تطبيقات التناسبية: سلم التصاميم والخرائط

 حساب السلم، حساب المسافة الحقيقية، حساب المسافة على الخريطة، معامل التناسب، مقام السلم، المسافة على التصميم، المسافة في الواقع،

متتبعي ومتتبعات زوار وزائرات موقع رياضياتي، مرحبا بكم من جديد، درس اليوم حول التناسبية وتطبيقاتها.

قمنا بتقسيم هذا الدرس إلى 6 أجزاء على الشكل التالي:

الجزء الأول: التناسبية: تقريب المفاهيم، تمثيلات وتطبيقات

الجزء الثاني: تطبيقات التناسبية: النسبة المئوية

الجزء الثالث: تطبيقات التناسبية: سلم التصاميم والخرائط

الجزء الرابع: تطبيقات التناسبية: السرعة المتوسطة

الجزء الخامس: تطبيقات التناسبية: الرأسمال وسعر الفائدة

الجزء السادس: تطبيقات التنايبية: الكتلة الحجمية

يمكن الولوج إلى أي جزء بالنقر عليه

الجزء الثالث ⇐ تطبيقات التناسبية: سلم التصاميم والخرائط

👈 كلنا نعرف أنه من المستحيل تمثيل خريطة دولة أو تصميم لمدينة أو حتى تصميم لمنزل على ورقة بأبعادها الحقيقية، 

👈 تصور لو أردنا ذلك وقمنا برسم تصميم بالأبعاد الحقيقية لمدينة كبيرة كمدينة باريس الفرنسية مثلا التي تقدر مساحتها تقريبا بـ 105km² باستعمال أوراق من فئة  A4  التي مساحتها 623,7cm² ، ما هو عدد الأوراق التي سنحتاج إليها؟ سنقوم بقسمة مساحة المدينة على مساحة الورقة بعد القيام بتحويل القياسات إلى نفس الوحدة:

105km² = 1050000000000 cm²

← إذن عدد الأوراق التي سأحتاج إليها هي:  1683501683= 623,7 ÷ 1050000000000 

👈 لذلك، هنا نستعمل ما يسمى بسلم التصاميم أو الخرائط، وهو عبارة عن مقياس نستعمله لتصغير أبعاد هذه التصاميم او الخرائط وتمثيلها على ورقة واحدة، ويرافق هذا المقياس دائما أي تصميم أو خريطة كي يتمكن مستعمل التصميم أو الخريطة من معرفة المسافة الحقيقية انطلاقا من التصميم أو الخريطة فقط، وكأمثلة لذلك: 

مثال 1: عند استعمالك لخرائط جوجل على حاسوبك أو هاتفك، تجد في الأسفل السلم الذي مثلث به هذه الخريطة، وتلاحظ أن هذا السلم تتغير قيمته كلما قمت بتكبير الخريطة أو تصغيرها 

مثال2: جميع الخرائط التي نستعملها في المدرسة في مادة الجغرافيا، أو في حياتنا عند السفر مثلا، تحتوي على سلم، هذا السلم يساعدنا على معرفة الأبعاد الحقيقية داخل هذه الخريطة، وكثيرا ما نجد اختلاف سلم الخرائط رغم كون موضوعها واحد، لأن السلم يتغير حسب حجم الخريطة.. 

مثال 3: نعرف أن المهندس يقوم بوضع تصميم لما نريد بناءه على الورقة قبل الشروع في البناء، بعد ذلك يعطي ما تم تصميمه للبنائين كي يحولوه من تصميم على الورقة إلى بناء حقيقي، فيا ترى كيف يعرف البناؤون أبعاد البناية التي يطلب منهم إنشاؤها؟ طبع بالاعتماد على السلم الذي وضعه المهندس على تصميمه. 

👈ما علاقة سلم التصاميم والخرائط بدرس التناسبية؟

أشرنا قبل قليل إلى أن  سلم الخريطة يتغير حسب حجم الخريطة، وأيضا لمعرفة الأبعاد الحقيقة داخل نفس الخريطة نعتمد على قواعد التناسبية، نقول إذن أن المسافات على التصميم أو الخريطة متناسبة مع المسافات الحقيقية، ولفهم ذلك نأخذ المثال التالي:

↤أولا قبل أن نجيب عن السؤال، يجب أن نقوم بتحليل للمعطيات، الجديد هنا هو السلم 1/1000، ما ذا يعني؟

↤ يعني أن كل 1cm على الورقة (التصميم) يقابله 1000cm  في الةاقع 

↤ وهذا يعني أيضا أن 2cm على الورقة (التصميم) يوافق 2000cm في الواقع، وأن كل 3cm توافق 3000cm وهكذا...

  👈 لذا سأستعمل جدول التناسبية التالي كي أجيب عن السؤال المطروح:

👈هل يمكننا الإجابة عن هاذين السؤالين بطريقة مباشرة دون استعمال جدول التناسبية؟ 

نعم، يمكن ذلك أيضا، فلو تمعنا جيدا في طريقة الجواب لاستخرجنا منها قاعدة يمكن اعتمادها دائما في مثل هذه التمارين، 

↤ نستنج من هنا إذن، أن لحساب المسافة الحقيقية نضرب المسافة على الخريطة في مقام السلم

المسافة الحقيقية = المسافة على الخريطة × مقام السلم

↤ كما نستنج بقية القواعد التي نستعملها حسب نوع السؤال المطروح المرتبط بسلم التصاميم والخرائط:

 👈 فإذا طلب منا حساب المسافة الحقيقية كما في المثال السابق، نطبق القاعدة الأولى

 👈 وإذا طلب منا تحديد المسافة على الورقة أو التصميم، نطبق القاعدة الثانية

 👈 أما إذا طلب منا تحديد السلم الذي تم استعماله لتمثيل تصميم معين، نطبق القاعدة الثالثة

✍ما يجب الانتباه إليه، أن السلم دائما يوضع بالوحدة cm، لذا لا يسمح بإنجاز هذه العمليات إلا عند وجود نفس الوحدة

↤ أي أننا نقوم بالتحويلات المناسبة حتى نحصل على نفس الوحدة ثم نقوم بعملية الضرب أو القسمة المبينة في القواعد أعلاه، وسنرى ذلك من خلال الأمثلة التالية:

مثال1: 

👈طبعا، يمكن الإجابة عن هذا السؤال باستعمال جدول التناسبية أو باستعمال العلاقة الثلاثية، لكن ربحا للوقت سنقوم مباشرة بتطبيق القاعدة.

↤ المطلوب من هنا هو حساب المسافة الحقيقية، ونحن نعرف أن القاعدة تقول:

 المسافة الحقيقية =  المسافة على الخريطة × مقام السلم

↤ المسافة على الخريطة هنا هي: 8cm، مقام السلم هنا هو: 2000000

↤ نتأكد هل للقياسين نفس الوحدة، المسافة على الخريطة ب cm ونعلم أيضا أن السلم دائما يوضع بcm

↤ نقوم إذن بتطبيق القاعدة أي:  2000000 × 8 

↤ الحواب إذن هو:  1600000cm  ،نقوم بتحويله إلى الكيلومتر المطلوب منا في السؤال، فيكون الجواب النهائي: 160km

مثال2:

👈 في هذا المثال، المطلوب منا هو تحديد الأبعاد على الورقة (التصميم)، نطبق بشكل مباشر القاعدة التي تقول:

   المسافة على التصميم تساوي المسافة الحقيقية مقسوم على مقام السلم

↤ المسافة الحقيقة: بالنسبة للطول هي: 250m  وبالنسبة للعرض هي:  150m  ومقام السلم هو 5000 

↤ قبل القيام بعملية القسمة، نتأكد هل القياسان (المسافة الحقيقية ومقام السلم) لهما نفس الوحدة؟

↤ المسافة الحقيقية ب  m ومقام السلم كما قلنا يوضع دائما ب cm، 

↤ إذن لا يجب القيام بعملية القسمة حتى نحول المسافة الحقيقية إلى cm : 

↤ بالنسبة للطول :250m = 25000cm  وبالنسبة للعرض : 150m = 15000cm 

↤ الآن نطبق القاعدة: 

↤ المسافة على الورقة (التصميم) هي: بالنسبة للطول: 5 = 5000 ÷ 25000

                                             وبالنسبة للعرض : 3 = 5000 ÷ 150000

↤ ويكون الجواب إذن، هو طول هذا المستطيل هو 5cm وعرضه 3cm.

مثال3:

👈 المطلوب منا هنا هو تحديد السلم، نطبق القاعدة التي تقول:

                           مقام السلم يساوي المسافة الحقيقية مقسوم على المسافة على التصميم

↤ لكن هنا بطبيعة الحال، لا يجب ان نقوم بالقسمة المباشرة، لأن القياسين ليس لهما نفس الوحدة: الطول على النموذج بالسنتمتر والطول الحقيقي بالمتر

↤ نقوم إذن  بتحويل القياسين إلى السنتمتر لاعتبار أن السلم يوضع دائما بالسنتمتر

↤ الطول على التصميم هو: 24cm و الطول الحقيقي هو: 1,20m = 120cm

↤ نطبق القاعدة لحساب مقام السلم : 5 = 24 ÷ 120

↤ ويكون السلم إذن هو : 1/5