القسمة المضبوطة والقسمة غير المضبوطة

القسمة المضبوطة، القسمة غير المضبوطة، الخارج المقرب بإفراط، الخارج المقرب بتفريط، الخارج المضبوط... 

تعرفنا في درس سابق على القسمة الإقليدية ومراحل إنجازها، ودرس اليوم هو تكملة لذلك الدرس فمن الضروري إذن التمكن من القسمة الاقليدية وطريقة إنجازها قبل الدخول إلى مضمون درس اليوم. يمكن الرجوع إلى درس القسمة الإقليدية من هنا.

 

الفرق بين القسمة الإقليدية ودرس اليوم ليس فرقا كبيرا، القسمة الإقليدية تكتب بهذا الشكل:

 الباقي + (الخارج × المقسوم عليه) = المقسوم

أي أن العملية تنتهي بمجرد إنزال جميع أرقام المقسوم، في حين أن عملية القسمة التي هي درسنا  اليوم لا تنتهي إلا بوجود الصفر في الباقي فتسمى بذلك القسمة المضبوطة (أو الخارج المضبوط) أو بتكرار الباقي وهذه العملية لن تنهي وتسمى بالقسمة غير المضبوطة أو الخارج غير المضبوط (أو الخارج المقرب وهذا كله سنراه في الدرس).

 بعبارة أخرى: في القسمة الاقليدية الخارج يكون عددا صحيحا دون فاصلة وفي النوع الثاني يمكن أن يكون عددا صحيحا أو غير ذلك. كما أنه من الصعب إنجاز عملية القسمة الاقليدية عند استعمال المحسبة العادية (Calculatrice) والعكس تماما عند إنجاز النوع الثاني من القسمة أي أن المحسبة تعطي لك نفس النتيجة التي ستتوصل إليها عند إنجاز العملية وضعيا.

أولا: كيف يمكن إذن إنجاز عملية القسمة؟ 

(لفهم أكثر لطريقة إنجاز عملية القسمة يرجى مشاهدة الفيديو أسفل التدوينة)

يمكن تقسيم هذه الفقرة إلى ثلاثة أقسام رئيسية:

- قسمة عدد صحيح على عدد صحيح (أي أن المقسوم عدد صحيح والمقسوم عليه أيضا صحيح)

- قسمة عدد عشري على عدد صحيح (أي أن المقسوم عدد عشري والمقسوم عليه صحيح)

- قسمة عدد صحيح أو عشري على عدد عشري (أي أن المقسوم عدد صحيح أو عشري والمقسوم عليه عشري)

1- قسمة عدد صحيح على عدد صحيح:

عند قسمة عدد صحيح على عدد صحيح نقوم بنفس المراحل التي رأيناها في درس القسمة الإقليدية إلا أنه عند إنزال جميع أرقام المقسوم نقوم بما يلي:

- نضيف صفر بعد الفاصلة إلى المقسوم (لأن أي عدد صحيح لا يتغير إذا أضفنا له أصفار بعد الفاصلة: 45 = 45,0000…) 

- نضيف فاصلة إلى العدد الموجود في الخارج جهة اليمين.

- نقوم بإنزال الصفر الذي أضفناه إلى الأسفل ونحصل على عدد جديد.

- نقوم بقسمة العدد الجديد على المقسوم عليه، ثم نكتب نتيجة القسمة في الخارج بعد الفاصلة 

- نقوم بنفس المراحل التي رأيناها أي أننا نضرب نتيجة القسمة على المقسوم عليه ونكتب نتيجة الضرب أسفل العدد الجديد ثم ننجز عملية الطرح وهكذا ...

👈👈ماذا لو كان المقسوم أصغر من المقسوم عليه؟؟ هل القسمة هنا غير ممكنة؟؟ 

لا أبدا، قسمة عدد على عدد ممكن ولو كان المقسوم أصغر من المقسوم عليه، ففي هذه الحالة نكتب الصفر في الخارج ونضيف صفرا بعد الفاصلة إلى المقسوم كما أشرنا إلى ذلك أعلاه، ولا ننسى أيضا أن نضيف الفاصلة إلى الصفر في الخارج ثم ننجز العملية كالمعتاد باتباع المراحل السابقة.

2- قسمة عدد عشري على عدد صحيح

نتبع نفس مراحل إنجاز القسمة، الجديد هنا ألا ننسى وضع الفاصلة في الخارج في اللحظة التي انتقلنا فيها إلى الجزء العشري في المقسوم.

3- قسمة صحيح أو عشري على عدد عشري 

في هذه الحالة، لا يمكننا إنجاز العملية إلا بالتخلص من الفاصلة في المقسوم عليه. كيف إذن نتخلص من الفاصلة؟

للتخلص من الفاصلة نضرب المقسوم عليه إما في 10 أو 100 أو 1000 ... حسب عدد الأرقام بعد الفاصلة، أي إذا كان رقم واحد بعد الفاصلة نضربه في 10 وإذا كان رقمان نضربه في 100 وإذا كان ثلاثة نضربه في 1000 وهكذا...، لكن يجب ألا ننسى أن نضرب المقسوم في نفس العدد الذي ضربنا فيه المقسوم عليه كي يتحقق التساوي.

