التحولات الهندسية، أنواع التحولات الهندسية، خصائص وتعاريف، إنشاءات هندسية
في إطار أنشطة التقويم والدعم، والمعالجة والتقوية يسر مدونة رياضياتي أن تقدم لزوارها بشكل حصري مجموعة من الأنشطة والتمارين الهدف منها دعم ومعالجة الثغرات والتعثرات التي قد تواجه المتعلمين والمتعلمات من جهة أو تقوية وتعزيز قدراتهم وكفاياتهم في مادة الرياضيات. ومن خلالها كذلك يستمد المدرسين والمدرّسات وأولياء الأمور طرق تدريس دروس الرياضيات المختلفة حتى يتمكن أبناؤهم وبناتهم من اكتساب المعارف والمهارات الرياضياتية بشكل سهل وسلس.
درس اليوم: التحولات الهندسية: أنواعها، خصائصها،إنشاءات
أي شكل يمكن إعادة رسمه والتعديل عليه للحصول ما نرغب منه شرط الحفاظ على نفس شكله مع تغيير إما في أبعاده، أو مكانه أو اتجاهه أو أشياء أخرى سنراها خلال هذا الدرس.
فالتحويلات الهندسية إذن هي مختلف العمليات التي نقوم بها عندما نريد إعادة رسم شكل ما انطلاقا من الشكل الأصلي (Figure initiale) للحصول على شكل آخر فرعي يسمى صورة الشكل (Figure image) بحسابات أو أبعاد مختلفة وفق قوانين وقواعد محددة.
👈استعمالات التحويلات الهندسية في الحياة اليومية:
من المهارات التي من اللازم تملكها وضبطها من طرف المتعلمين والتي لا يجب المرور عليها مرورا سريعا من طرف المدرسين دون القيام بشرح واف لها هي التحويلات الهندسية، وذلك لكون هذا الدرس ذا أهمية كبرى في تكوين فكرة شمولية عن الهندسة ويجعل المتعلم يوسع تفكيره وينمي خياله، كما أنها (أي التحويلات الهندسية) منطلق لتعلم الفنون الزخرفية والهندسة المعمارية وفنون التصميم الجرافيكي الذي يعتبر مرجعا للتصاميم الحديثة مثل تصميم الرسوم المتحركة والتصميمات ثلاثية الابعاد.
👈أنواع التحويلات الهندسية
تتنوع التحويلات الهندسية حسب التغيرات التي تم القيام بها للانطلاق من الشكل الأصلي (Figure initiale) نحو صورته (Figure image) وتنقسم بذلك إلى خمسة أنواع:
- التماثل المحوري (Symétrie axiale)
- التماثل المركزي (Symétrie centrale)
- الإزاحة أو الانزلاق (Translation)
- التحاكي (التكبير والتصغير) (L'homothétie)
سنتعرف خلال هذا الدرس على ما يميز كل نوع من هذه الأنواع الخمسة، كما سنرافقها بفيديوهات توضيحة لكيفية تحويل الأشكال حسب كل نوع.
1- التماثل المحوري: Symétrie axiale
ويسمى أيضا التناظر المحوري أو الانعكاس (Réflexion) وهو التحول الهندسي الذي يمَكِّننا من الحصول على صورة "مرآة" (Image miroir) للشكل الأصلي (Figure initiale) بالنسبة لمستقيم يسمى محور التماثل.
⇦ وكثيرا ما نجد هذا النوع من التحولات الهندسية في تعاملنا مع الأشياء في حياتنا اليومية:
مثال 1: صورة تمثل انعكاس الأشجار والنباتات على سطح الماء ويعطينا منظرا طبيعيا خلابا، فالصورة الموجودة أسفل الخط هي صورة وهمية للصورة الحقيقية الموجودة فوق الخط.
مثال 2: تعكس المرآة الصورة الحقيقية وتتكون على سطحه صورة وهمية مماثلة للصورة الحقيقية، فسطح المرآة في هذه الحالة هو خط تماثل الذي يفصل بين الصورة الحقيقة والصورة الوهمية.
⇦ خصائص التماثل المحوري:
- كل نقطتين متماثلتين تبتعدان بنفس المسافة عن محور التماثل.
- كل مستقيم يمر من نقطتين متماثلتين يكون متعامدا على محور التماثل.
- التماثل المحوري يحافظ على المسافة، أي أن المسافة الفاصلة بين نقطتين تساوي المسافة الفاصلة بين متماثليهما.
- التماثل المحوري يحافظ على التعامد والتوازي والتقاطع، أي أن صورة مستقيمين متعامدين أو متوازيين أو متقاطعين هما مستقيمان متعامدان أو متوازيان أو متقاطعان.
- التماثل المحوري يحافظ على الزوايا، أي أن قياس زاوية يساوي نفس قياس مماثلتها بالنسبة لمحور التماثل.
- مماثل دائرة بالنسبة لمحور التماثل هو دائرة مركزها مماثل مركز الدائرة الأصلية وشعاعها هو نفس شعاع الدائرة الأصلية.
- التماثل المحوري يحافظ على المساحة، أي أن مساحة شكل تساوي نفس مساحة مماثله بالنسبة لمحور التماثل.
- مماثلة كل نقطة توجد على محور التماثل هي نفسها.
⇦ طريقة إنشاء مماثل شكل بالنسبة لمحور التماثل:
تعرف طريقة إنشاء مماثل الشكل بالنسبة لمحور التماثل مراحل متدرجة عبر مستويات التعليم الابتدائي.
← في المرحلة الأولى تتم هذه العملية بطريقتين: الطي، أي أن لتحديد مماثل شكل بالنسبة لمحور التماثل يتم طي ورقة الرسم على طول هذا المحور، ثم يتم إعادة رسم الشكل كي ينطبق مع الأول. أو استعمال الأنسوخ، حيث يتم رسم الشكل مع محور التماثل على الأنسوخ ثم يتم قلبه على الجهة الأخرى مع مراعاة الحفاظ على موقع محور التماثل.
← في المرحلة الثانية تتم هذه العملية باستعمال شبكة تربيعية، بالطريقة التالية:
- البدء بأحد الرؤوس وتحديد عدد التربيعات الفاصلة بينه وبين محور التماثل
- تحديد مماثل الرأس بحساب نفس العدد من التربيعات في الجهة الأخرى لمحور التماثل بشكل مستقيمي.
- الانتقال إلى الرأس الآخر والقيام بنفس المراحل.
- وفي الأخير يتم الربط بين النقط المتوصل إليها.
←وفي المرحلة الأخيرة تتم هذه العملية باستعمال الأدوات الهندسية وفق الطريقة التالية:
- تحديد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- باستعمال الكوس، رسم كل مستقيم يمر من كل رأس وعمودي على محور التماثل. (يجب استعمال قلم الرصاص لرسم هذه المستقيمات وبخط رقيق حتى نتمكن من محوها في الأخير كما يجب تمديد المستقيمات في الجهة المعاكسة)
- تحديد نقط تقاطع هذه المستقيمات مع محور التماثل.
- باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، تحديد المسافة بين كل رأس ونقطة التقاطع مع محور التماثل بدءا بالرأس الذي يحمل الحرف الأول ثم الثاني حسب الأبجدية.
- باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، تحديد مماثل كل رأس حيث يبعد عن نقطة التقاطع بنفس المسافة المحددة في المرحلة السابقة.
- وضع اسم النقطة المماثلة وهو نفس الحرف الذي يحمله الرأس في الشكل الأصلي مضافا إليه فاصلة (').
- الربط بين النقط المتوصل إليها احتراما للترتيب الأبجدي للحروف.
⇦ فيديو توضيحي يمثل طريقة رسم مماثل شكل بالنسبة للتماثل المحوري.
2- التماثل المركزي Symétrie centrale
إذا كان التماثل المحوري هو التحول الهندسي الذي يسمح بالحصول على مماثل الصورة بالنسبة لمستقيم أو محور، فإن التماثل المركزي هو بنفس الطريقة لكن هنا بالنسبة للنقطة بدل المستقيم.
⇦ خصائص التماثل المركزي:
- إذا كانت A’ مماثلة A بالنسبة للتماثل المركزي الذي Oمركزه فإن O منتصف القطعة [AA’].
- مماثل مستقيم بالنسبة للتماثل المركزي هو مستقيم آخر مواز له.
- مماثل دائرة بالنسبة للتماثل المركزي هو دائرة مركزها مماثل مركز الدائرة الأصلية وشعاعها هو نفس شعاع الدائرة الأصلية.
- التماثل المركزي يحافظ على المسافة، أي أن مماثلة قطع بالنسبة للتماثل المركزي هي قطعة تقايسها.
- التماثل المركزي يحافظ على طبيعة الأشكال، أي أن مماثل شكل بالنسبة للتماثل المركزي هو شكل يشبهه.
- التماثل المركزي يحافظ على قياس الزوايا، أي أن مماثل زاوية بالنسبة للتماثل المركزي هو زاوية تقايسها.
- التماثل المركزي يحافظ على المساحة، أي أن مساحة شكل تساوي نفس مساحة مماثله بالنسبة للتماثل المركزي.
⇦ طريقة إنشاء مماثل شكل بالنسبة للتماثل المركزي
لرسم صورة شكل (مماثل شكل) بالنسبة لمركز تماثل نستعمل الأدوات الهندسية وفق المراحل التالية:
- تحديد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
-باستعمال المسطرة، رسم كل مستقيم يمر من كل رأس ومركز التماثل. (يجب استعمال قلم الرصاص لرسم هذه المستقيمات وبخط رقيق حتى نتمكن من محوها في الأخير كما يجب تمديد المستقيمات في الجهة المعاكسة)
-باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، تحديد المسافة بين كل رأس ومركز التماثل بدءا بالرأس الذي يحمل الحرف الأول ثم الثاني حسب الأبجدية.
-باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، تحديد مماثل كل رأس حيث يبعد عن مركز التماثل بنفس المسافة المحددة في المرحلة السابقة.
-وضع اسم النقطة المماثلة وهو نفس الحرف الذي يحمله الرأس في الشكل الأصلي مضافا إليه فاصلة (').
-الربط بين النقط المتوصل إليها احتراما للترتيب الأبجدي للحروف.
التماثل المركزي هو نوع خاص من الدوران الذي تتحدث عنه الفقرة الموالية.
⇦ فيديو توضيحي يمثل طريقة رسم مماثل شكل بالنسبة للتماثل المركزي.
كما يدل عليه اسمه، الدوران هو تحويل هندسي يتم فيه تدوير شكل (شكل أصلي Figure initiale) وتغيير اتجاهه حول نقطة معينة تسمى مركز الدوران للحصول على شكل آخر يسمى صورة الشكل (Figure image).
وغالبا ما نرمز للدوران بالحرف R متبوعا بـ مركزه ودرجة الدوران.
R(O,150°) ← يعني دوران مركزه O ودرجة الدوران تساوي 150°.
⇦ هنا أيضا بعض الصور والرموز التي استعملت في تصميمها خصائص التماثل المركزي:
⇦ خصائص الدوران
- مركز الدوران عبارة عن نقطة ثابتة حولها يتم الدوران.
- يتم التعبير عن مقدار الدوران بكتابة قياس زاوية الدوران بالدرجة.
- اتجاه الدوران يتم الإعلان عنه إما في اتجاه عقارب الساعة(rotation horaire) أو في اتجاه عكس عقارب الساعة.( rotation anti-horaire)
- الدوران يحتفظ على نفس الأبعاد بين الشكل الأصلي وصورته بالدوران.
- الدوران يحتفظ على نفس قياس الزوايا بين الشكل الأصلي وصورته بالدوران
⇦ حالة خاصة:
كنا قد تطرقنا في الفقرة السابقة إلى التماثل المركزي، فالتماثل المركزي هو حالة خاصة للدوران أي أن التماثل المركزي هو الدوران الذي مركزه هو مركز التماثل المركزي ودرجة الدوران تساوي 180°.
⇦ طريقة إنشاء صورة شكل بالدوران:
← في المستويات الابتدائية تستعمل المصطلحات للقيام بتحويل شكل بالدوران كـ ( نصف دورة، ربع دورة، دورة كاملة...) وهي في الحقيقة درجة الدوران فربع دورة تعني 90° ونصف دورة تعني 180° وهكذا...أما في ما يخص مركز الدوران فغالبا ما يكون مركز الشكل الذي نريد تحويله. وأما ما يخص الاتجاه فيتم استعمال المصطلحين السابقين ( اتجاه عقرب الساعة أو عكس اتجاه عقرب الساعة)
← أما إذا أردنا إنشاء صورة شكل بالنسبة للدوران أينما كان مركزه وكيفما كانت درجة الدوران، فإننا نتبع المراحل التالية:
- نعاين أولا الشكل جيدا ومركز الدوران ودرجة الدوران واتجاه الدوران المطلوب منا.
- نحدد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- باستعمال المسطرة، نربط كل رأس من رؤوس الشكل بمركز الدوران. (يجب استعمال قلم الرصاص لرسم هذه الخطوط وبخط رقيق حتى نتمكن من محوها في الأخير كما لا يجب في هذه الحالة تمديد المستقيمات في الجهة المعاكسة)
- باستعمال المنقلة، نرسم زاوية على كل خط مرسوم قياسها نفس درجة الدوران، بحيث نضع مركز المنقلة على مركز الدوران ودرجة الصفر على كل خط مرسوم بالتتابع، لكن يجب أن لا ننسى اتجاه وضع المنقلة حسب اتجاه الدوران المطلوب منا.
- باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، نحدد المسافة بين كل رأس الشكل ومركز الدوران بدءا بالرأس الذي يحمل الحرف الأول ثم الثاني حسب الأبجدية.
- باستعمال البركار أو المسطرة المدرجة، نحدد نفس المسافة لكل خط مرسوم ووضع اسم النقطة المماثلة وهو نفس الحرف الذي يحمله الرأس في الشكل الأصلي مضافا إليه فاصلة (').
- الربط بين النقط المتوصل إليها احتراما للترتيب الأبجدي للحروف.
⇦ فيديو توضيحي يمثل طريقة رسم صورة شكل بالنسبة للدوران.
4- الإزاحة أو الانزلاق (Translation)
هو تحول هندسي يمكننا من الحصول على صورة شكل (figure image) بتحريك الشكل الأصلي (figure initiale) عموديا أو أفقيا أم قطريا (مائلا).
⇦ وهذا المثال يبين مفهوم الإزاحة بشكل واضح:
⇦ خصائص الإزاحة
- الإزاحة تحافظ على نوعية الشكل وأبعاده وزواياه
- كل رأس من رؤوس الشكل الأصلي يربط مع مقابله في صورة الشكل بنفس المسار (أو نفس القن)
⇦ طريقة إنشاء صورة شكل بالإزاحة:توجد وضعيتان للقيام بهذا الإنشاء:
← وضعية استعمال شبكة التربيعات، وفي هذه الحالة نستعمل قن الانتقال من الشكل الأصلي نحو صورته
← وضعية استعمال متجهة الانتقال دون تربيعات.
الوضعية الأولى:
- نعاين أولا الشكل جيدا وقن الانتقال المطلوب منا اتباعه. وقن الانتقال عبارة عن تعليمات يجب اتباعها للانتقال من مكان إلى آخر، مثلا: للانتقال من النقطة A إلى النقطة B نتبع القن التالي: 3↑ و 2← أي أننا سننتقل بثلاث تربعات نحو الأعلى ثم تربيعتين نحو اليسار.
- نحدد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- نبدأ بالرأس الذي يحمل الحرف الأول: نقوم بنقله متبعا قن الانتقال ثم نحدد مكان صورته (منقوله) بوضع نفس الحرف متبوعا بفاصلة (').
- وهكذا بالنسبة لباقي الرؤوس.
- وفي الأخير أربط بين النقط المتوصل إليها فأحصل على شكل جديد وهو منقول الشكل الأصلي.
الوضعية الثانية:
- نعاين أولا الشكل جيدا ومتجهة الإزاحة وهي عبارة عن سهم يحدد اتجاه الانتقال وطوله يحدد طول مسار الانتقال.
- نحدد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- أبدأ بالرأس الذي يحمل الحرف الأول: باستعمال الأدوات الهندسية المناسبة، أرسم مستقيما يمر من هذا الرأس وموازيا لحامل سهم الانتقال.
- باستعمال البركار أو المسطرة، أحدد طول سهم الانتقال وهو نفس الطول الذي أحدده على المستقيم الذي رسمته بدءا من الرأس ونهاية بمنقوله (صورته) حيث أضع نفس اسم الرأس متبوعا ب فاصلة (').
- أقوم بنفس الطريقة بالنسبة لباقي الرؤوس.
- وفي الأخير أربط بين النقط المتوصل إليها فأحصل على شكل جديد وهو منقول الشكل الأصلي.
⇦ فيديو توضيحي يمثل طريقة رسم صورة شكل بالنسبة للإزاحة.
ويعني أيضا تكبير وتصغير الأشكال وهو تحول هندسي يمكننا من الحصول على تكبير أو تصغير للشكل الأصلي (figure initiale) وفق مقدار معين. فالتحاكي إذن هو التحول الهندسي الوحيد الذي يغير من أبعاد الأشكال عند تحويلها.
المثلث A’B’C’ هو تكبير للمثلث ABC بالتحاكي الذي مركزه O ومقداره 2 أي أن كل ضلع في المثلث A’B’C’ يساوي ضعف الضلع المقابل معه في المثلث ABC. (صورة)
⇦ هذا الفسيفساء تم إعداده باعتماد خصائص التحاكي.
⇦ خصائص التحاكي:
-نرمز للتحاكي بالرمز H متبوعا بمركزه الذي يتم الانطلاق منه ومقدار التكبير أو التصغير: H(O,k). فإذا كان k أكبر من 1 نتحدث عن التكبير وإذا كان محصورا بين 0 و1 فإننا نتحدث عن التصغير. كما يمكن لمقدار التحاكي أن يكون سالبا.
- التحاكي لا يحافظ على أبعاد الشكل كباقي التحولات الهندسية الأخرى، لكنه يحافظ على قياس الزوايا وطبيعة الشكل.
⇦ طريقة إنشاء صورة شكل بالتحاكي:توجد وضعيتان للقيام بهذا الإنشاء:
← في المستويات الابتدائية: لإنشاء تكبير أو تصغير لشكل يتم الاستعانة بالشبكة، وفي هذه الحالة نستعمل عدد التربيعات كمقدار التكبير أو التصغير
← وفي المستويات الأعلى يتم إنشاء صورة شكل بالتحاكي بتوظيف مركز ومقدار التحاكي k.
الوضعية الأولى:
- نعاين أولا الشكل جيدا، ومقدار التكبير أو التصغير المطلوب مني.
- نحدد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- نبدأ بالرأس الذي يحمل الحرف الأول، أحدد احداثياته (موقعه) على الشبكة، وبنفس الاحداثيات أحدد النقطة التي تقابلها على الشبكة الأخرى.
- وهكذا بالنسبة لباقي الرؤوس.
- وفي الأخير أربط بين النقط المتوصل إليها فأحصل على شكل جديد وهو تكبير أو تصغير للشكل الأصلي.
(هذه هي أسهل طريقة يمكن القيام بها وتوجد طرق أخرى)
الوضعية الثانية:
- نعاين أولا الشكل جيدا ومركز التحاكي ومقدار التحاكي و أحدد هل هو أكبر من 1 أو أصغر منه.
- نحدد رؤوس الشكل وتسمية كل رأس بوضع حرف إلى جانب كل واحد محترما الترتيب الأبجدي للحروف.
- أبدأ بالرأس الذي يحمل الحرف الأول: باستعمال المسطرة أرسم مستقيما مار من الرأس ومن مركز التحاكي.
- باستعمال المسطرة، أقيس طول القطعة التي طرفيها مركز التحاكي والرأس المحدد.
- أضرب المسافة المتوصل إليها في مقدار التحاكي.
- ارسم على نفس المستقيم، قطعة طولها ما تم التوصل إليه بدءا من مركز التحاكي وأحدد نهايتها بوضع نفس اسم الرأس متبوعا ب فاصلة (').
- أقوم بنفس الطريقة بالنسبة لباقي الرؤوس.
- وفي الأخير أربط بين النقط المتوصل إليها فأحصل على شكل جديد وهو تكبير أو تصغير للشكل الأصلي.
⇦ فيديو توضيحي يمثل طريقة رسم صورة شكل بالنسبة للتحاكي.
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى