الأعداد الكسرية: خصائص، علاقات، عمليات

الأعداد الكسرية، خصائص الأعداد الكسرية، العلاقات بين أنواع الأعداد، استعمالات العددالكسري، عمليات على الأعداد الكسرية، أنشطة تطبيقية للأعداد الكسرية

في إطار أنشطة التقويم والدعم، والمعالجة والتقوية يسر مدونة رياضياتي أن تقدم لزوارها بشكل حصري مجموعة من الأنشطة والتمارين الهدف منها دعم ومعالجة الثغرات والتعثرات التي قد تواجه المتعلمين والمتعلمات من جهة أو تقوية وتعزيز قدراتهم وكفاياتهم في مادة الرياضيات. ومن خلالها كذلك يستمد المدرسين والمدرّسات وأولياء الأمور طرق تدريس دروس الرياضيات المختلفة حتى يتمكن أبناؤهم وبناتهم من اكتساب المعارف والمهارات الرياضياتية بشكل سهل وسلس.

درس اليوم: الأعداد الكسرية

تــقـــديــــم:

تختلف الأعداد من حيث استعمالاتها وإجراء العمليات عليها، فعند القيام بعدِّ الأشياء الطبيعية نستعمل الأعداد الصحيحة الطبيعية المعروفة ويعتبر الصفر أصغر هذه الأعداد، كما أن ليس لها نهاية ( درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية)، وأحيانا نضطر إلى تجزيء الأعداد الصحيحة إلى أعداد أخرى تسمى أعداد عشرية حيث يوجد بين كل عددين صحيحين عددا لا متناهي من الأعداد العشرية ( درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية)، هذه الأعداد رغم كثرتها إلى أنها يمكننا إيجادها على المستقيم المدرج أي أن لها مكان وتدريجة خاصة بها، لكن هناك بعض الأعداد كما رأينا في درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والعشرية، ليس لها وجود على المستقيم العددي، فما هي إذن هذه الأعداد؟؟

هذه الأعدد هي التي بصدد التحدث عنها اليوم، إنها الأعداد الكسرية، فما هو العدد الكسري؟ وكيف نتعرف عليه؟ وكيف نميز بينه وبين بقية الأعداد؟ وما هي استعمالاته؟ وكيف يتم إجراء العمليات عليه؟

أولا ⇐ التمييز بين الأعداد (الصحيحة، العشرية ، الكسرية)

◀العدد الصحيح هو كل عدد يتكون من أرقام مرتبة ضمن الفصول التالية: فصل الوحدات البسيطة، فصل الآلاف، فصل الملايين ، فصل الملايير ... إلخ (العدد ليس له نهاية). ونستعمل جدول خاص لقراءة العدد الصحيح. (يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية من هنا)

◀العدد العشري هو كل عدد يتكون، إضافة إلى الجزء الصحيح (المكون من الفصول السابقة الذكر)، من الجزء العشري أيضا الذي يتكون بدوره من الأعشار وأجزاء المائة وأجزاء الآلاف... وتفصل بينهما الفاصلة. (يمكن الرجوع إلى درس التعامل مع الأعداد الصحيحة والأعداد العشرية من هنا)

◀العدد الكسري هو كل عدد يتكون بدوره من جزئين (صحيح وعشري)، لكن الفرق بينه وبين العدد العشري أن الجزء العشري منه غير منته أي أنه يتكون من أرقام مكررة ولا نهاية لها، مثال: لو قمنا بقسمة العدد 13 على 11 فسنجد أنه يساوي العدد ...1,18181818 نلاحظ تكرار الرقمين 1 و 8 بلا نهاية ، لهذا لا يمكن تحديد مكانه بالضبط على المستقيم المدرج عكس العدد الصحيح أوالعدد العشري. ويبقى السؤال المطروح، إذا كان العدد الكسري يتكون من جزء عشري غير منته، فكيف إذن كتابته؟؟

👈👈كتابة العدد الكسري:

لكتابة العدد الكسري نستعمل طريقة مختلفة تماما عن الأعداد الأخرى، وهي أن كل عدد كسري يتكون من رقمين بينهما خط يسمى خط الكسر، العدد الموجود في الأعلى يسمى البسط والعدد الموجود في الأسفل يسمى المقام ويخالف دائما الصفر، كما يوضح الشكل التالي:

👈👈العلاقات بين مختلف أنواع الأعداد

رغم الاختلاف بين أنواع الأعداد السابقة، فإن هناك علاقات بينها، فما هي هذه العلاقات؟

◀قلنا أن العدد الصحيح يتكون من الجزء الصحيح فقط، لكن يمكن كتابته على شكل عدد عشري بإضافة فاصلة وأصفار بعدها، لأن الأصفار بعد الفاصلة لا تغير من العدد، مثال: 23 = 23,00 قمنا بتحويل العدد الصحيح إلى العدد العشري، وهذا يعني أن كل عدد صحيح يمكن كتابته على هذا الشكل وبالتالي فكل عدد صحيح هو عدد عشري والعكس ليس صحيحا أي أن كل عدد عشري ليس عددا صحيحا.

◀نفس الأمر يتعلق بالعلاقة بين العدد الصحيح والعدد الكسري، أي أن كل عدد صحيح يمكن كتابته على شكل عدد كسري وذلك بكتابة نفس العدد في البسط وكتابة العدد 1 في المقام، مثال:

نستنتج إذن أن كل عدد صحيح هو عدد كسري والعكس غير صحيح أي أن كل عدد كسري ليسا عددا صحيحا.

◀وبنفس الطريقة يمكن تحويل العدد العشري إلى عدد كسري، وذلك بوضع العدد بدون فاصلة في البسط ومضاعفات العدد 10 (10، 100 ، 1000 ، ...) في المقام حسب عدد الأرقام وراء الفاصلة، مثال:

نستنتج مما سبق أن كل عدد صحيح فهو في نفس الوقت عدد عشري وعدد كسري وأن كل عدد عشري هو عدد كسري، أي أن مجموعة الأعداد الكسرية أكبر من مجموعة الأعداد العشري وبدورها أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة، كما توضح الصورة التالية:

👈👈استعمالات الأعداد الكسرية

الأعداد المعروفة لدى تلاميذ منذ المستوى الأول من التعليم الابتدائي هي الأعداد الصحيحة، ثم بعد ذلك يكتشف من خلال وضعيات عدم كفاية هذه الأعداد والحاجة إلى اكتشاف أعداد جديدة ومن بين هذه الأعداد الجديدة: الأعداد الكسرية.

سنتطرق هنا إلى بعض الوضعيات التي من خلالها نكتشف عدم كفاية الأعداد الصحيحة والحاجة إلى استعمال الأعداد الكسرية.

كثيرا ما نسمع ونستعمل كلمات مثل: النصف والثُّلث والرُّبُع والخُمُس والسُّدُس... ثلاثة أخماس، ثلاثة أرباع ... هذه الكلمات تعبر عن كمية، لكن، كيف يمكننا التعبير عنه رياضيا؟

✅الوضعية1

لو طلبت منك تحديد عدد التفاحات الموجودة في الصورة الأولى ، سيكون الجواب هو ثلاث تفاحات وستكتب العدد 3

لاحظ الآن هذه الصورة هل يمكنك تحديد عدد التفاحات الموجودة في كل حالة؟

- في الحالة الأولى، يوجد نصف تفاحة، فكيف إذن نعبر عن النصف في الرياضيات؟ هنا نستعمل إذن العدد الكسري1/2

- في الحالة الثانية، يوجد تفاحة ونصف تفاحة، للتعبير عنه رياضيا نستعمل العدد الكسري 3/2

- في الحالة الثالثة، يوجد تفاحة وربع تفاحة أي 5/4

- في الحالة الرابعة، توجد تفاحتين ونصف أي 5/2

-وفي الحالة الخامسة، توجد تفاحتين ونصف واحد وربع واحد أي 11/4

✅الوضعية 2:

قمت بتقسيم كعكة دائرية واحدة إلى أربعة أجزاء متساوية.

← في المرة الأولى أكلت الجزء الأول، ما هو العدد الذي يمثل الجزء الذي أكلت والأجزاء المتبقية؟

← ثم بعد ذلك أكلت جزءا آخر، ما هو العدد الذي يمثل مجموع ما أكلت والأجزاء المتبقية؟

← ثم أكلت الجزء الأخير، فما هو العدد الذي يمثل مجموع ما أكلت ؟

⟻ أكلت جزءا واحدا من هذه الكعكة، هذا الجزء يمثل ربع الكعكة، ونعبر عنه رياضيا بالعدد الكسري 1/4، أي أنني أكلت قطعة واحدة من أصل 4 قطع، والعدد الكسري الذي يمثل عدد الأجزاء المتبقية هو 3/4 أي أنه بقيت ثلاثة أجزاء من أصل أربعة.

⟻ بعد ذلك، أكلت قطعة أخرى، يعني أنني أكلت قطعتين من أصل 4 قطع، سنعبر عن هذا بقولنا أكلت 2/4 من الكعكة وبقي قطتين من أصل أربعة أي 2/4 وهذا يعني أيضا أنني أكلت نصف الكعكة ، وبقي النصف الآخر، ونعبر عنه بكتابة 1/2 أي أنني أكلت نصف من أصل نصفين. وهنا نستنج أن 2/4 = 1/2 وسنرى ذلك في الفقرات المقبلة.

⟻ ثم بعد ذلك، أكلت قطعة أخرى، فيكون مجموع القطع التي أكلتها هي ثلاثة من أصل أربعة أي 3/4 ويسمى ثلاثة أرباع. وبقيت قطعة واحدة من أصل أربعة أي ربع واحد (1/4).

⟻ وفي الأخير، أكلت القطعة الأخيرة، فأكون قد أكلت 4 قطع من أصل 4 ونعبر عنه بـ 4/4 أي كعكة واحدة كاملة، فنستنج إذن أن 1= 4/4.

✅الوضعية 3:

نجح في امتحان ثلثي الطلاب، ما عدد الناجحين، وعدد الراسبين، إذا علمت أن عدد الممتحنين هو 21 طالبا؟

⟻ الثلث نعبر عنه بـ 1/3، والثلثين نعبر عنهما بـ 2/3.

⟻ نجح في الامتحان ثلثي الطلاب أي 2/3 ، وهذا يعني أن من كل ثلاثة طلاب نجح منهم اثنان، ومن كل 6 سينجح 4 (نتابع بهذا الترتيب) ومن كل 9 سينجح 6 ومن كل 12 سينجح 8 ومن كل 15 سينجح 10 ومن كل 18 سينجح 12 ومن كل 21 (وهو عدد الطلاب) سينجح 14. ويكون عدد الراسبين هو 7 .

⟻ ويمكن الإجابة عن أمثلة لهذه المسألة الرياضية بشكل مباشر وذلك بضرب عدد الطلاب في الثلثين ( سنرى ذلك في الفقرات المقبلة) 14= 21× 2/3

✅الوضعية 4

دار متسابق حول الحلبة 3 دورات مستغرقا ساعة واحدة، ما هي المدة الزمنية المستغرقة في كل دورة؟

⟻ للإجابة على هذا السؤال نقوم بقسمة 1 (ساعة واحدة) على 3، فنحصل على العدد 0,333333 ساعة، نلاحظ أن الجزء العشري لهذا العدد يتكرر ولا ينتهي أبدا، فكيف إذن نجيب على هذا السؤال؟

⟻ نكتبه على شكل عدد كسري أي 1/3 ثم نقوم بضربه في 60 (راجع طريقة تحويل الساعات إلى الدقائق من هنا) فنحصل على ما يلي: 20= 60×1/3. أي مدة كل دورة هي 20 دقيقة.

✅الوضعية 5

كنا قد تطرقنا إلى درس الأعداد العشرية (يمكن الرجوع إليه من هنا)، وقلنا إن العدد العشري يتكون من جزئين: الجزء الصحيح والجزء العشري، هذا الأخير (أي الجزء العشري) يتكون بدوره من رتب مختلفة وهي بالترتيب: الأعشار ثم أجزاء المائة ثم أجزاء الآلاف...، فهل تساءلت يوما لماذا تسمى بهذه الأسماء؟

⟻ لنأخذ مثلا كلمة الأعشار، هذه الكلمة تدل على الجمع، مفردها عُشُر، وهذا عدد كسري نمثله بـ 1/10، لكن لماذا هذا العدد؟

لنأخذ هذا المثال:

⟻ نلاحظ هنا أن عدد الأجزاء بين كل تدريجتين رئيسيتين هو 10 أجزاء، لذا فالجزء الأول يمثل 1/10 أي جزء واحد من أصل 10 أجزاء وهذا ما يسمى بالعُشُر، والجزء الثاني يمثل 2/10 أي جزأين من أصل 10 ويسمى عُشُرَيْن ... وهكذا، إلى أن نصل إلى الجزء العاشر الذي يمثل 10/10 أي 1، ثم إلى الجزء العشرين الذي يمثل 20/10 أي 2 وهكذا...

⟻ كما نلاحظ من خلال هذا المستقيم أن:

⟻ لنرى الآن الرتبة الأخرى: أجزاء المائة من خلال هذا المثال:

⟻ قمنا هنا بتكبير للمستقيم السابق كي تظهر التدريجات الأخرى الصغيرة، فإذا قمنا بتحديد عدد التدريجات الصغيرة بين كل تدريجتين رئيسيتين فسنحصل على 100 أي 100 جزء لذا تسمى هذه الرتبة بأجزاء المائة، فالجزء الأول يمثل 1/100 أي جزء واحد من أصل 100 جزء والجزء الثاني يمثل 2/100 أي جزئين من أصل 100 جزء... وهكذا إلى أن نصل إلى الجزء المائة الذي يمثل 100/100 أي العدد 1 ...

⟻ كما نلاحظ من خلال المستقيم العددي أن

⟻ بنفس الطريقة يتم تمثيل بها أجزاء الآلاف...

ثانيا ⇐ العمليات على الأعداد الكسرية

بعد أن تعرفنا على العدد الكسري واستعمالاته المتنوعة في الرياضيات وفي الحياة اليومية، دعونا الآن نتعرف على أنواع العمليات على الأعداد الكسرية:

⏪⏪1- التساوي:

لو طلبت منك مرة أخرى تحديد عدد التفاحات الموجودة في هذه الصورة، ستقول أن عددها هو ثلاثة وستكتبها بالأرقام على الشكل 3،

ولو طلبت منك إن كان بالإمكان كتابتها على شكل آخر فلن تسطيع القيام بذلك لأن العدد 3 يكتب بهذا الشكل فقط ولا توجد أعداد أخرى تساوي هذا العدد إلا في حالة إضافة أصفار في جهة اليمين 3، 03 ، 0003 ، 0000003 ...

العكس تماما يحدث في الأعداد الكسرية، أي أن أيَّ عدد يمكن كتابته بعدة كتابات مختلفة، فكيف ذلك؟

انظر مثلا إلى هذه الأعداد الكسرية:

لو قمنا بإنجاز عمليات القسمة: 6 على 2 و 9 على 3 و36 على 12 و 300 على 100 و135 على 45، فإننا في جميع العمليات سنحصل على نتيجة واحدة وهي العدد 3.

من هنا نستنتج أن الأعداد الكسرية السابقة متساوية أي :

⟻ قلنا قبل قليل، أن كل عدد كسري له ما لا نهاية له من الأعداد التي تساويه، فكيف نحصل على الاعداد الكسرية المتساوية؟

👈الطريقة هي أننا نقوم بضرب البسط والمقام في نفس العدد، وتسمى هذه الطريقة توسيع العدد الكسري أي كأننا نقوم بتوسيع العدد إلى أعداد أخرى دون أن نغير من قيمته.

👈 أو قسمة البسط والمقام على نفس العدد، وتسمى هذه الطريقة بالاختزال وهي عكس طريقة التوسيع، أي كأننا نقوم بتقليص العدد إلى أقل عدد ممكن

⟻ والسؤال الذي يمكن طرحه الآن: كيف أعرف أن عددين كسريين متساويين؟

👈 إما أن نتبع إحدى الطريقتين السابقتين (التوسيع أو الاختزال) ونحدد إن كانت هناك إمكانية الضرب أو القسمة بين بسطي ومقامي العددين. مثلا:

في الحالة 1: هناك تساو، لأننا يمكن التوسيع بضرب بسط ومقام العددالأول (5/3) في 7 ونحصل على العدد الثاني (35/21). أو يمكن الاختزال بقسمة مقام وبسط العدد الثاني (35/21) على 7 فنحصل على العدد الأول (5/3).

وفي الحالة 2: لا يوجد عدد يمكن ضربه في بسط ومقام العدد الأول كي نحصل على العدد الثاني، وبالتالي ليس هناك تساو.

👈 الطريقة الأخرى والأسهل لمعرفة إن كان عددان كسريان متساويين هي الممثلة في الصورة

وهي ضرب كل بسط في مقام العدد الآخر فإن حصلنا على نفس النتيجة فهذين العددين متساويين وإلا فليسا كذلك.

لنأخذ المثال التالي:

في الحالة1: هناك تساو، لأن بسط العدد الأول (5) مضروب في مقام العدد الثاني(21) يساوي بسط العدد الثاني(35) مضروب في مقام العدد الأول (3)

في الحالة 2: ليس هناك تساو، لأن بسط العدد الأول(5) × مقام العدد الثاني(12) لا يساوي بسط العدد الثاني(16) × مقام العدد الأول(13)

⏪⏪2-التوسيع والاختزال

تم التطرق إلى هاتين الخاصيتين في الفقرة السابقة:

فالأولى هي أن نقوم بضرب بسط ومقام عدد كسري في نفس العدد، فنحصل على عدد كسري آخر يساويه، وسنتطرق إلى هذه الخاصية خلال القيام بعملية توحيد مقامي عدد كسري.

والثانية هي عكس الأولى أي نقوم بقسمة بسط ومقام عدد كسر على نفس العدد، فنحصل على عدد كسري آخر يساويه.

⟻ طريقة عملية الاختزال:

هذه العملية ترافق دائما العمليات الأخرى على الأعداد الكسرية ، فكثيرا ما نجد السؤال:احسب ثم اختزل.

وهي عملية لا تتوقف حتى تكون القسمة على نفس العدد مستحيلة. ومن بين طرق القيام بهذه العملية:

👈الطريقة الأولى: نقوم بعملية القسمة على نفس العدد حتى يستحيل القيام بذلك (أي اختزال بعد اختزال):

👈الطريقة الثانية: نبحث عن القاسم المشترك الأكبر بين البسط والمقام (يمكن الرجوع إلى درس المضاعفات والقواسم من هنا)، وهو العدد الذي نقوم بقسمة كل من البسط والمقام عليه، بحيث لا يمكن القيام بالاختزال مرة أخرى

👈الطريقة الثالثة: نحول كل من البسط والمقام إلى جداء عوامل، ثم نختزل بالأعداد المكررة في البسط والمقام.

⏪⏪3-توحيد المقام

👈 توحيد مقامي عددين كسريين يعني البحث عن عددين مساويين لهذين العددين ولهما نفس المقام.

لنأخذ المثال التالي :

← العددان ليس لهما نفس المقام ( مقام العدد الأول هو 4 ومقام العدد الثاني هو 3)

← نقوم بعملية توسيع العددين ( أي نضرب كل من البسط والمقام في نفس العدد)

← نبحث ضمن السلسلتين عن عددين لهما نفس المقام.

← فنكون قد حصلنا على عددين مساويان للعددين السابقين ولهما نفس المقام، وهما

👈 لكن كيف يمكن القيام بتوحيد المقام بشكل مباشر؟ دون المرور من كل المراحل السابقة:

نأخذ العدد الكسري الأول ونضرب بسطه ومقامه في مقام العدد الكسري الثاني.

ثم نأخذ العدد الكسري الثاني ونضرب بسطه ومقامه في مقام العدد الكسري الأول.

لنأخذ المثال:

نضرب العدد الكسري الأول (7/3) في مقام العدد الكسري الثاني (8) ثم نضرب العدد الكسري الثاني (5/8) في مقام العدد الكسري الأول (3).

👈وتوجد طريقة أخرى لتوحيد المقامات، يستحسن القيام بها خلال إنجاز عمليتي الجمع والطرح على الأعداد الكسرية، وذلك تجنبا للاختزال في نهاية العملية ( سنرى ذلك في الفقرات المقبلة).

هذه الطريقة نقوم بها فقط عندما يكون أحد المقامين مضاعف للمقام الآخر ( للرجوع إلى درس المضاعفات يرجى الضغط هنا)

← نحدد مقامي العددين ونتأكد أن أحدهما مضاعف للآخر.

← نستخرج قيمة الضعف (أي العدد الذي نضرب به أصغر مقام للحصول على أكبر مقام)

← نترك العدد الكسري الذي له مقام أكبر دون تغيير.

← نأخذ العدد الكسري الذي له أصغر مقام ونضرب مقامه وبسطه في قيمة الضعف.

وكمثال على ذلك:

👈كما يمكن القيام بتوحيد المقام بطريقة أخرى،وهي البحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، هذا المضاعف هو المقام الموحد للعددين الكسريين الذين أريد توحيد مقاميهما. وكمثال على ذلك:

⏪⏪4-المقارنة والترتيب

👈 توجد أربع احتمالات يمكن أن يظهر عليه عددان كسريان، وعلى ضوء هذه الاحتمالات أقارن بينهما:

الاحتمال الأول: العددان الكسريان لهما نفس المقام ويختلفان في البسط.

← أكبرهما هو الذي له أكبر بسط، وأصغرهما هو الذي له أصغر بسط.

الاحتمال الثاني: العددان الكسريان لهما نفس البسط ويختلفان في المقام

← أكبرهما هو الذي له أصغر مقام، وأصغرهما هو الذي له أكبر مقام.

الاحتمال الثالث: العددان الكسريان لهما نفس البسط ونفس المقام.

← في هذه الحالة متساويان

الاحتمال الرابع: العددان الكسريان ليس لهما لا نفس المقام ولا نفس البسط.

← في هذه الحالة، نقوم بتوحيد مقاميهما باتباع الطريقة التي رأيناها في الفقرة السابقة، فنحصل في الأخير على عددين لهما نفس المقام وأطبق الاحتمال الأول.

أمثلة:

👈 توجد طريقة أخرى نقوم بها لمقارنة عددين كسريين، لكن تبقى صالحة في حالة الأعداد الموجبة فقط (الأعداد الطبيعية)، وهي: نضرب بسط كل عدد في مقام الآخر ونقارن بين الجداءين.

وكمثال على ذلك:

👈 توجد طريقة أخرى تساعدنا أحيانا في مقارنة الأعداد الكسرية وهي أننا نقوم باستغلال القاعدة التالية:

إذا كان البسط أكبر من المقام فإن العدد الكسري يكون أكبر من 1.وإذا كان البسط أصغر من المقام فإن العدد الكسري أصغر من 1

مثلا:

⏪⏪5-الجمع والطرح

👈 تم جمع العمليتين (الجمع والطرح) في فقرة واحدة، لأننا نستعمل نفس الطريقة عند إنجازهما.

👈 هاتان العمليتان تُنْجَزَانِ على ضوء احتمالين:

-الاحتمال الأول: جمع أو طرح عددين كسريين لهما نفس المقام.

← في هذه الحالة نقوم بعملية الجمع أو الطرح بالنسبة للبسطين فقط ونحتفظ بنفس المقام

-الاحتمال الثاني: جمع أو طرح عددين كسريين ليس لهما نفس المقام:

← في هذه الحالة نوحد مقاميهما ثم نطبق الاحتمال الأول أي نقوم بعملية الجمع أو الطرح بالنسبة للبسطين فقط ونحتفظ بنفس المقام

بالنسبة لعملية الجمع:

بالنسبة لعملية الطرح:

أمثلة:

👈 تلاحظون أن عملية توحيد المقام ملازمة كذلك لإنجاز عمليتي الجمع والطرح في حالة اختلاف مقامي العددين، ورأينا في الفقرة السابقة طريقتين للقيام بذلك (يمكن الرجوع إليها أعلاه)، ويستحسن القيام بالطريقة الثانية في حالة أن أحد المقامين مضاعف للآخر، وذلك تبسيطا للاختزال، وربحا للوقت. ولتوضيح أكثر نأخذ هذا المثال:

عند القيام بالطريقة الأولى، نضطر إلى القيام بعملية الاختزال، عكس الطريقة الثانية التي من خلالها حصلنا على عدد مختزل أي لا يحتاج إلى اختزال.

هذه الطريقة قمنا بشرحها خلال الحديث عن توحيد المقامات، وكما أشرنا فالطريقة الثانية لا نقوم بها إلا في حالة كون أحد المقامين مضاعف للآخر، حيث نترك العدد الكسري الذي له أكبر مقام بدون تغيير ونضرب العدد الكسري الثاني كي نحصل على نفس مقام العدد الأول، حتى نتمكن من إنجاز العملية (الجمع أو الطرح)

👈ويمكن كذلك القيام بطريقة أخرى وهي البحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، هذا المضاعف المشترك الأصغر هو المقام الموحد بين العددين. (يمكن الرجوع إلى طريقة توحيد مقامي عددين كسريين)

استنتاج:
ما يتم الانتباه إليه هو أن عمليتي جمع أو طرح عددين كسريين لا نقوم بهما إلا في حالة احتواء العددين على نفس المقام.

⏪⏪6-عملية الضرب

👈 تعتبر من أسهل العمليات على الأعداد الكسرية، لأن عند إنجازها نقوم بشكل مباشر بضرب البسطين وضرب المقامين.

لنأخذ الأمثلة التالية:

ما يجب الانتباه إليه هنا، هو أن عملية اختزال بنفس العدد لا يتم إلا بوجود جداء عوامل.

⏪⏪7-عملية القسمة

👈 هنا نستحضر مصطلحا جديدا، هو مقلوب العدد الكسري، ما هو مقلوب العدد الكسري، وما هي استعمالاته؟

مقلوب عدد كسري هو عدد كسري آخر بسطه هو مقام العدد الأول ومقامه هو بسط العدد الأول، أي قمنا كما يدل عليه اسمه بقلبه، أي ما يوجد في الأعلى وضعناه في الأسفل والعكس ما يوجد في الأسفل وضعناه في الأعلى.

أمثلة :