حساب الحجوم

حساب الحجوم،تقريب مفهوم الحجم، حجم المكعب، حجم متوازي المستطيلات، حجم الموشور القائم، حجم الأسطوانة، حجم المخروط، حجم الكرة، مسائل ووضعيات حساب الحجوم

عندم نتحدث عن الحجم فإننا نقصد الحيز الذي يشغله جسم ما، فالأنسان له حجم، والحيوان له حجم، الحاسوب له حجم، الهاتف له حجم ... كل جسم موجود يمكن رؤيته له حجم، هذه الحجوم تختلف من جسم لآخر حسب أبعاده، ويمكن أن تكون لأجسام متعددة نفس الحجم، رغم اختلاف في الأبعاد.

يمكن الرجوع إلى درس الطول والمساحة والحجم ... أية علاقة؟ لأخذ فكرة عامة حول مفهوم الحجم  والفرق بينه وبين الطول والمساحة. من خلال النقر هنا.

👈 إذا كانت المساحات مرتبطة بالأشكال الثنائية الأبعاد أي التي لها بعدين فقط (الطول والعرض مثلا)، فإن الحجم مرتبط بأشكال ثلاثية الأبعاد أي الأشكال التي لها ثلاثة أبعاد ( الطول والعرض والارتفاع)، فإذا تم إهمال أحد هذه الأبعاد الثلاثة فإننا عندئذ لا نتحدث  عن الحجم.

👈 قبل الدخول إلى طريقة القيام بحساب الحجوم، دعونا أولا نتحدث عن وضعيات تقريب مفهوم الحجم إلى أذهان المتعلمين وبعض استعمالاته في الحياة اليومية.

أولا: وضعيات تقريب مفهوم الحجم واستعمالاته

الوضعية 1

إدراك مفهوم المجسمات والتمييز بينها وبين الأشكال الثنائيات الأبعاد من خلال اكتشافها واكتشاف مكوناتها (الأوجه، الرؤوس، الأحرف) وكذا الانطلاق من الأشكال لصنع المجسمات أو العكس (نشر المجسمات)، بهذه الطريقة يمكن للمتعلم أن يميز بين المجسمات والأشكال، ولا ننسى طبعا أن نشير إلى أسماء بعض المجسمات وما يميزها عن الأخرى. (قابة للتدحرج، غير قابلة للتدحرج، شكل الأوجه، الأحرف متقايسة أم غير متقايسة ...)

الوضعية 2

إحضار مجموعة من المجسمات المختلفة الأنواع والأحجام، هذه المجسمات تكون مفتوحة من جهة واحدة، حيث يقوم المتعلمون بملئها بالرمل ثم يفرغونها في مكان خاص حتى يتمكنوا من مقارنة كمية الرمل التي يحتوي عليه كل مجسم، وهنا يتم استحضار مصطلح (حجم) للقيام بالمقارنة، مثلا: حجم هذا المكعب أكبر من حجم هذا المكعب أو متوازي المستطيلات...

الوضعية 3

إحضار مجسمين مختلفين ( أسطوانة ومتوازي المستطيلات مثلا) لهما نفس الحجم دون علم من طرف المتعلمين، نطرح السؤال أولا قبل البدء في المناولة: في نظركم ما هو المجسم الذي حجمه أكبر من الآخر؟ بعد طرح الفرضيات ومناقشتها يقوم المتعلمون بملء أحد هذه المجسمات بالماء إن كان ذلك ممكنا أو بالرمل أو بحبات الأرز... ثم يقومون بإفراغه في المجسم الآخر.. هنا يستنتج المتعلمون أن للمجسمين نفس الحجم رغم اختلافهما. (يمكن إعادة المحاولة بين مجسمين مختلفي الحجم والشكل حتى يتضح للمتعلمين معنى لهما نفس الحجم وليس لهما نفس الحجم)

الوضعية 4

نفس الوضعية 2 السابقة لكن هذه المرة نقوم بملء المجسمات بكويرات صغيرة (Les billes)، بهذه الطريقة يمكن مقارنة أحجام هذه المجسمات بحساب عدد الكويرات التي يحتوي عليها كل مجسم. وتعتبر هذه الوضعية مرحلة تهييئية لاستعمال وحدة قياس الحجم. (يمكن إعادة هذه المناولة باستبدال الكويرات الصغيرة بمكعبات صغيرة مرتبة حتى ينعدم الفراغ بينها عكس الكويرات التي يتواجد الفراغ بينها)

الوضعية 5

إدراك مفهوم البعد الثالث وطريقة تمثيله من خلال تحديد عدد المكعبات الموجودة في المجسمات التالية مثلا: 

موقع رياضياتي يقترح عليكم كتابا باللغة الفرنسية يتحدث عن وضعيات يمكن الانطلاق منها لتقديم مختلف المفاهيم الرياضية بطريقة بسيطة ويسيرة، من بين هذه المفاهيم الحجم. يمكن تحميل الكتاب من مكتبة الموقع من هنا (عنوان الكتاب Math & Manips)

بعض استعمالات الحجم في حياتنا اليومية 

Ⅰ- هل سبق لك أن ألقيت نظرة على عداد الماء الذي يحدد كمية المياه المستهلكة في منزلك؟ إنه يحتوي على أرقام وتدريجات ورمز المتر المكعب (m³)،  ربما أنت تـعرف فقط رمزين هما المتر (m) والمتر المربع (m²)، فهل تساءلت يوما معنى هذا الرمزالجديد؟؟

Ⅱ- ربما سبق لك أن قرأت على قنينة معلومة مثل 50 cl، هذه المعلومة تدل على سعة هذه القنينة أي أنها يمكن أن تحوي كميات أقل من أو تساوي 50 cl لكن لا يمكن تجاوزها. فهل تعرف ما تعنيه هذه الوحدة ؟؟

Ⅲ- نعرف أن الرمل من المواد الأساسية للبناء، ولحمله نحتاج إلى شاحنة حسب كمية الرمل الذي يحتاج إليه البناء، فإذا كان بحاجة إلى كمية أكبر فإنه يحتاج إلى شاحنة أكبر أو بعبارة أدق شاحنة ذات حجم أكبر، وهكذا...

👈 بعد أن أخذنا فكرة عن مفهوم الحجم وتعرفنا على بعض استعمالاته، لننطلق الآن إلى طريقة القيام بحساب حجوم المجسمات الاعتيادية المعروفة، وبعبارة أخرى أدق لو طلب منك تحديد كمية الماء الذي يمكن أن يحتويها صهريج مائي على شكل مكعب، أو متوازي المستطيلات أو أسطوانة أو مخروط أو هرم ... فكيف ستقوم بذلك؟؟

ثانيا: حساب الحجوم 

👈 قبل الحديث عن طريقة القيام بذلك، دعونا أولا نتحدث عن الوحدات الأساسية لقياس الحجوم (للتعمق أكثر يمكن الولوج إلى درس سابق على الموقع حول القياسات في الرياضيات من هنا)

👈 تعرفنا على أن الوحدة الأساسية لقياس الأطوال هي المتر (m) ولقياس مسافات أقل نستعمل أجزاء المتر ومسافات أكبر نستعمل مضاعفات المتر، نفس الشيء يتعلق بقياس المساحات (المتر المربع هي الوحدة الأساسية)، فالوحدة الأساسية إذن لقياس الحجوم هي المتر المكعب (m³) ولقياس حجوم صغيرة نستعمل أجزاء المتر المكعب وحجوم كبيرة نستعمل مضاعفات المتر المكعب.

👈 كنا قد تطرقنا في درس قياس المساحات إلى أن المتر المربع هو كل مربع طول حرفه متر واحد (1m) والسنتمتر المربع هو كل مربع طول حرفه سنتمتر واحد (1cm) والديسمتر المربع هو كل مربع طول حرفه ديسمتر واحد (1dm) وهكذا... وهي الوحدات المتفق عليها عالميا لقياس المساحات.

👈 نفس الشيء هنا،، تم الاتفاق عالميا على أن المتر المكعب هو الوحدة الأساسية لقياس الحجوم وهو  كل مكعب طول حرفه متر واحد(1m)، والديسمتر المكعب هو كل مكعب طول حرفه ديسمتر واحد (1dm)، والسنتمتر المكعب هو كل مكعب طول حرفه سنتمتر واحد (1cm) وهكذا... على الورقة لا يمكن تمثيل  المتر المكعب ومضاعفاته بأبعادها لحقيقية ، تصور معي مكعبا طول حرفه مثلا كيلومتر واحد (الكيلومتر المكعب  km3)

👈 الآن نمر إلى طريقة حساب الحجوم

👈 وللقيام بذلك ولتسهيل هذه العملية سنقوم بتقسيم المجسمات إلى ثلاثة أنواع:

النوع الأول : المجسمات  القائمة وهي : المكعب ومتوازي المستطيلات والموشور القائم والأسطوانة القائمة 

👈 لحساب حجم هذه المجسمات نطبق قاعدة عامة واحدة وهي: مساحة القاعدة × الارتفاع 

⬅لنأخذ  المكعب: 

✸- قاعدته عبارة عن مربع  طول حرفه a

✸- مساحة المربع هي:  طول الحرف × طول الحرف أي:  a×a

✸- الارتفاع في المكعب يساوي طول حرفه a

← إذن بتطبيق القاعدة العامة (الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع) سنحصل على أن حجم المكعب هو:  a×a×a=a³ 

⬅ لنأخذ متوازي المستطيلات:

✸- قاعدته عبارة عن مستطيل طوله L وعرضه l

✸- مساحة هذا المستطيل هي: L×l

✸- الارتفاع في متوازي المستطيلات قد يختلف عن الطول أو العرض نرمز له بالحرف: h

← إذن بتطبيق القاعدة العامة (الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع) سنحصل على أن حجم متوازي المستطيلات هو: L×l×h 

⬅ لنأخذ الآن الموشور القائم 

👈 رأينا في إحدى الدروس السابقة أن الموشور القائم أنوع فهناك موشور قائم ثلاثي وموشرو قائم رباعي وموشور قائم خماسي وهكذا ... وذلك حسب نوع قاعدته فإذا كانت مثلثة نتحدث عن الموشور القائم الثلاثي وإذا كانت رباعية نتحدث هنا عن الموشرو القائم الرباعي، ربما سيتبادر إلى ذهنك الآن وتقول أن قاعدة متوازي المستطيلات رباعية إذن فهو موشور قائم .. نعم، صحيح..  فمتوازي المستطيلات نوع خاص من الموشور القائم الرباعي.

👈 نرجع الآن إلى طريقة حساب حجم الموشور القائم. بالنسبة لهذا المجسم ليست لديه قاعدة خاصة لحساب حجمه، وإنما نقوم بتطبيق القاعدة العامة لحساب الحجوم وهي ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع.

👈 بالنسبة للموشور القائم الثلاثي نقوم بحساب مساحة قاعدته التي هي على شكل مثلث  ثم نضربها في ارتفاع الموشور القائم.

👈 وبالنسبة للموشور القائم الرباعي نقوم بحساب مساحة الرباعي ( مربعا كان أو مستطيلا أو معينا أو متوازي الأضلاع أو رباعي آخر ) ثم نضربها في الارتفاع 

لتذكر طريقة حساب المساحات يمكن الرجوع إلى درس حساب المساحات من هنا.

⬅ لنأخذ الآن الأسطوانة القائمة.

✸- قاعدتها عبارة عن قرص شعاعه R

✸- مساحة القرص هي π×R×R مع  (π≈3,14)  

✸- الارتفاع في الأسطوانة هي المسافة الفاصلة بين القاعدتين ونرمز له ب: h

← إذن بتطبيق القاعدة العامة لحساب الحجم (مساحة القاعدة × الارتفاع) نحصل على قاعدة حساب حجم الأسطوانة وهي:π×R×R×h مع  (π≈3,14) 

النوع الثاني من المجسمات  : المخروط، الهرم والفلكة (الكرة)

👈 هذا النوع من المجسمات لا نطبق عليها قاعدة حساب الحجم التي رأيناها أعلاه، بالنسبة للمخروطي والهرم لهما نفس القاعدة وهي: 

 V=1/3×Sb×h مع Sb تعني مساحة القاعدة و h يعني الارتفاع. 

👈 أما لحساب حجم فلكة (كرة) نستعمل القاعدة: V=4/3×π×R³ مع  (π≈3,14) و R شعاع الكرة.

النوع الثالث من المجسمات: المجسمات  غير المنظمة مثلا قطعة خشب، حجر، قطعة بلاستيكية ...

👈 لحساب حجم هذا النوع من المجسمات، نستعمل المناولة التالية:

↤ نأخذ إناء مدرج  (به تدريجات)

↤ نملؤه  بقدر معين من الماء.

↤ نحدد بواسطة قلم مستوى الماء على جدار الإناء ونكتب رقم التدريجة التي يشير إليها مستوى الماء 

↤ نضع داخل الماء الجسم الذي نريد قياس حجمه

↤ نحدد مرة أخرى مستوى الماء على جدار الإناء ونكتب رقم التدريجة التي يشير إليها مستوى الماء

↤ نقوم بعملية طرح العدد المتوصل إليه في المرة الأولى من العدد المتوصل إليه في المرة الثانية، ثم نقوم بالتحويلات المناسبة لتحديد حجم الجسم بالوحدة المطلوبة.

👈 بعد اكتشافنا لطريقة حساب الحجوم نمر الآن إلى أنواع الأسئلة التي يمكننا مواجهتها خلال إنجاز التمارين المرتبطة بدرس اليوم الذي هو الحجم.

ثالثا: أنواع التمارين

✽النوع الأول: وهو أسهل الأسئلة، يمكن أن يطلب منا حساب حجم باستعمال وحدة معينة أو عدة وحدات بطريقة مباشرة انطلاقا من معطيات معينة ، فقط نقوم بتطبيق قاعدة حساب الحجوم، ثم نقوم بالتحويلات اللازمة باستعمال جداول التحويل ( انظر درس القياسات). مثل:

تمرين1: احسب حجم المكعب التالي ب cm³: 

تمرين 2: احسب حجم متوازي المستطيلات ب mm³ بحيث طوله 4cm  وعرضه1/3 طوله وارتفاعه 3cm

تمرين 3: احسب حجم موشور قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية ب cm³  ثم ب dm³ 

تمرين4: ما هو حجم هذه الأسطوانة  ب  dm2؟ 

✽ النوع الثاني: يمكن أن يطلب منا حساب حجم نصف مجسم أو ربعه أو ثلثه أو ....، مثل:

تمرين 5: إناء على شكل متوازي المستطيلات أبعاده هي: L=12cm  و l=4cm وh= 7cm. احسب:

- حجم الإناء ب cm2.

 - ربع حجم هذا لإناء ب  mm2.

تمرين 6: إناء على شكل أسطوانة، شعاع قاعدتها 30cm وارتفاعها 40cm، ملئ هذا الإناء ماء إلى 2/3 حجمه، احسب حجم الماء الموجود به باللتر.

✽ النوع الثالث: يمكن أن يطلب منا حساب الارتفاع انطلاقا من الحجم، مثل:

تمرين 7: مسبح على شكل متوازي المستطيلات، طوله 10m وعرضه 6m وعمقه 2m. ملئ هذا المسبح إلى ¾ حجمه ماء. ما هو ارتفاع الماء في هذا المسبح؟

✽ النوع الرابع: يمكن أن يطلب منا حساب حجم عدة مجسمات مركبة مثل:

تمرين 8: يمثل الشكل تصميما لمستودع، احسب حجمه ب m3.

تمرين 9: يمثل الشكل قطعة معدنية على شكل موشور قائم قاعدته عبارة عن مثلث قائم الزاوية يتوسطها ثقب أسطواني الشكل ، احسب حجم هذه القطعة. 

✽ النوع الخامس: تمارين متنوعة مثل:

تمرين 10: إناء على شكل متوازي المستطيلات أبعاده 15,7 cm  و  16cm  و 9cm، قمنا بملئه عن آخره بالماء، ثم أفرغناه في إناء آخر على شكل أسطوانة قائمة ارتفاعها 30cm فملئ هذا الأخير إلى ثلثيه. ما هو شعاع قاعدة هذا الإناء؟ ( نأخذ π≈3,14  )

تمرين 11: نريد تعبيد طريقا طوله 200متر وعرضه 5 أمتاربطبقة من الحصى سمكها 12 سنتمترا، إذا نقل الحصى بواسطة شاحنة حمولتها 9 أمتار مكعبة، فما هو عدد الرحلات التي ينبغي أن تقوم بها الشاحنة لأحضار كمية الحصى اللازمة؟

تمرين 12: استغرقت مضحة في ملء صهريج ماء مدة 4 ساعات بمعدل 400 لتر في الثانية. احسب حجم هذا الصهريج بالمتر المكعب.

👈يمكنك مشاهدة الفيديو للتأكد من إجاباتك بعد إنجاز هذه التمارين، أو أخذ فكرة عن كيفية التعامل معها. 

رابعا: خلاصة الدرس

فيديو درس اليوم