أنواع الرباعيات، رباعيات الأضلاع، تعريف الرباعيات، إنشاء الرباعيات، الرباعي المحذب، الرباعي المقعر، شبه المنحرف، أسرة متوازيات الأضلاع، المربع، المستطيل، المعين
في إطار أنشطة التقويم والدعم، والمعالجة والتقوية يسر مدونة رياضياتي أن تقدم لزوارها بشكل حصري مجموعة من الأنشطة والتمارين الهدف منها دعم ومعالجة الثغرات والتعثرات التي قد تواجه المتعلمين والمتعلمات من جهة أو تقوية وتعزيز قدراتهم وكفاياتهم في مادة الرياضيات. ومن خلالها كذلك يستمد المدرسين والمدرّسات وأولياء الأمور طرق تدريس دروس الرياضيات المختلفة حتى يتمكن أبناؤهم وبناتهم من اكتساب المعارف والمهارات الرياضياتية بشكل سهل وسلس.
درس اليوم: الأشكال الرباعية (الرباعيات)
الرباعيات هي المضلعات ذات أربعة أضلاع وتختلف أسماء هذه المضلعات حسب خصائص كل واحدة منها.وسنرى في هذا الدرس أنواع هذه المضلعات وخصائص التي يتميز بها كل نوع وكذلك طريقة إنشاء هذه المضلعات ، كما يتضمن الدرس في آخره، أنشطة التدريب والتقويم للتعرف عن مدى التمكن من الأشكال الرباعية وخصائصها.
أولا: تذكير
قبل أن نبدأ في درس اليوم، لا بد من التذكير ببعض المفاهيم الرياضياتية المرتبطة بهذا الدرس.
المفهوم الأول: المستقيم
المستقيم كما يدل عليه اسمه عبارة عن خط مستقيم يرسم باستعمال المسطرة أو أداة أخرى مستقيمة لا توجد بها انحناءات، ونرمز له بالقوسين ( ).
👈خصائص المستقيم:
- المستقيم ليس له حدود عكس القطعة التي هي محدودة من الجهتين، أي أن المستقيم يمكن تمديده من الجهتين إلى ما لا نهاية.
- من نقطة واحدة تمر عدة مستقيمات.
- من نقطتين يمر مستقيم واحد.
المفهوم الثاني: تقاطع مستقيمين.
تقاطع مستقيمين يعني أنهما يشتركان في نقطة واحدة.
المفهوم الثاني: تعامد مستقيمين.
تعامد مستقيمين يعني أنها متقاطعان ويشكلان زاوية قائمة. ونرمز للتعامد بهذا الرمز ┴ ، وللتحقق من التعامد نستعمل أداة الكوس.
( يمكن مشاهدة الفيديو في الأسفل للتعرف على طريقة التحقق من التعامد وطريقة إنشاء مستقيمين متعامدين)
المفهوم الثالث: توازي مستقيمين
توازي مستقيمين يعني أنهما لا يشتركان في أية نقطة، أي أنهما لا يتقاطعان نهائيا. ونرمز للتوازي بهذا الرمز // . وللتحقق من التوازي نستعمل المسطرة والكوس ( يمكن مشاهدة الفيديو في الأسفل للتعرف على طريقة التحقق من التوازي وإنشاء مستقيمين متوازيين )
المفهوم الرابع: تطابق مستقيمين
تطابق مستقيمين يعني أنهما يشتركان في أكثر من نقطة. والتطابق حالة خاصة للتوازي
بصفة عامة: كل مستقيمين في المستوى، إما أن يكونا متقاطعين أو متوازيين لا أقل ولا أكثر.
• إذا كانا متقاطعين وشكَّـلا زاوية قائمة فإنهما متقاطعان ومتعامدان، وإلا فهما متقاطعان فقط دون تعامد.
• إذا كانا متوازيان ويشتركان في نقطة فإنهما متطابقان، وإلا فهما متوازيان قطعا غير متقاطعين نهائيا.
هام جدا: مستقيمان يبدوان غير متقاطعين على شكل ما، لا يعني أنهما متوازيان، نقوم فقط بتمديد المستقيمين فنلاحظ أنهما يتقاطعان.
ثانيا: تعريف الرباعيات
كما أشرنا في مقدمة الدرس، فالرباعيات كما يدل عليها اسمها تتكون من أربعة أضلاع تتلقى في أربعة رؤوس مشكلة أربعة زوايا. إضافة إلى ذلك توجد خصائص أخرى:
• مجموع زوايا الرباعيات كيفما كان نوعه وشكله يساوي 360°.
• للرباعيات قطران فقط (وهما المستقيمان اللذان يمران عبر كل رأسين متقابلين )
• الرباعي المنظم هو المربع وسنتطرق إلى ذلك في الدرس. (الشكل المنظم هو كل شكل أضلاعه متقايسة وزواياه متقايسة)
ثالثا: أنواع الرباعيات
كما رأينا في الفقرة السابقة أن كل رباعي يتكون من أربعة أضلاع كل ضلع يقابله ضلع آخر، ويتكون أيضا من قطرين (والقطر هو كل مستقيم يربط بين رأسين متقابلين)، لذا سنتطرق في هذه الفقرة إلى أنواع الرباعيات حسب الأضلاع وحسب القطرين.
ويمكن تقسيم الرباعيات إلى ثلاثة أنواع أساسية وهي:
• النوع الأول:
👈حسب الأضلاع: أضلاعه المتقابلة غير متوازية.
👈حسب القطرين: قطراه يلتقيان في نقطة لا توجد على استقامة واحدة مع أي منتصف من منتصفي الضلعين المتقابلين.
• النوع الثاني:
👈حسب الأضلاع: ضلعان فقط هما المتوازيان.
👈حسب القطرين: قطراه يلتقيان في نقطة توجد على استقامة واحدة مع منتصف أحد الضلعين المتقابلين (المتوازيين).
• النوع الثالث:
👈حسب الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متوازيان(أي كل ضلع يوازي الضلع المقابل معه) ومتقايسان ( أي أن كل ضلع يقايس الضلع المقابل له
👈حسب القطرين: قطراه يلتقيان في نقطة توجد على استقامة واحدة مع منتصف كل ضلعين متقابلين.
(وبعبارة أخرى: قطراه يلتقيان في منتصفهما)
فالنوع الأول يدعى رباعيات غير خاصة، والنوع الثاني والثالث رباعيات خاصة : النوع الثاني يدعى شبه المنحرف، والثالث يدعى أسرة متوازيات الأضلاع
رابعا: خصائص كل نوع من أنواع الرباعيات
بالإضافة إلى الخصائص المشتركة بين الرباعيات والتي تم التطرق إليها في إحدى الفقرات السابقة (تعريف الرباعيات)، فإن لكل نوع من الأنواع الثلاث للرباعيات خصائص تميز بعضها عن بعض، فما هي هذه الخصائص؟
1- الرباعيات غير الخاصة
👈👈بالنسبة للأضلاع :
أضلاع الرباعيات غير الخاصة غير متقايسة وغير متعامدة وغير متوازية لكن يمكن أن نجد فيها ما يلي:
•ثلاثة أضلاع متقايسة.
•ضلعان متقايسان
•زاوية قائمة واحدة فقط
👈👈بالنسبة للقطرين:
القطران يربطان بين كل رأسي متقابلين، ففي الرباعيات غير الخاصة يمكن أن نجد:
• القطرين داخل الرباعي مثل باق الرباعيات الخاصة ويسمى هذا النوع بالرباعي المحدّب
• أحد القطرين خارج الشكل ويدعى هذا النوع بالرباعي المقعّر.
2- شبه المنحرف
👈👈بالنسبة للأضلاع:
• ضلعان فقط في شبه المنحرف هما المتوازيان أحدها أطول من الآخر فالضلع الطويل يسمى القاعدة الكبرى والضلع القصير يسمى القاعدة الصغرى، بينما الضلعان الآخران غير المتوازيين يسميان ساقي شبه المنحرف.
• يمكن في شبه المنحرف أن يكون للساقين نفس الطول، ويدعى هذا النوع شبه منحرف متساوي الساقين.
• كما يمكن في شبه المنحرف أن تكون له زاويتان قائمتان، ويدعى هذا النوع شبه المنحرف القائم الزاوية.
👈👈بالنسبة للقطرين:
رأينا أن قطري شبه المنحرف يلتقيان في نقطة توجد على استقامة واحدة مع منتصفي الضلعين المتوازيين. فإذا كان هذان القطران متقايسان فإننا سنحصل على شبه منحرف متساوي الساقين. كما يمكنها أن يكونا متعامدين دون أن يغير ذلك في شيء.
3- أسرة متوازيات الأضلاع
👈👈بالنسبة للأضلاع :
رأينا أن كل ضلعين متقابلين في هذا النوع يكونان متوازيين لذلك تسمى متوازيات الأضلاع، لكن قد تختلف في تقايس الأضلاع والتوفر على زوايا قائمة، لذا يمكن استنتاج أربع حالات ممكنة وهي:
•كل ضلعين متقابلين هما المتقايسان ولا يحتوي على زوايا قائمة (كما أن كل زاويتان متقابلتان تكونان متقايستين)
•كل ضلعين متقابلين هما المتقايسان ويحتوي على زوايا قائمة
• جميع أضلاعه الأربعة متقايسة ولا يحتوي على زوايا قائمة (كما أن كل زاويتان متقابلتان تكونان متقايستين)
• جميع أضلاعه متقايسة ويحتوي على زوايا قائمة.
فالنوع الأول يسمى متوازي الأضلاع، والنوع الثاني مستطيل، والنوع الثالث معين، والنوع الأخير مربع.
استنتاج خصائص كل نوع حسب الأضلاع:
في جميع متوازيات الأضلاع، كل ضلعين متقابلين يكونان متوازيين، وتنقسم إلى أربعة أنواع:
• متوازي الأضلاع: كل ضلعين متقابلين يكونان متقايسين وليس له زوايا قائمة
• المستطيل: كل ضلعين متقابلين يكونان متقايسين وله أربع زوايا قائمة.
• المعين: جميع الأضلاع الأربعة متقايسة وليس له زوايا قائمة.
• المربع: جميع الأضلاع متقايسة وله أربع زوايا قائمة.
👈👈 بالنسبة للقطرين:
رأينا أن قطري هذا النوع يلتقيان في نقطة توجد على استقامة واحدة مع منتصف كل ضلعين متقابلين. (وبعبارة أخرى: قطراه يلتقيان في منتصفهما)، لكن قد يختلف هذان القطران حسب قياسهما وحسب تعامدهما، فنستنتج بذلك أربع حالات:
• القطران غير متقايسين وغير متعامدين
• القطران متقايسان وغير متعامدين
• القطران غير متقايسين ومتعامدان
• القطران متقايسان ومتعامدان
فالنوع الأول يسمى متوازي الأضلاع، والنوع الثاني مستطيل، والنوع الثالث معين، والنوع الأخير مربع.
استنتاج خصائص كل نوع حسب القطرين:
في جميع متوازيات الأضلاع، القطران يلتقيان في منتصفهما، وتنقسم إلى أربعة أنواع:
• متوازي الأضلاع: قطراه غير متقايسان وغير متعامدين
• المستطيل: قطراه متقايسان وغير متعامدين
• المعين: قطراه غير متقايسين ومتعامدان
• المربع: قطراه متقايسان ومتعامدان.
خامسا: إنشاءات
يمكن إنشاء الرباعيات انطلاقا من الأضلاع أو القطرين، في هذه الفقرة نكتفي فقط بإنشاء متوازيات الأضلاع:
(ويمكن مشاهدة الفيديو للتعرف على طريقة رسم هذه الرباعيات بشكل جيد)
1-انطلاقا من أضلاعه:
👈متوازي الأضلاع ABCD
- نرسم زاوية غير قائمة في النقطة A.
- نحد طرفي الزاوية B وD بحيث أحد الطرفين يكون أطول من الآخر
- نحدد بواسطة البركار طول أحد الطرفين (مثلا AB)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة D ونرسم قوسا مقابلا للنقطة B.
- نحدد مرة أخرى بواسطة البركار الطرف الآخر (AD)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة B ونرسم قوسا مقابلا للنقطة D.
- نقطة تقاطع القوسين هي النقطة C، ثم نربط بين النقط C وB ثم C و D.
👈معين ABCD
- نرسم زاوية غير قائمة في النقطة A.
- نحد طرفي الزاوية B وD بحيث تكون المسافة AB=AD.
- نحدد بواسطة البركار طول أحد الطرفين (مثلا AB)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة D ونرسم قوسا مقابلا للنقطة B.
- وبدون تغيير فتحة البركار (لأن الضلعين متقايسان) نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة B ونرسم قوسا مقابلا للنقطة D.
- نقطة تقاطع القوسين هي النقطة C، ثم نربط بين النقط C وB ثم C و D.
👈مستطيل ABCD
- نرسم زاوية قائمة في النقطة A.
- نحد طرفي الزاوية B وC بحيث أحد الطرفين يكون أطول من الآخر
- نحدد بواسطة البركار طول أحد الطرفين (مثلا AB)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة D ونرسم قوسا مقابلا للنقطة B.
- نحدد مرة أخرى بواسطة البركار الطرف الآخر (AD)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة B ونرسم قوسا مقابلا للنقطة D.
- نقطة تقاطع القوسين هي النقطة C، ثم نربط بين النقط C وB ثم C و D.
(ويمكن رسم المستطيل بالمسطرة والكوس فقط دون استعمال البركار)
👈مربع ABCD
- نرسم زاوية قائمة في النقطة A.
- نحد طرفي الزاوية B وD بحيث تكون المسافة AB=AD.
- نحدد بواسطة البركار طول أحد الطرفين (مثلا AB)، ثم نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة D ونرسم قوسا مقابلا للنقطة B.
- وبدون تغيير فتحة البركار (لأن الضلعين متقايسان) نأخذ البركار ونضع سنه على النقطة B ونرسم قوسا مقابلا للنقطة D.
- نقطة تقاطع القوسين هي النقطة C، ثم نربط بين النقط C وB ثم C وD.
(ويمكن كذلك رسم المربع بالمسطرة والكوس فقط دون استعمال البركار)
2-انطلاقا من قطريه:
👈متوازي الأضلاع ABCD. (قطراه (AC) و (BD))
- نرسم مستقيمين متقاطعين وغير متعامدين في نقطة (مثلا O)
- نأخذ البركار ونضع سن البركار على النقطة O ونرسم قوسا صغير على طرفي أحد المستقيمين. (ونسميهما مثلا A و C)
- نأخذ البركار مرة أخرى ونغير فتحته ( لأن القطرين غير متقايسين)، نضع سنه على النقطة O ونرسم قوسا صغيرا على طرفي المستقيم الآخر. ( ونسميهما مثلا B و D)
- نربط بين النقط الأربعة.
👈معين ABCD. (قطراه (AC) و (BD))
- نرسم مستقيمين متقاطعين و متعامدين في نقطة (مثلا O)
- نأخذ البركار ونضع سن البركار على النقطة O ونرسم قوسا صغير على طرفي أحد المستقيمين. (ونسميهما مثلا A و C)
- نأخذ البركار مرة أخرى ونغير فتحته ( لأن القطرين غير متقايسين)، نضع سنه على النقطة O ونرسم قوسا صغيرا على طرفي المستقيم الآخر. ( ونسميهما مثلا B و D)
- نربط بين النقط الأربعة.
👈مستطيل ABCD. (قطراه (AC) و (BD))
- نرسم مستقيمين متقاطعين و غير متعامدين في نقطة (مثلا O)
- نأخذ البركار ونضع سن البركار على النقطة O ونرسم قوسا صغير على طرفي أحد المستقيمين. (ونسميهما مثلا A و C)
- وبدون تغيير فتحة البركار ( لأن القطرين متقايسان)، نضع سنه على النقطة O ونرسم قوسا صغيرا على طرفي المستقيم الآخر. ( ونسميهما مثلا B و D)
- نربط بين النقط الأربعة.
👈مربع ABCD. (قطراه (AC) و (BD))
- نرسم مستقيمين متقاطعين و متعامدين في نقطة (مثلا O)
- نأخذ البركار ونضع سن البركار على النقطة O ونرسم قوسا صغير على طرفي أحد المستقيمين. (ونسميهما مثلا A و C)
- وبدون تغيير فتحة البركار ( لأن القطرين متقايسان)، نضع سنه على النقطة O ونرسم قوسا صغيرا على طرفي المستقيم الآخر. ( ونسميهما مثلا B و D)
- نربط بين النقط الأربعة.
سادسا: فيديو الدرس
سابعا: أنشطة التدريب
يمكن تحميل هذه الأنشطة بصيغة pdf من هنا، كما يمكن مشاهدة التصحيح من هنا
المرجو عدم نشر تعليقات غير مناسبة للمحتوى