التناسبية، معامل التناسب، العمود الأول، السطر الأول، جداء الوسطين يساوي جداء الطرفين، العلاقة الثلاثية، جدول التناسبية، وضعية تناسبية، تمثيل وضعية تناسبية، تطبيقات التناسبية، مفهوم التناسبية، تعريف التناسبية
قمنا بتقسيم هذا الدرس إلى 6 أجزاء على الشكل التالي:
الجزء الأول: التناسبية: تقريب المفاهيم، تمثيلات وتطبيقات
الجزء الثاني: تطبيقات التناسبية: النسبة المئوية
الجزء الثالث: تطبيقات التناسبية: سلم التصاميم والخرائط
الجزء الرابع: تطبيقات التناسبية: السرعة المتوسطة
الجزء الخامس: تطبيقات التناسبية: الرأسمال وسعر الفائدة
الجزء السادس: تطبيقات التنايبية: الكتلة الحجمية
يمكن الولوج إلى أي جزء بالنقر عليه كما يمكن الولوج إلى صفحة الأنشطة (تمارين وحلول) حول التناسبية من هنا
الجزء الأول ⇐التناسبية: تقريب المفاهيم، تمثيلات وتطبيقات
في حياتنا اليومية، نواجه حالات كثيرة من وضعيات التناسب، أحيانا نقوم بحلها دون أن ندرك أننا استعملنا قواعد خاصة بالتناسبية، فماذا تعني التناسبية في الرياضيات؟ وما هي خصائصها وقواعدها؟
أولا: تقريب المفهوم
👈 نقول إن كميتين معينتين متناسبتين في الرياضيات، إذا تغيرت قيمة إحداهما فإن قيمة الأخرى تتغير حتما بنفس النسبة، أي أن كلما زادت أو نقصت إحدى الكميتين فإن الكمية الأخرى تزداد أو تنقص بنفس المقدار...
👈 ولفهم أكثر نأخذ الأمثلة التالية:
↢ مثال 1: طول قضيب من حديد متناسب مع كتلته، هذا يعني أنه إذا تضاعف طول هذا القضيب فإن كتلته تتضاعف بنفس المقدار وإذا نقص طول القضيب فإن كتلته تتناقص بنفس المقدار
↢ مثال2: المدة تتناسب مع المسافة، أي أن كلما زادت المسافة المقطوعة وكلما زادة المدة الزمنية المستغرقة.
↢ مثال3: قفزات الكنغر الأم تتناسب مع قفزات الكنغر الابن، أي أنه إذا قامت الكنغر الأم بقفزة واحدة فإن الكنغر الصغير يقوم بثلاث قفزات، وإذا قامت بقفزتين فإن الصغير يقوم بست قفزات، وهكذا...
↢ مثال 4: ثمن شراء نوع من الخضر متناسب مع كتلته، أي أنه إذا كان ثمن شراء كيلوغرام واحد من البطاطس هو 6 دراهم فإن ثمن شراء كيلوغرامين هو 12 درهما وثمن شراء ثلاث كيلوغرامات هو 18 درهما وهكذا ...
↢ مثال 5: وكمثال مضاد، نقترح في هذا المثال وضعية لا تمثل وضعية تناسبية، مثلا عمر الإنسان لا يتناسب مع كتلته، فمثلا إذا كان عمر الطفل هو 4 سنوات وكتلته تساوي 25 كيلوغراما فهذا لا يعني أنه إذا بلغ سن 8 سنوات (أي الضِّعف) ستكون كتلته كذلك 50 كيلوغرام، وإلا فإنه إذا بلغ 12 سنة ستبلغ كتلته 75 كيلوغرام وإذا بلغ سن 16 سنة ستبلغ كتلته 100 كيلوغرام وتصور إذا أصبح عمره 50 سنة فإن كتلته ستصبح 312,5 كيلوغراما وهذا مستحيل...
↢مثال 6: وكمثال آخر مضاد، (لا يمثل وضعية تناسبية)، عمر الإنسان لا يتناسب مع قامته، فمثلا إذا كان عمر طفل يساوي 4 سنوات وقامته 55 سنتمترا فإنه إذا بلغ 8 سنوات لن تبلغ قامته بالضرورة 110 سنتمتر وتصور لو بلغ هذا الطفل 50 عاما هل ستصبح قامته تساوي 687,5 سنتمترا أي 6,875 مترا وهذا غير ممكن...
