حساب المساحات

تقريب مفهوم المساحة، طرق حساب المساحات، قواعد حساب المساحات، التدرب على حساب المساحات، مساحات الأشكال البسيطة، مساحة الأشكال المركبة، مساحة المجسمات، المساحة الكلية، المساحة الجانبية 

يعتبر مفهوم المساحة من المفاهيم الرياضية التي يتلقاها التلميذ منذ الطور الابتدائي، لكن أحيانا، يجد أغلبية المتعلمين صعوبة في فهم واستيعاب هذا المفهوم، لكونهم يدرسونه بصورة مجردة بعيدا عن الملموس فيعتمدون فقط على حفظ القواعد دون إدراك حقيقي لهذا لمفهوم الرياضي، مما يجعلهم يتعثرون كلما واجهوا وضعية مركبة تتطلب أولا إدراك مفهوم المساحة قبل الاستعانة والبحث عن القواعد المناسبة لحسابها.

قمنا بتقسيم هذا الدرس إلى ثلاثة أقسام  أساسية، هي: تقريب مفهوم المساحة وطريقة حساب المساحات وطريقة حساب مساحات المجسمات ( الجانبية والكلية)

🔵 تقريب مفهوم المساحة

لكي يدرك التلميذ مفهوم المساحة، لابد له أولا أن يتعرف على معنى المساحة واستعمالاتها في الحياة اليومية وربطها ببعض المفاهيم الرياضية الأخرى التي لها علاقة بها كالمحيط والحجم.

👈 يمكن الرجوع إلى درس الطول والمساحة والحجم ... أية علاقة؟؟ لفهم أكثر لمفهوم المساحة بالنقر على هذا الرابط.

وإليكم بعض الوضعيات التي من خلالها يمكن للمتعلم أن يدرك مفهوم المساحة وذلك على سبيل المثال لا الحصر:

↤الوضعية 1:

نطلب من المتعلم وضع ورقة كبيرة داخل ظرف صغير دون طيها، طبعا لن يتمكن التلميذ من القيام بذلك، نسأله عن السبب ويجيب أن الظرف أصغر من الورقة... وبهذه الطريقة  يكتشف التلميذ أن مساحة الظرف أصغر من مساحة الورقة فلا يمكن إدخالها فيه حتى يتم طيها.

↤الوضعية 2:

نرسم على الأرضية ثلاث دوائر: الأولى صغيرة المساحة والثانية متوسطة المساحة والثالثة كبيرة المساحة، نطلب من مجموعة من التلاميذ الدخول إلى هذه الدوائر واحدة تلو الأخرى، فيكتشفون أن التجمع داخل الدائرة الأولى مستحيل، وفي الثانية ممكن لكن بشكل غير مريح، وفي الثالثة يمكن وبشكل مريح ... من هنا يكتشف المتعلم مفهوم المساحة: مساحة كبيرة، متوسطة، صغيرة.

↤الوضعية 3:

نطلب من المتعلمين تحديد المساحات والأسطح الموجودة بجانبه، مثلا: مساحة الدفتر، مساحة الباب، مساحة الطاولة... وفي نفس الوقت يقول له مثلا مساحة الباب هو كل ما يبدو لونه أزرقا (إذا كان لونه أزرق حقا..) وهكذا...

↤الوضعية 4:

ندفع المتعلم إلى تلوين المساحات أو ترصيفها أو إتمام ترصيفها بأشكال هندسية دون أن يترك فراغا بين هذه الأشكال، من هنا يتعلم التلميذ معنى المساحة ويدرك أن المساحة هي كل منطقة محاطة بإطار معين ولا يمكن ترك فراغ داخله إلا في الحالات المطلوبة منه القيام بذلك. كما يمكن مطالبته بتلوين المساحة بلون وإطارها بلون آخر حتر يميز بين المساحة والمحيط.

↤الوضعية 5

نطلب منه إيجاد حل لوضعيات مشكلة تتطلب منه البحث عن حلول انطلاقا مما يتوفر عليه من معلومات سابقة، هذه الوضعيات يجب أن تكون لها علاقة بواقعه الذي يعيشه، مثل:

ساعد هذا العامل في معرفة عدد البلاطات التي سيحتاج إليها لإتمام تبليط هذا مساحة الغرفة. 

