكونها تشترك في نفس الخصائص، وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. أمثلة:

👈 فصل دراسي، يحتوي على مجموعة من الطلاب الذين لهم نفس المستوى الدراسي ونفس الفئة العمرية. 

👈 مجموعة الكواكب الشمسية، هي مجموعة تضم الكواكب التي تدور حول الشمس. ويوجد طبعا في الكون كواكب أخرى لا تنتمي إلى المجموعة الشمسية.

👈 مجموعة الدول العربية، هي مجموعة الدول التي لغتها الرسمية هي اللغة العربية. وهناك في العالم دول لا تتحدث باللغة العربية فهي لا تدخل ضمن هذه المجموعة.

👈 مجموعة الأدوات المدرسية، وهي جميع الأدوات المستعملة في المدرسة، وتوجد أدوات أخرى كثيرة لا تدخل ضمن هذه المجموعة.

👈 مجموعة قواعد لعبة معينة، فلكل لعبة من الألعاب الرياضية قوانين خاصة بها. 

👈 المجموعة القصصية

👈...

ثانيا: المجموعات في الرياضيات

✹ تعد نظرية المجموعات فرعا من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات، وإحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة، لأنها تعتبر المنطلق الأساسي لفهم وإدراك مفاهيم أخرى واستخلاص القواعد وحل مسائل في الرياضيات.

فالمجموعة في الرياضيات كل تجمع أو تكتل من الأشياء الحسية أو المعنوية التي يمكن تميزها عن غيرها بمعيار دقيق وقاطع متفق عليه، وعادة ما نرمز للمجموعات عند تسميتها باستعمال حروف لاتينية كبيرة مثل A,N,Z,R ... بينما نرمز للأشياء التي تتألف منها المجموعة والتي تسمى بعناصر المجموعة بحروف صغيرة مثلx,y,a,c... وعادة ما تكتب هذه العناصر بين قوسين من النوع {} وتوضع فواصل بينها، وتكون العلاقة بين العنصر والمجموعة إما بالانتماء (∋) أو غير الانتماء (∌). أمثلة: 

👈 مجموعة الأعداد الصحيحة المحصورة بين 10 و20:   {11 ;12 ;13 ;14 ;15 ;16 ;17 ;18 ;19}

  ← العنصر 15 ينتمي إلى هذه المجموعة، والعنصر 30 لا ينتمي إلى هذه المجموعة

👈  مجموعة المثلثات ⦃مثلث قائم الزاوية، مثلث متساوي الأضلاع، مثلث متساوي الساقين، مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية، مثلث مختلف الأضلاع⦄

← المربع لا ينتمي إلى هذه المجموعة.

👈 مجموعة الأشهر الميلادية ⦃ يناير، فبراير، مارس، أبريل، ماي، يونيو، يوليوز، غشت، شتنبر، أكتوبر، نونبر، دجنبر⦄

← (رجب) هو شهر لكنه لا ينتمي إلى هذه المجموعة.

✹ تم توظيف المجموعات في الرياضيات منذ مستويات التعليم الابتدائي، وفيما يلي نقترح عليكم بعض الوضعيات التي تعتمد على مفهوم المجموعة في الرياضيات: 

1- تصنيف الأشياء وتجميعها وفرزها حسب خصائص معينة كالطول أو اللون أو الحجم أو الشكل، وللقيام بذلك يحتاج المتعلم إلى القدرة على الاستكشاف والمقارنة، الاستكشاف لاستحضار جميع المعلومات وفحص الأشياء من مختلف الجوانب، والمقارنة لتحديد ما هو مشترك ومتشابه بين عنصرين أو عناصر وما هو مختلف بينها. من هنا يكتشف المتعلم مفهوم المجموعة والدور الذي تلعبه لتصنيف الأشياء باعتبار خاصية معينة.

2- التواصل حد بحد، وهي أداة للمقارنة بين المجموعات، حيث تسمح للمتعلم بمقارنة المجموعات التي لا يعرفون تعداد عناصرها، لذا تعتبر تقنية التواصل حد بحد أداة فعالة لبناء مفهوم العدد من خلال مقارنة المجموعات وإنشاء مجموعات متقادرة، فعندما يكون عدد عناصر المجموعات قليلا  (أقل من 10) فإنه يعتمد في مقارنتها على الإدراك البصري أو التعداد، وعندما يكون عددها كثيرا فإنه يلجأ لمقارنتها إلى تقنية  تجزيء كل مجموعة إلى أجزاء صغرى (مجموعات صغيرة) متقادرة، وتعتبر هذه التقنية منطلقا لبناء مفهوم العد (نظمة العد العشري).

3- تصنيف المجسمات من خلال تحديد الخصائص المشتركة وغير المشتركة بين المجسمات ومن بين هذه الخصائص:

   مجسمات قابلة للتدحرج، مجسمات قابلة للانزلاق، عدد الوجوه وعدد الأحرف وعدد الرؤوس ...

4- تصنيف الأشكال الهندسية من خلال البحث عن خصائص كل شكل وما يتميز به:

    المثلثات، الرباعيات، الخماسيات...- الرباعيات العادية، أسرة متوازي الأضلاع، شبه المنحرف - المربع، المستطيل، المعين، متوازي الأضلاع - المضلعات المنتظمة - المضلعات وغير المضلعات ...

5- المضاعفات والقواسم، ويعتبر هذا الدرس منطلقا لإدراك مفهوم المجموعة المنتهية والمجموعة غير المنتهية لدى المتعلم عندما يعرف أن مضاعفات عدد لا يمكن تعدادها في حين أن القواسم محدودة ويمكن كتابتها كلها.  كما يعتبر، من جهة أخرى، منطلقا لإدراك مفهوم تقاطع مجموعتين من خلال تحديد المضاعفات المشتركة أو القواسم المشتركة لعددين أو أكثر.

6- التعامل مع الأعداد (كتابة، قراءة، تمثيلا، العمليات الأربع...)، من خلال هذه الدروس يتعرف المتعلم على أن التعامل مع كل نوع من الأعداد يختلف من نوع إلى آخر، فطريقة تمثيل الأعداد الصحيحة ليست هي طريقة تمثيل الأعداد العشرية، وطريقة إنجاز عملية الضرب في الأعداد العشرية ليست تلك المستعملة في الأعداد الكسرية، كما أن طرح عدد كبير من عدد صغير غير ممكن في الأعداد الطبيعية لكنه ممكن في الأعداد النسبية وهكذا... من خلال كل هذه الخصائص يدرك المتعلم أن كل عدد له مكان خاص في مجموعته تختلف من مجموعة إلى أخرى من حيث ما تتميز بها عند التعامل معها كتابة أو تمثيلا أو قراءة أو إنجاز العمليات عليها. وهذا منطلق للتعريف بمجموعات الأعداد.

ثالثا: أنواع المجموعات

 عند التعامل مع المجموعات لابد من مقارنة عناصرها، فهي إذن تختلف حسب العناصر التي تتكون منها.

 ✹ فيمكن إذن تقسيم المجموعات باعتبار عدد العناصر المكونة لها إلى أربعة أنواع:

- إذا كانت المجموعة تتكون من عناصر لا نهاية لها، نقول إنها مجموعة غير منتهية، مثال:

👈 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ← {0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11 …}

👈 مضاعفات العدد 6 ← {0 ;6 ;12 ;18.24 ;30 ;36 ;42 ;48 ;54 ;60 ;66 ;72…}  

- إذا كانت المجموعة تتكون من عناصر محدودة، نقول إنها مجموعة منتهية، مثل:

👈 مجموعة الأعداد الصحيحة المحصورة بين 10 و20 ← {11 ;12 ;13 ;14 ;15 ;16 ;17 ;18 ;19} 

👈 قواسم العدد 18 ←{1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18} 

- إذا كانت المجموعة لا تتكون من أي عنصر، نقول إنها مجموعة فارغة ونرمز لها بالرمز Ø أو {}، مثال:

👈 مجموعة الأعداد الصحيحة المحصورة بين العددين 4 و5 ← هي مجموعة فارغة لأنه لا توجد أعداد صحيحة بين العددين 4 و5.

- وإذا كانت المجموعة تتكون من عنصر واحد، فنقول إن المجموعة أحادية أو وحيدة العنصر، مثال:

👈 مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على 6 والمحصورة بين 15 و23 ← {18} 

✹ ويمكن تقسيم المجموعات باعتبار مقارنة عناصر مجموعتين أو أكثر إلى:

- فإذا كان عدد عناصر مجموعتين متساويا نقول إن المجموعتين متكافئتان، مثال: 

👈 مجموعة قواسم العدد 12 ← {1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12}

👈 مجموعة قواسم العدد 18 ← {1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18}

↤ نلاحظ أن عدد عناصر كل مجموعة متساويا (6 عناصر في كل مجموعة)، فنقول إن المجموعتين السابقتين متكافئتان.

- وإذا كان لمجموعتين أو أكثر نفس العناصر بالترتيب أو بدونه، فنقول إن المجموعتين متساويتان، مثال:

👈 مجموعة مضاعفات العدد 2 المحصورة بين 10 و20 ←{12 ;14 ;16.18}

👈 مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 10 و20 ←{12 ;14 ;16 ;18}

↤ نلاحظ أن كلتي المجموعتين تحتويان على نفس العناصر، نقول أن المجموعتين متساويتان.

- وإذا كانت عناصر مجموعة صغيرة ضمن عناصر مجموعة أخرى كبيرة، نقول أن المجموعة الصغيرة جزئية من المجموعة الكبيرة. مثال:

👈 مجموعة قواسم العدد 18 ← {1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18}

👈 مجموعة قواسم العدد 36  ← {1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 ;12 ;18 ;36}

↤ نلاحظ أن عناصر المجموعة الأولى (قواسم العدد 18) توجد ضمن عناصر المجموعة الثانية (قواسم العدد 36)، نقول إن المجموعة الأولى مجموعة جزئية للمجموعة الثانية.

- وإذا كان في مجموعتين بعض العناصر المشتركة  بينهما، نقول إن المجموعتين متداخلتان، مثال:

👈 مجموعة مضاعفات العدد 2 الأقل من 20 ←{0 ;2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;14 ;16 ;18}

👈 مجموعة مضاعفات العدد 3 الأقل من 20 ← {0 ;3 ;6 ;9 ;12 ;15 ;18}

↤ نلاحظ أن هناك بعض العناصر المشتركة بين المجموعتين {0 ;6 ;12 ;18}، فنقول إن المجموعتين متداخلتان.

- والعكس تماما، أي إذا لم يكن بين مجموعتين أي عنصر مشترك بينهما، نقول إن المجموعتين منفصلتان، مثال:

👈 مجموعة الأعداد الزوجية← {0 ;2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;14 ;16 ;18 ;20 ;22 …}

👈 مجموعة الأعداد الفردية ← {1 ;3 ;5 ;7 ;9 ;11 ;13 ;15 ;17 ;19 ;21…}

↤ نلاحظ أنه لا يوجد أي عنصر مشترك بين المجموعتين، نقول إن المجموعتين منفصلتان.

رابعا: العمليات على المجموعات

كما يمكن إجراء عمليات على الأعداد فإنه من الممكن ايضا إجراء العمليات على المجموعات، لكن الأمر يختلف قليلا هنا. وهذه العمليات هي:

✹ التضمن

نقول إن مجموعة ضمن مجموعة أخرى إذا كان كل عناصر المجموعة الأولى توجد في المجموعة الثانية، وبعبارة أخرى إذا كانت المجموعة الأولى مجموعة جزئية للمجموعة الثانية، ونرمز للتضمن بالرمز ⊃، مثال:

👈 A مجموعة قواسم العدد 18 ← A={1 ;2 ;3 ;6 ;9 ;18}

👈 B مجموعة قواسم العدد 36  ← B={1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 ;12 ;18 ;36}

↤ نلاحظ أن عناصر المجموعة A توجد كلها في عناصر المجموعة B ، نقول إن A ضمن B  ونكتب A⊂B 

✹التقاطع 

تقاطع مجموعتين هو العناصر المشتركة بينهما (تنتمي إلى المجموعتين معا)، أي أن المجموعتين متداخلتان، ونرمز للتقاطع بالرمز ∩. مثال:  

👈 A مجموعة مضاعفات العدد 2 الأقل من 20 ←{0 ;2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;14 ;16 ;18}

👈 B مجموعة مضاعفات العدد 3 الأقل من 20 ← {0 ;3 ;6 ;9 ;12 ;15 ;18}

↤ نلاحظ أن هناك بعض العناصر المشتركة بين المجموعتين، فنكتب إذن: A∩B={0 ;6 ;12 ;18}، 

✹الاتحاد

اتحاد مجموعتين هو مجموع العناصر المكونة للمجموعتين(مجموع العناصر التي تنتمي إلى المجموعتين)، ونرمز للاتحاد ب الرمز ⋃. مثال:

👈 A مجموعة الأعداد الزوجية← {0 ;2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;14 ;16 ;18 ;20 ;22 …}

👈 B مجموعة الأعداد الفردية ← {1 ;3 ;5 ;7 ;9 ;11 ;13 ;15 ;17 ;19 ;21…}

↤ اتحاد المجموعتين A  و B هو جميع الأعداد المكونة للمجموعتين معا( الاعداد الزوجية والأعداد الفردية)، ويعني هنا مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية

A⋃B={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11 ;12 ;13 ;14 ;15 ;16 ;17 ;18 ;19 ;20 ;21 ;22 ;23 …}

✹الفرق

فرق مجموعتين هي العناصر التي توجد في المجموعة الأولى ولا توجد في المجموعة الثانية، ونرمز للفرق بالرمز – أو /، مثال:

👈 A مجموعة مضاعفات العدد 2 الأقل من 20 ←{0 ;2 ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ;14 ;16 ;18}

👈 B مجموعة مضاعفات العدد 3 الأقل من 20 ← {0 ;3 ;6 ;9 ;12 ;15 ;18}

↤ الفرق A-B هي العناصر الموجودة في A ولا توجد في B، فنكتب: A-B={2 ;4 ;8 ;10 ;14 ;16}

الفرق B-A هي العناصر الموجودة في B ولا توجد في A، فنكتب: B-A={3 ;9 ;15 }

خامسا: مجموعة الأعداد 

وكما أشرنا إلى ذلك فالأعداد بدورها تختلف من نوع إلى آخر حسب استعمالات العدد وحسب العمليات المنجزة باستعمال ذلك العدد، لذا تم تقسيم الأعداد إلى مجموعات كل مجموعة لها خصائصها الخاصة بها، وكل مجموعة كبرى تتضمن المجموعة الصغرى.

✹مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية،

↤ هي أصغر المجموعات العددية، تتضمن أعداد طبيعية التي نستعملها كثيرا في حياتنا اليومية لتعداد أشياء دون تجزيئها. مثال:

 👈 عدد سكان منطقة ما، عدد الأشجار المزروعة، عدد السيارات المصنوعة...

ويعتبر الصفر (0)، أصغر هذه العناصر، أما عدد عناصرها فهو غير محدد، أي أنها مجموعة غير منتهية ونرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية بالحرف 𝙉.

N={0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 ;11 ;12 ;13 ;14 ;15…}

↤ ويمكن تمثيل الاعداد الصحيحة الطبيعية على المستقيم المدرج بهذا الشكل: 

(يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية من هنا)

✹مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية،

↤ تتضمن هذه المجموعة الأعداد التي تحدد بالنسبة للعدد 0، لذلك تسمى نسبية، فإذا كانت أكبر من الصفر فهي أعداد نسبية موجبة، وإذا كانت أصغر من الصفر فهي أعداد نسبية سالبة. فهي أيضا أعداد صحيحة أي لا تقبل التجزيء، ونستعمل هذه في بعض الحالات من حياتنا اليومية، وكمثال على ذلك: 

👈 حساب درجات الحرارة: عندما تكون الحرارة فوق الصفر نستعمل الأعداد الموجبة ونرمز لها بإضافة الرمز (+) أو بدونه، وعندما تكون الحرارة تحت الصفر نستعمل الأعداد السالبة ونرمز لها بإضافة الرمز (-). 

يقع الصفر (0) في هذه المجموعة في الوسط، أي أنه يفصل بين الأعداد الموجبة والأعداد السالبة، وهي أضا مجموعة غير منتهية ونرمز لمجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالحرف 𝙕.

ويمكن تمثيل الأعداد الصحيحة النسبية على المستقيم المدرج بهذا الشكل: 

وتعتبر الأعداد الصحيحة الطبيعية هي نفسها الأعداد الصحيحة الموجبة، أي أن مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية تتضمن إلى جانب الأعداد الصحيحة الطبيعة أعدادا سالبة، فنقول إذن أن مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ضمن مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ونكتب :N⊂Z

✹ مجموعة الأعداد العشرية النسبية

↤ هي المجموعة التي تتضمن أعدادا عشرية وهي الأعداد التي نستعملها عندما نقوم بتجزيء العدد الصحيح إلى وحدات صغيرة تسمى أعشارا، ويمكن تجزيء العشر إلى وحدات أصغر تسمى أجزاء المائة، كما يمكن تجزيء هذا الأخير إلى وحدات أصغر تسمى أجزاء الآلاف وهكذا ... إلى ما لا نهاية له. ونستعملها كثيرا في حياتنا اليومية، وكمثال على ذلك:

👈 طول قطعة خشبية أكبر من مترين وأصغر من ثلاثة أمتار، فللبحث عن الطول المضبوط نستعمل العدد العشري، فنقول أن طولها مثلا 2,4m.

↤ والعدد العشري هو كل عدد يمكن كتابته على الشكل: (يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية من هنا) 

↤ كما تتضمن مجموعة الأعداد العشرية النسبية أعدادا موجبة وأعدادا سالبة يتوسطها العدد (0)، ونرمز لمجموعة الأعداد العشرية النسبية بالرمز 𝘿

↤ وكل عدد صحيح نسبي يمكن كتابته على شكل عدد عشري بإضافة الفاصلة والأصفار،(صورة)

 ↤ لذا فجميع الأعداد الصحيحة النسبية توجد ضمن مجموعة الأعداد العشرية النسبية، فنكتب: N⊂Z⊂D

↤ ويمكن تمثيل الأعداد الصحيحة العشرية على المستقيم المدرج بهذا الشكل: 

✹مجموعة الأعداد الجدرية 

↤ هي مجموعة تتضمن إضافة إلى جميع الأعداد السابقة الذكر (الأعداد الصحيحة الطبيعية، الأعداد الصحيحة النسبية، الأعداد العشرية النسبية) أعدادا لا يمكن تحديد مكانها المضبوط على المستقيم المدرج، أي أنها تتضمن فاصلة لكن الأعداد بعد الفاصلة غير منتهية، مثال: 

↤ بدورها هذه المجموعة تتضمن أعدادا موجبة وأعدادا سالبة يتوسطها العدد (0)، الأعداد الموجبة منها هي ما يطلق عليها الأعداد الكسرية ويمكن الرجوع إلى درس الأعداد الكسرية للمزيد من التوضيحات من هنا.

↤ فالعدد الجدري إذن هو كل عدد يمكن كتابته على الشكل:

↤ ويرمز لمجموعة الأعداد الجدرية بالحرف 𝙌

↤ كل عدد صحيح يمكن كتابته على شكل عدد جدري وكل عدد عشري يمكن كتابته على شكل عدد جدري 

↤ فالأعداد الجدرية تتضمن إذن الأعداد الصحية والأعداد العشرية، فنكتب: N⊂Z⊂D⊂Q

✹مجموعة الأعداد الحقيقية

↤ كما رأينا في مجموعة الأعداد الجدرية، فجميع أعداد هذه المجموعة يمكن كتابتها على الشكل الشكل a/b  حيث  aعدد نسبي وb عدد نسبي غير منعدم. 

↤ فالأعداد التي لا يمكن كتابتها على ذلك الشكل ، لا تعتبر أعدادا جدرية، تسمى أعدادا لاجدرية، وكأمثلة  لهذه الأعداد: 2√ ، 7√- ، العدد π ، ∛14 ، -3√2 ...

↤ فالأعداد الجدرية والأعداد اللاجدرية تشكل معا مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الحقيقية، ونرمز لها بالحرف 𝑹، ونكتب: N⊂Z⊂D⊂Q⊂R

✹مجموعة الأعداد العقدية (أو المركبة)

↤ الاعداد العقدية او الاعداد المركبة هي الأعداد التي تحمل الصيغة الرياضية a+ib؛ حيث أنّ a وb، عددان حقيقيّان، وقيمة i هي جذر العدد 1-، وهي عبارةٌ عن رقمٍ وهميٍّ، وبذلك يقسم العدد المركب إلى جزأين: الجزء الحقيقي a، والجزء التخيّلي ib. ونرمز لمجموعة الأعداد العقدية أو المركبة بالرمز 𝑪.

↤ الأرقام الحقيقية هي جميع الأرقام الموجودة، والتي تجمعها مجموعة الأعداد الحقيقية، سواء منها السالبة أو الموجبة، والكسرية أو الصحيحة، والجذر أو الصفر. مثلًا نجد الأرقام 15، 30-، 5/4، 0، جميعها أعداد حقيقية، أمّا الرقم الوهمي (التخيّلي) فهو عبارةٌ عن رقمٍ غير حقيقيٍّ، وهو الرقم الذي يكون ناتج رفعه للأس 2 عددًا سالبًا. وبالتالي فمجموعة الأعداد العقدية تتضمن بدورها الأعداد الحقيقية، فنكتب: N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C

↤ تستخدم الاعداد المركبة في الكثير من المجالات خاصة تلك المرتبطة بتوضيح وتمثيل الحركات الدورية كما هو الحال في التيار المتناوب والأمواج الضوئية، والأمواج المائية، وغيرها، كما أنّ هناك مجموعةً من الصيغ الرياضية التي تعمل على حل المشكلات العلمية اعتمادًا على الأعداد المركبة.  وسنتطرق بالتفصيل إلى الأعداد العقدية مستقبلا (تاريخها واكتشافها، استعمالاتها، طريقة التعامل معها، والعمليات عليها ...)

✹خلاصة

يمكن تلخيص مجموعات الأعداد باستعمال الخطاطة التالية: 

خـــاتـــمـــة

إلى هنا نكون قد أنهينا موضوع المجموعات في الرياضيات، نتمنى أن نكون قد تحدثنا على جميع الجوانب الخاصة بها ولو باختصار، كما نتمنى أن تكونوا قد استوعبتم مفهوم المجموعات في الرياضيات، وإلا فنحن في انتظار أن ترسلوا إلينا ما لم تمكنوا من فهمه واستيعابه بعد، وسنقوم بحول الله بإضافة فيديو نشرح فيه ذلك. كما لا تنسوا أن تقوموا بنشر هذا المحتوى إذا أعجبكم.

المراجع المعتمدة

https://ar.wikipedia.org

https://coursee.org

https://engmohannadb.github.io

https://www.arageek.com

https://www.marefa.org