ثانيا: تمثيل وضعية تناسبية
👈ولتمثيل وضعية تناسبية غالبا ما نستعمل جدول كما يمكن استعمال تمثيل بياني:
1-الجدول
تبين هذه الصورة مكونات جدول التناسبية:
👈عند الانتقال من أعداد السطر الأول إلى أعداد السطر الثاني فإننا نضرب أو نقسم على نفس العدد ويسمى معامل التناسب. أي أننا نقوم بضرب أعداد السطر الأول في نفس العدد (معامل التناسب) فنحصل على أعداد السطر الثاني أو نقوم بقسمة أعداد السطر الأول على نفس العدد (معامل التناسب) فنحصل على أعداد السطر الثاني...
⇦ فإذا تحقق هذا الأمر مع جميع أعداد السطر الأول وما يقابلها من أعداد السطر الثاني فإننا نتحدث إذن عن وضعية تناسبية.
أما إذا لم يتحقق ذلك ولو مع عدد واحد فإن الوضعية لا تمثل وضعية تناسبية، أو أننا انتقلنا من السطر الأول إلى السطر الثاني بالاعتماد على عمليتي الجمع أو الطرح. والأمثلة الموالية تمثل وضعيات تناسبية ووضعيات غير تناسبية:
وبعبارة أخرى يتحقق شرط التناسب إذا قمنا بقسمة أي عدد من السطر الأول على مقابله من السطر الثاني (أو العكس) سنحصل على نفس العدد الذي هو معامل التناسب.
2-الرسم البياني
👈يمكن استعمال الرسم البياني لتمثيل وضعية تناسبية، وعند تحويل جدول لوضعية متناسبة إلى رسم بياني فإننا نحصل على مستقيم يمر من أصل المبيان:
👈فإذا حصلنا على مستقيم لا يمر من أصل المبيان فهذا لا يمثل وضعية متناسبة، وإذا حصلنا على منحنى غير مستقيم فهذا أيضا لا يمثل وضعية تناسبية
3-العمليات الحسابية في وضعية تناسبية
👈تتنوع العمليات الحسابية التي يتم إنجازها خلال وضعية تناسبية (بجدول أو بدونه) حسب نوع التعليمة المطلوبة منا إنجازها خلال نشاط معين، ومن بين هذه العمليات ما يلي:
- معرفة إن كان الجدول متناسب أم لا.
- تحديد معامل التناسب.
- تحديد الرابع المتناسب من خلال جدول أو بدون جدول، وهذا هو الأهم والأساس الذي يقوم عليه أي نشاط يتعلق بالتناسبية.
👈فالأولى، نقوم بقسمة أعداد أحد الأسطر (الأول أو الثاني) على كل عدد يقابله في السطر الآخر، فإن حصلنا على نفس العدد في كل عملية فإن الأمر يتعلق بوضعية تناسبية وإلا فالأمر غير ذلك.
👈أما الثانية نقوم بها بنفس الطريقة السابقة أي قسمة كل عدد على مقابله في السطر الآخر، وتجدر الإشارة إلى أن الانتقال من الأعداد الكبيرة نحو الأعداد الصغير نستعمل الرمز مقسوم (÷) والانتقال من أعداد صغيرة نحو أعداد كبيرة نستعمل الرمز مضروب (×).