↤الوضعية 6:

مطالبة المتعلمين بمقارنة مساحة الشكلين بطرح السؤال التالي: الشكل 1 لا يشبه الشكل 2، في نظركم هل لهما نفس المساحة؟ الهدف من هذه الوضعية هو أن يدرك المتعلم أنه رغم اختلاف الأشكال يمكن أن تكون لها نفس المساحة

↤الوضعية 7: 

مطالبته بإنشاء مستطيل انطلاقا من المربع التالي بعد طباعته على ورق مقوى وقصه حسب الخطوط المبينة على المربع 

↤الوضعية 8:

مطالبة المتعلمين بالإتيان بأمثلة استعمالات المساحة في الحياة اليومية: 

- طلاء حائط  

- تبليط أرضية

- تغليف هدية

↤الوضعية 9

مطالبة المتعلمين بتحديد مساحة أشكال باستعمال وحدات مختلفة (مربعات صغيرة، مربعات كبيرة، مثلثات، مستطيلات ...) يتوصل المتعلم بعد نهاية النشاط أن جميع الأجوبة صحيحة لكن نتيجتها مختلفة ( كلما كانت الوحدة صغيرة كلما كانت المساحة كبيرة)، هنا يكتشف المتعلم إلى ضرورة الاتفاق على وحدة واحدة تكون للجميع مرجعا واحدا حتى يتوصل الجميع إلى نتيجة واحدة، فيتدخل المدرس بأن الوحدة المتفق عليها عالميا هي المتر المربع مشيرا إلى مربع طول حرفه متر واحد ولا ينسى بطبيعة الحال أن يشير كذلك إلى أجزاء المتر المربع لقياس المساحات الصغيرة وإلى مضاعفات المتر المربع لقياس المساحات الكبيرة.

↤الوضعية 10

مطالبة المتعلم بإنجاز الوضعية التالية (في هذه الوضعية سنعطي مثالا لتقريب مفهوم المساحة الجانبية أو الكلية بالنسبة للمجسمات)

تريد إعداد هدية لأحد أصدقائك بمناسبة ما، وضعت الهدية داخل علبة على شكل متوازي المستطيلات، أبعادها: الطول 30cm والعرض  20cm والارتفاع 15cm ، كم ستحتاجه من ورق الهدايا لتغطية هذه العلبة كاملة ؟ 

بعد أن يتعرف المتعلم على مفهوم المساحة ويميز بينها وبين المفاهيم الأخرى المتداخلة معها كالمحيط والحجم، دعونا الآن ننتقل إلى الفقرة الثانية من الدرس، وهي طريقة القيام بحساب مساحات الأشكال الاعتيادية. ثم بعد ذلك سننتقل إلى طريقة القيام بحساب المساحات الجانبية والمساحات الكلية للمجسمات الاعتيادية.

🔵طريقة حساب المساحات الاعتيادية

سنتطرق في هذه الفقرة إلى نوعين من الأشكال: الأشكال البسيطة وهي الأشكال الاعتيادية المعروفة كالمربع والمستطيل والقرص ... والأشكال المركبة وهي الأشكال التي تتكون بتركيب أشكال بسيطة، فالشكل المركب يحتوي على شكلين بسيطين أو أكثر

 

✪ أولا: الأشكال البسيطة 

تختلف طريقة حساب المساحات من شكل لآخر، ويعتبر المربع أو المستطيل مرجعين يتم اعتماد قاعدتهما في حساب باقي الأشكال الأخرى، أي أن بمعرفتك لقاعدة هذين الشكلين يمكن استنتاج باقي قواعد حساب المضلعات الاعتيادية الأخرى.

فطريقة حساب مساحة المربع أو المستطيل هي كالآتي:

👈لدينا هذا المستطيل الذي طوله  5cm وعرضه  3cm : 

👈 نريد حساب مساحته، نقوم بملئه بمربعات صغيرة، طول حرفها هو 1cm، وحدة القياس المستعملة هنا هي هذه المربعات وتساوي 1cm²

👈 مجموع هذه المربعات هو 15، وهذا يعني أن مساحة هذا المستطيل هي 15cm²  

👈 لكن هناك طريقة أسرع لحساب المساحة وهي ضرب الطول في العرض 5cm x 3cm = 15cm² 

👈 من هنا نستنتج أن مساحة المستطيل هي الطول مضروب في العرض (L x l)

👈ومساحة المربع هي طول الحرف مضروب في نفسه (a x a =a²) 

انطلاقا من مساحة المستطيل يمكننا استنتاج قواعد حساب مساحات الأشكال الأخرى:

قاعدة حساب مساحة المعين:

👈 نقوم بتحويل المعين إلى مستطيل، 

👈 نعلم أن مساحة المستطيل هي الطول× العرض، 

👈 هنا الطول يساوي القطر الصغير للمعين والعرض يساوي نصف القطر الكبير، 

👈 وبالتالي فإن مساحة المعين هي القطر الصغير × نصف القطر الكبير

👈  وبعبارة أخرى: (القطر الكبير× القطر الصغير)÷ 2

قاعدة حساب مساحة المثلث:

👈 نقوم بتحويل المثلث إلى مستطيل كما في الشكل 

👈 المستطيل الذي حصلنا عليه طوله يساوي قاعدة المثلث وعرضه يساوي ارتفاع المثلث، 

👈 إذن مساحته تساوي القاعدة × الارتفاع ، 

وبما أن مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل 

👈 نستنتج أن مساحة المثلث تساوي: (طول القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

قاعدة حساب مساحة متوازي الأضلاع:

👈نقوم كذلك بتحويل متوازي الأضلاع إلى مستطيل 

👈 مساحة المستطيل الذي حصلنا عليه هو القاعدة × الارتفاع وهي نفس مساحة متوازي الأضلاع، 

👈 إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي:  القاعدة × الارتفاع

قاعدة حساب مساحة شبه المنحرف

👈 في هذه الحالة سنقوم بتحويل شبه المنحرف إلى متوازي الأضلاع بإضافة شكل آخر (شبه منحرف) يشبهه (نفس الأبعاد) 

👈 مساحة متوازي الأضلاع هي القاعدة × الارتفاع والقاعدة هنا تساوي مجموع القاعدتين ( الكبرى والصغرى لشبه المنحرف)

👈 يعني أن مساحة متوازي الأضلاع هي (القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) × الارتفاع

👈 وبما أن مساحة شبه المنحرف هي نصف مساحة متوازي الأضلاع، 

👈 فإن مساحة شبه المنحرف تساوي: [(القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) × الارتفاع] ÷ 2

مساحة القرص

👈لحساب مساحة القرص نستعمل قاعدة أخرى، 

👈 وفي هذه الحالة يجب استحضار العدد π والذي يقارب 3,14 بحيث أن يبقى ثابتا لا يتغير عند حساب مساحة أي قرص كيفما كان نوعه، 

👈 فقاعدة حساب مساحة القرص هي:

👈 ولحساب مساحة نصف القرص نقسم مساحة القرص على 2 

👈 ولحساب مساحة ربع القرص نقسمها على 4، وهكذا...

يجب التمييز بين قاعدة حساب مساحة القرص التي هي: العدد π × الشعاع × الشعاع  وقاعدة حساب محيطه التي هي : العدد π × طول القطر.

✪ ثانيا: الأشكال المركبة

الأشكال المركبة تتكون من أشكال معروفة كالمربع والمستطيل والمعين وغيره، ولحساب مساحة أي شكل مركب نقوم بتقسيمه إلى أشكال بسيطة معروفة:

← مثال1: نريد حساب مساحة هذا الشكل 

👈 نقوم بتقسيمه إلى أشكال معروفة  

👈 فنكون قد حصلنا بذلك على أربع مستطيلات، نبحث عن أبعاد كل واحد منها ونقوم بحساب مساحته وفي الأخير نجمع المساحات المتوصل إليها في كل حالة، فنحصل على مساحة الشكل كله.

←  مثال 2: نريد حساب مساحة هذا الشكل 

👈 نقوم كذلك بتقسيمه إلى أشكال معروفة

👈 حصلنا على مربع وأربعة أنصاف أقراص (أي قرصين لهما نفس المساحة)، 

👈 أحدد الأبعاد المناسبة (طول الحرف بالنسبة للمربع، والشعاع بالنسبة للقرص)

👈 أحسب أولا مساحة المربع، ثم بعد ذلك مساحة قرص واحد وأضربه في 2 (لأن لدينا هنا قرصين)

👈 أجمع المساحات المتوصل إليها، فأكون قد حصلت على مساحة الشكل كله.

←مثال 3: نريد حساب مساحة الشكل:

👈 نقوم بتقسيمه إلى شكلين كما توضح الصورة، فنحصل على معين وشبه منحرف

👈 أو على الشكل التالي، فنحصل على مثلث وشبه منحرف 

👈 في كلتا الحالتين، ومن الأحسن اختيار الأسهل، أقوم بحساب مساحة الشكلين المتوصل إليهما واحد تلو الآخر، ثم أجمع المساحتين لأحصل على مساحة الشكل بأكمله.

←مثال4: نريد حساب مساحة الشكل

👈 نقوم بإضافة مستطيل حتى يتضح لنا الشكل 

👈 هذا الشكل يتكون من مستطيل ونصفي قرص ( أي قرص واحد كامل)

👈 نحدد أبعاد كل شكل ( الطول والعرض للمستطيل والشعاع للقرص) ونحسب مساحة كل شكل

👈 نقوم بطرح مساحة القرص من مساحة المستطيل فنحصل على مساحة الشكل المطلوبة منا:

مساحة الشكل = مساحة القرص – مساحة المستطيل

← مثال 5: نريد حساب مساحة الشكل التالي

👈 نقوم بإضافة مربع إلى الشكل حتى يتضح لنا أكثر:

👈 الآن يبدو لي أن الشكل يتكون من أربعة أرباع دوائر (أقراص) ومربع،

👈  ومساحة أربع أرباع إذا قمنا بجمعها فسنحصل على قرص واحد كامل، 

👈 لحساب المساحة المطلوبة منا: نقوم أولا بحساب مساحة المربع كاملا ثم نطرح منها مساحة أربع أرباع القرص التي تساوي مساحة قرص واحد كما قلنا: 

مساحة الشكل = مساحة القرص – مساحة المربع

نستنتج إذن عن عملية حساب مساحة شكل مركب تحتاج إلى تحديد الأشكال البسيطة التي يتكون منها ثم بعد ذلك حساب مساحات هذه الأشكال البسيطة ثم نقوم إما بجمع هذه المساحات أو طرح أحدها من الأخرى حسب نوعية الشكل المركب.

🔵المساحة الجانبية والمساحة الكلية

هذان النوعان من المساحات مرتبط بالمجسمات أي أننا عندما نتحدث عن هذين النوعين من المساحات، فإننا نستحضر المجسمات، والمجسمات هي الأشكال الثلاثية الأبعاد أي تتكون من ثلاثة أبعاد وهي الطول والعرض والارتفاع ومن بين المجسمات الاعتيادية المعروفة: المكعب، متوازي المستطيلات، الموشور القائم، الأسطوانة القائمة...

يجب التمييز بين المساحة (الجانبية أو الكلية) عن الحجم، وللتمييز بينهما نأخذ مثالا لمسبح:

 فالمسبح يكون مملوءا بالماء هنا نتحدث على الحجم.

 وجدار المسبح وقاعه (قاعدته) يكون مزخرفا ببلاطات (زليج) هنا نتحدث عن المساحة.  

👈 لإدراك مفهوم المساحة الجانبية او الكلية لأي مجسم نحدد أولا أشكال أوجه هذا المجسم وبعبارة أخرى نقوم بنشر هذا المجسم حتى يتضح لنا شكل أوجهه.

👈 فالمساحة الجانبية هي مجموع مساحات الأوجه التي يتكون منها المجسم ونقوم بحسابها عن طريق قاعدة عامة (كيفما كان هذا المجسم) وهي:   محيط القاعدة × الارتفاع

👈 والمساحة الكلية هي  مجموع المساحة الجانبية ومساحة القاعدتين (المساحة الجانبية + مساحة قاعدتي هذا المجسم )

⬅المكعب 

👈👈نتذكر طريقة حساب المساحة الجانبية ←( محيط القاعدة × الارتفاع)

👈 قاعدة المكعب عبارة عن مربع 

👈 محيط المربع هنا يساوي a+a+a+a  واختصارا 4a

👈 ارتفاع المكعب يساوي طول حرفه وهو  a

👈 نستنتج إذن مساحته الجانبية وهي: 4a x a واختصارا 4a²  حيث a طول حرف المكعب

👈👈 نحدد طريقة حساب المساحة الكلية ← (المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين):

👈  القاعدة هنا عبارة عن مربع إذن مساحتها هي a x a  واختصارا a²

👈 في المكعب توجد قاعدتين إذن مساحتهما هي  a x a x 2 واختصارا 2a²

👈 نستنتج المساحة الكلية للمكعب : 4a² + 2a²  واختصارا 6a²  حيث a طول حرف المكعب

⬅متوازي المستطيلات

👈👈نتذكر طريقة حساب المساحة الجانبية ←( محيط القاعدة × الارتفاع)

👈قاعدة متوازي المستطيلات  عبارة عن مستطيل  

👈 محيط هذا المستطيل  هنا يساوي:  (الطول+ العرض)×2

👈 ارتفاع متوازي المستطيلات هو h 

👈 نستنتج إذن مساحته الجانبية وهي:  (الطول+ العرض)× الارتفاع× 2

👈👈 نحدد طريقة حساب المساحة الكلية ← (المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين):

👈 القاعدة هنا عبارة عن مستطيل  إذن مساحتها هي  l x L (الطول × العرض)

👈 توجد قاعدتان إذن l x L x 2

👈 نستنتج المساحة الكلية  لمتوازي المستطيلات وهي : l x L x 2 + 2h x (L+l)

الذي يهم هنا ليس حفظ قاعدة حساب المساحة الجانبية أو الكلية عن ظهر قلب  وإنما طريقة القيام باستنتاج هذه القاعدة، لذا عندما يطلب منك حساب المساحة الجانبية أو الكلية لأي مجسم، يجب فقط استحضار قاعدتين هما: 

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين

 

⬅الموشور القائم

👈 الموشور القائم عبارة عن مجسم قاعدته إما مثلث ويسمى موشور قائم ثلاثي أو قاعدته رباعي ويسمى موشور قائم رباعي أو قاعدته خماسية ويسمى موشور قائم خماسي وهكذا ... 

👈 ولحساب المساحة الجانبية لهذا المجسم، 

◼أولا أحدد شكل القاعدة ( هل هي مثلث أو رباعي أو ...)

◼ثانيا أحسب محيطه ( أي مجموع أطوال قاعدته)

◼ثالثا أضرب المحيط في الارتفاع

👈 ولحساب المساحة الكلية 

◼أولا أحسب مساحة القاعدة (إذا كانت مثلثا أستحضر طريقة حساب مساحة المثلثات وإذا كانت رباعيا أحدد نوع هذا الرباعي وأحسب مساحته وهكذا ...)

◼ثانيا أضرب المساحة في 2 لأن لديه قاعدتين

◼ثالثا أحسب مجموع مساحة القاعدتين والمساحة الجانبية

⬅الأسطوانة القائمة

👈 ونقوم بنفس الطريقة لحساب المساحة الجانبية أو الكلية للأسطوانة، الفرق هنا يكمن فقط في أن قاعدة الأسطوانة عبارة عن قرص

👈 ولحساب المساحة الجانبية للأسطوانة، 

◼أولا أحسب محيط قاعدتها  التي هي عبارة عن قرص، أحسب محيط القرص ويساوي العدد π × القطر.

◼ثانيا  أضرب المحيط في الارتفاع

👈 ولحساب المساحة الكلية 

◼أولا أحسب مساحة القاعدة (هنا أحدد مساحة القرص وتساوي: π×R×R و R يعني شعاع القرص)

◼ثانيا أضرب المساحة المتوصل إليها في 2 لأن لديها قاعدتين

◼ثالثا أحسب مجموع مساحة القاعدتين والمساحة الجانبية

هذا ما يخص حساب المساحات الجانبيةوالكلية للمجسمات، لكن يجب التمييز بين طريقة القيام بذلك وطريقة حساب حجم المجسمات

فالأولى كما أشرنا إلى ذلك: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

والثانية في درس آخر: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

أنشطة التدريب

1- حدد مساحة الأشكال المبينة في الصور

2- نريد صباغة جدار هذا المنزل بأوجهه الأربعة  دون النوافذ والأبواب والأسطح، إذا علمت أن 1 كيلوغراما من الصباغة يكفي لصباغة 1 ,5m²، فكم عدد الكيلوغرامات اللازمة؟ (نأخذ مساحة كل نافدة 1m² ومساحة الباب 2m²)

فيديو توضيحي حول طريقة حساب المساحات