وعند التخلص من الفاصلة يمكن أن نتوصل إلى عمليتي القسمة فقط: 

- إما قسمة عدد صحيح على عدد صحيح، كل من المقسوم والمقسوم عليه أعداد صحيحة في حالة أنه إذا كان عدد الأرقام بعد الفاصلة في المقسوم عليه أكثر منه في المقسوم أو يساويه قبل التخلص من الفاصلة، وفي هذه الحالة نتبع طريقة قسمة عدد صحيح على عدد صحيح المشار إليها أعلاه.

- أو قسمة عدد عشري على عدد صحيح، المقسوم عشري والمقسوم عليه صحيح في حالة أنه إذا كان عدد الأرقام بعد الفاصلة في المقسوم عليه أقل منه في المقسوم قبل التخلص منها، وفي هذه الحالة نتبع طريقة قسمة عدد عشري على عدد صحيح المشار إليها أعلاه.

ثانيا: كتابة الخارج المضبوط والخارج غير المضبوط

تحدثنا عن أنواع القسمة والاختلافات بينها في بداية هذا الدرس، وقلنا أن الفرق بين هذا النوع وبين القسمة الاقليدية أن القسمة الاقليدية تنتهي بمجرد الانتهاء من إنزال جميع أرقام المقسوم في حين أن هذا النوع لا ينتهي إلا بوجود الصفر في الباقي وهذا ما يسمى بالقسمة المضبوطة أو الخارج المضبوط، أما إن كان الباقي يتكرر في كل مرة فإن هذه القسمة تدعى بالقسمة غير المضبوطة أو الخارج غير المضبوط

1- الخارج المضبوط

👈الخارج المضبوط إما أن يكون عددا صحيحا أو عشريا، يمكن إذن كتابته على شكل عدد صحيح أو عدد عشري، مثلا: 

👈الخارج المضبوط  يمكن تحديد مكانه على المستقيم العددي  

← نلاحظ أن خارج العدد  2,5 ÷ 15 يوافق التدريجة  6  على المستقيم العددي.

← خارج العدد 5 ÷ 22,6 يوجد بين التدريجتين 4 و5 في البداية ثم قمنا حصره أكثر بين التدريجتين 4,5 و 4,6 إلى أن وصلنا إلى التدريجة التي توافقه وهي 4,52.

← خارج العدد 40 ÷ 91 يوجد بين التدريجتين 2 و3 ثم قمنا بحصره أكثر بين التدريجتين 2,2 و 2,3 ثم بعد ذلك بين التدريجتين 2,27 و 2,28 إلى وصلنا مكانه المحدد على التدريجة 2,275.

2- الخارج غير المضبوط

👈الخارج غير المضبوط يتكون من الفاصلة لكنه ليس عددا عشريا، لأن الأرقام بعد الفاصلة تتكرر  ولا نهاية لها، لذا لكتابته نستعمل الرمز (≈: يقارب) مكان (=: يساوي) لأن القسمة لا تساوي بالضبط هذا الخارج، أو نكتفي بكتابته على شكل العدد الكسري. مثلا: 

وهناك من يضع خطا فوق الأرقام التي تتكرر للتعبير على أنها لا نهاية لها:

👈الخارج غير المضبوط لا يمكن تحديد مكانه على المستقيم العددي، نقوم إذن بحصره بين عددين صحيحين أو عشريين، لكن هذا الحصر لا نهاية له عكس الخارج المضبوط.

← في الحالة الأولى قمنا بحصر خارج العدد 10 على 3 بين عددين صحيحين هما 3 و4 فنقول إذن أن: 

- 3 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى الوحدة (1) بتفريط

- 4 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى الوحدة (1) بإفراط 

← في الحالة الثانية قمنا بحصر خارج العدد 10 على 3 بين عددين عشريين هما 3,3 و3,4 فنقول إذن أن: 

- 3,3 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى 0,1 بتفريط

- 3,4 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى 0,1 بإفراط 

← في الحالة الثالثة قمنا بحصر خارج العدد 10 على 3 بين عددين عشريين هما 3,33 و3,34 فنقول إذن أن: 

- 3,33 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى 0,01 بتفريط

- 3,34 هي القيمة المقربة لخارج 10 على 3 إلى 0,01 بإفراط

وهكذا دون أن نتمكن من الوصول إلى التدريجة المحدد لهذا الخارج، عكس الخارج المضبوط الذي يمكن تحديد مكانه على المستقيم المدرج.

من بين الاستنتاجات المهمة لدرس اليوم  أن هناك عدد جديد ليس صحيحا ولا عشريا وهو الذي لا يمكن إيجاده تدريجته على المستقيم المدرج فما هو إذن هذا العدد؟ هذا ما سنراه في الدروس المقبلة.

ثالثا: أنشطة التدريب

1- أوجد القيمة المقربة لخارج 234,4 على 12 إلى 0,01 بتفريط وبإفراط.

2- أوجد القيمة المقربة لخارج 407 على 23 إلى 0,001 بتفريط وبإفراط.

3- أوجد القيمة المقربة لخارج 12,056 على 4,3 إلى 0,1 بتفريط وبإفراط.

4- أوجد القيمة المقربة لخارج 199,75 على 8,5 إلى 0,1  بتفريط و بإفراط

5- حدد نوع كل عدد من بين هذه الأعداد  (عدد صحيح، عدد عشري، عدد غير صحيح وغير عشري) 

 رابعا: فيديو الدرس