👈أما الثالثة، أولا قبل ذلك، ما المقصود بالرابع المتناسب؟
← الرابع المتناسب هو العدد الرابع الذي يجب إضافته لتتحقق الوضعية التناسبية داخل جدول تناسبي أو من خلال مسألة، وكمثال على ذلك:
✺✺ من خلال جدول:
نلاحظ أن كل جدول يحتوي على 3 أعداد فقط، ينقص العدد الرابع وهو ما يسمى بالرابع المتناسب، أي كما قلنا العدد الذي يجب إضافته في الخانة الفارغة ليكتمل التناسب. فكيف نقوم بإيجاد هذا العدد؟؟
👈توجد 3 طرق للقيام بذلك:
- الطريقة الأولى: البحث عن معامل التناسب (الانتقال من السطر الأول نحو السطر الثاني)
-الطريقة الثانية: الانتقال من العمود إلى العمود، ونستعمل هذه الطريقة فقط في حالة ما تتواجد مضاعفات العدد في نفس السطر
-الطريقة الثالثة تسمى قاعدة جداء الوسطين تساوي جداء الطرفين نقوم بالجداء والقسمة بين الأعداد الثلاثة المعروفة للحصول على العدد الرابع:
وبتطبيق لهذه القاعدة في الجدولين السابقين نحصل على:
👈ويبقى السؤال المطروح، ما هي أفضل هذه الطرق؟ الجواب هو أن كل طريقة يمكن استعمالها حسب مدى فهمك لها، وتبقى الطريقة الثالثة سريعة نوعا ما حسب ما سنراه في الفقرة الموالية.
✺✺بدون جدول (انطلاقا من وضعية):
👈تبقى الطرق الثلاث التي رأيناها قبل قليل صالحة هنا، وذلك لأننا سنقوم بتحويل نص الوضعية إلى جدول يتكون من ثلاثة أعداد بدون العدد الرابع.
↤لنأخذ هذا الأمثلة:
مثال1: قطعة قماش طولها 6,50 أمتار وثمنها 143 درهم، ما هو ثمن قطعة من هذا القماش طولها 3,4 أمتار؟
👈نقوم أولا بتحويل نص الوضعية إلى جدول تناسبية، كما في الصورة:
👈نختار الطريقة الثالثة مثلا (جداء الوسطين يساوي جداء الطرفين) فنحصل على:
👈ويكون الجواب عن السؤال: ثمن قطعة من هذا القماش طولها 3,4 أمتار هو 74,8 درهم
👈ويمكن الإجابة عن هذا السؤال بشكل مباشر بدون استعمال جدول التناسبية بطريقة أخرى تشبه الطريقة الثالثة أعلاه (جداء الوسطين يساوي جداء الطرفين)، وهي ما يسمى بالعلاقة الثلاثية،
👈 تلاحظون أن هذه الطريقة سريعة، الشرط الوحيد هو أن يكون العددان الموجودان في نفس الجهة من نفس الفئة... سنقوم بتطبيقها على المثال السابق:
مثال2: 200 كيلوغرام من القمح تعطي 156 كيلوغراما من الدقيق.
- ما هي كتلة الدقيق التي تعطيها طن واحد من القمح؟
- ماهي كتلة القمح اللازمة للحصول على 4,68 قنطار من الدقيق؟
هذا المثال يحتوي على سؤالين، المطلوب منا من كل سؤال هو تحديد العدد الرابع المتناسب، فكيف يمكن تحديده؟ يمكن استعمال الجدول أو مباشرة العلاقة الثلاثية، لذا سنستعمل الجدول في السؤال الأول ونستعمل العلاقة الثلاثية في السؤال الثاني،
👈السؤال الأول:
👈السؤال الثاني:
ثالثا:تطبيقات التناسبية
كما أشرنا إلى ذلك في بداية الدرس، نواجه في حياتنا اليومية عدة وضعيات تناسبية، نقوم بحلها باستعمال قواعد الحساب أو بدون استعمالها،هذه الوضعيات تختلف في طريقة عرضها للمعطيات والمطلوب إنجازه، لكن في الغالب نستعمل طريقة واحدة في الحل وهي تمثيل هذه المعطيات في جدول تناسبي، حينها تتوصل إلى الجواب. وعند التمكن من المفهوم بشكل جيد لن تحتاج بعد ذلك إلى استعمال الجدول حيث يمكن إيجاد الحل إما بتطبيق للقواعد أوباستعمال العلاقة الثلاثية أو بطريقة مبتكرة خاصة بك.
ومن بين تطبيقات التناسبية في حياتنا اليومية، نستعملها في حساب النسب المئوية وفي التصاميم وفي حساب السرعة المتوسطة،ونستعملها كذلك في الحسابات المالية ( الرأسمال وسعر الفائدة) وأيضا في حساب الكتلة الحجمية للأجسام.
يمكن الولوج إلى كل درس من هذه الدروس لاكتشاف طريقة التعامل مع كل واحد من هذه التطبيقات من خلال النقر عليه:
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى