يعود استعمال المربع السحري في الرياضيات إلى عهود قديمة، فقد حاول الرياضيون عبر التاريخ إيجاد حلول لهذا المربع السحري، انتقل علم المربعات السحرية بعد ذلك إلى العرب حيث عرف قفزة كبيرة، ويعتبر جابر بن حيان و وأبو حامد الغزالي من أبرز العلماء الرياضيين العرب الذين اهتموا بعلم المربعات السحرية.
قد يبدو لك وأنت تقرأ هذه السطور أن المربعات السحرية معقدة وأنك لا تستطيع إيجاد حل لها، ففي الحقيقة ليست كذلك فهي سهلة وبسيطة، فقط تعتمد على الفهم والتطبيق.
لذا ارتأينا اليوم الحديث عن هذا التحدي، لكن قبل ذلك لا بد من التعرف على المربع السحري أولا والتعرف على أنواعه كي يسهل علينا التعامل معه.
أولا: ما هو المربع السحري
المربع السحري هو مربع يحتوي على n x n من الخانات يعني 3×3 أو 4×4 أو 5×5 او 6×6 وهكذا ... (يعني نفس العدد من الخانات عموديا وأفقيا).
داخل هذه الخانات نضع أعدادا معينة متتالية وغير مكررة شرط أن يكون مجموع أعداد كل عمود يساوي مجموع أعداد كل سطر ويساوي مجموع أعداد القطرين.
مثال: مربع سحري مكون من 3×3 خانة
ثانيا: أنواع المربعات السحرية
تختلف المربعات السحرية حسب عدد الخانات المربعة الموجودة في كل صف أو في كل عمود ويرمز لهذا العدد بالحرف n.
نستنتج إذن أننا يمكن تقسيم المربعات السحرية إلى نوعين أساسيين وهما:
- مربع سحري ذو رتبة فردية : أي أن n عدد فردي يعني أن عدد الخانات في كل عمود وكل سطر يساوي 3 أو 5 أو 7 أو 9 ...
- مربع سحري ذو رتبة زوجية: أي أن nعدد زوجي يعني أن عدد الخانات في كل عمود وكل سطر يساوي 4 أو 6 أو 8 أو 10 ...
من خلال ما سبق نستنتج إذن أنه يوجد عدد لا منته في المربعات السحرية حسب العدد n أي عدد الخانات في كل سطر أو عمود شرط أن يكون العدد n أكبر من 2.
درس اليوم سيوضح لنا كيف نبني المربعات السحرية لفائدة أطفالنا أو أصدقائنا كي نختبر ذكاءهم وسيوضح لنا كذلك كيف نقوم بملئه بسرعة إذا طلب منا ذلك ليختبروا ذكائنا😏
( في هذا الدرس نقتصر على المربعات السحرية من n = 3 و n=4 و n=5)
ثالثا: طريقة ملء وإنشاء المربعات السحرية
المربع السحري يتم ملؤه بأعداد متتالية معينة، بحيث نضع كل عدد بدون تكرار داخل كل خانة شرط أن يكون مجموع الأعداد الموجودة داخل كل عمود يساوي مجموع الأعداد الموجودة داخل كل سطر ويساوي مجموع الأعداد الموجودة داخل كل قطر.
👈👈 بالنسبة للمربع السحري ذو رتبة فردية n = 3.
✅ قلنا أن الأعداد التي نملأ بها المربع السحري يجب أن تكون متتالية، وبالنسبة للمربع السحري ذو n = 3 عدد الأعداد التي يجب استعمالها هو تسعة أعداد ( 9 = 3×3) والفرق بين أول عدد وآخر عدد يساوي 8.
أمثلة:
- سلسلة الأعداد من 1 إلى 9 (1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 5 و 6 و 7 و 8 و 9) نلاحظ أن عدد الأرقام هنا هو 9 وأن آخر عدد (9) ناقص أول عدد (1) يساوي 8.
- سلسلة الأعداد من 8 إلى 16 ( 8 و 9 و 10 و 11 و 12 و 13 و 14 و 15 و 16) نلاحظ أن عدد الأعداد هنا هو 9 كذلك وأن آخر عدد (16) ناقص أول عدد (8) يساوي 8.
- سلسلة الأعداد من 24 إلى 32 ( 24 و 25 و26 و27 و28 و29 و30 و31 و 32) نلاحظ أن عدد الأرقام هنا هو 9 كذلك وأن آخر عدد (32) ناقص أول عدد (24) يساوي 8.
إذن هناك أمثلة لا نهاية لها يمكن استعمالها لملء المربع السحري ذو n = 3 (ثلاث خانات)
✅ بعد أن تعرفنا على الأعداد التي يمكننا استعمالها لملء المربع السحري دعونا الآن نتعرف على العدد الذي يجب وضعه في الوسط أي مركز المربع السحري ( العدد المركز ونرمز له ب x ): هذا العدد يساوي أول عدد زائد آخر عدد مقسوم على 2
لنأخذ الأمثلة السابقة:
- في السلسلة الأولى ، العدد x الذي يتواجد في وسط المربع السحري هو : 5 = 2÷(1+9)
- في السلسلة الثانية ، العدد x الذي يتواجد في وسط المربع السحري هو : 12 = 2÷(8+16)
- في السلسلة الثالثة ، العدد x الذي يتواجد في وسط المربع السحري هو : 28 = 2÷(24+32)
✅ الآن دعونا نتعرف على العدد الثابت (s) الذي يساويه مجموع أعداد كل عمود وكل سطر وكل قطر، هذا العدد يساوي العدد الموجود في وسط المربع (x) مضروب في العدد n (عدد الخانات في كل عمود أو سطر ويساوي هنا 3 )
في الأمثلة السابقة:
- في السلسلة الأولى ، العدد الثابت (s) يساوي 15 = 3 × 5
- في السلسلة الثانية ، العدد الثابت (s) يساوي 36 = 3 × 12
- في السلسلة الثالثة ، العدد الثابت (s) يساوي 84 = 3 × 28
✅ الآن، بعد أن تعرفنا على كيفية تحديد العدد الذي يتم وضعه في وسط المربع وكيفية تحديد العدد الثابت، كيف يتم توزيع بقية الأعداد على الخانات الأخرى؟
توجد عدة طرق للقيام بهذه العملية، اخترنا لكم السهلة منها والتي يمكننا فهمها بشكل أسرع:
1- نزيح الخانة الوسطى إلى خارج المربع كما يبين الشكل:
2- نملأ الخانات باتباع السهم كما في الصورة بدءا بالخانة الموجودة في الأعلى حيث نضع الرقم الأول ثم الرقم الذي يليه وهكذا..
لنأخذ الأمثلة السابقة:
← بالنسبة للسلسلة الأولى
← بالنسبة للسلسلة الثانية السابقة
3- نعيد كتابة كل عدد موجود في كل خانة خارجية داخل المربع في الخانة الفارغة التي تقابلها، ونترك بقية الخانات كما هي.
لنأخذ الأمثلة السابقة:
← بالنسبة للسلسلة الأولى:
👈👈 بالنسبة للمربع السحري ذو رتبة زوجية n = 4.
✅ المربع السحري ذو n = 4 يحتوي على 4×4 خانة (أي 16 خانة)، وبالتالي عدد الأعداد التي يضمها هذا المربع هو 16 عددا متتاليا، والفرق بين العدد الأول والآخر هو يساوي 15.
أمثلة:
- السلسلة الأولى من 1 إلى 16 (16،15،14،13،12،11،10،9،8،7،6،5،4،3،2،1) ← 15 = 1 – 16
- السلسلة الثانية من 14 إلى 29 ( 29،28،27،26،25،24،23،22،21،20،19،18،17،16،15،14) ← 15 = 14 – 29
✅ دعونا الآن نحدد العدد الوسط (x) كما رأينا في المربع السحري السابق، قلنا أن العدد الوسط x يساوي أول عدد زائد آخر عدد مقسوم على 2.
لنقوم بالبحث عنه في المثالين السابقين:
- السلسلة 1 : العدد x يساوي: 8,5 =2÷(1+16)
- السلسلة 2: العدد x يساوي : 21,5 = 2÷( 14+29)
✅ نلاحظ أن هذا العدد عشري ليس صحيحا، وإذا رجعنا إلى المربع السحري ذو الرتبة الزوجية سنرى أنه لا يحتوي على الخانة الوسطى مثل المربع ذو الرتبة الفردية:
✅ لكننا رغم ذلك يمكن استعمال هذا العدد (x) لتحديد العدد الثابت s الذي يساويه مجموع كل عمود وكل سطر وكل قطر. رأينا أن العدد الثابت (s) يساوي العدد (x) مضروب في العدد (n) ففي المثالين السابقين:
- السلسة 1: العدد الثابت يساوي: 8,5× 4 = 34 ( يعني أن مجموع الأعداد في كل عمود أو سطر أو قطر يساوي 34)
-السلسلة 2 : العدد الثابت يساوي : 21,5 × 4 = 86 ( يعني أن مجموع الأعداد في كل عمود أو سطر أو قطر يساوي 86)
✅ كيف نقوم إذن بملء هذا النوع من المربع السحري كي يتحقق الشرط؟
1- نقوم أولا بملء الخانات بشكل عاد بدءا بالعدد الأول متبعا الأسهم كما في الشكل (ويمكن القيام بالعكس)
بالنسبة للمثالين السابقين:
←السلسلة 1:
2- بعد ذلك، نقوم بإعادة كتابة الأعداد الموجودة في القطرين بشكل عكسي، ونترك بقية الأعداد مكانها دون تغيير.
بالنسبة للمثالين السابقين:
←السلسلة 1
←السلسلة 2
✅ ونكون بذلك قد حصلنا على جدول مجموع أعداد كل عمود يساوي مجموع أعداد كل سطر يساوي مجموع أعداد كل قطر ويساوي 34 في السلسلة الأولى و 86 في السلسلة الثانية. ويمكنك التأكد من ذلك.
👈👈 بالنسبة للمربع السحري ذو رتبة فردية n = 5.
✅ الطريقة التي يتم بها ملء هذا المربع تشبه كثيرا الطريقة التي رأيناها عند ملء المربع السحري من تسع خانات ( n=3)
✅ عدد الأعداد المستعملة هنا هي 25 عدد لكونه يحتوي على 25 = 5×5 خانة، هذه الأعداد بطبيعة الحال يجب أن تكون متتالية، والفرق بين العدد الأخير والعدد الأول يساوي 24، مثال:
- سلسلة الأعداد المتتالية من 1 إلى 25 ( الفرق بين العدد الأول والخير يساوي 24 = 1 -25)
- سلسلة الأعداد المتتالية من 14 إلى 38 ( الفرق بين العدد الأول والخير يساوي 24 = 14 –38)
✅ العدد الوسط x الذي يتوسط المربع السحري نحدده بنفس القاعدة السابقة أي: العدد الأخير زائد العدد الأول مقسوم على 2. في المثال السابق:
- العدد الوسط x في السلسلة 1 هو: 13 = 2 ÷ ( 1 + 25)
- العدد الوسط x في السلسلة 2 هو: 26 = 2 ÷ ( 14 + 38)
✅ العدد الثابت (s) الذي يساوي مجموع الأعداد في كل عمود وكل سطر وكل قطر، بدوره نحدده بنفس الطريقة السابقة وهي: العدد (x) مضروب في العدد (n). في المثال السابق:
- العدد الثابت s في السلسلة 1 يساوي 65 = 5×13
- العدد الثابت s في السلسلة 2 يساوي 130 = 5×26
✅ دعونا الآن نقوم بملء الخانات بالأعداد كي يتحقق الشرط المطلوب ( وهو مجموع أعداد كل عمود يساوي مجموع أعداد كل سطر ويساوي مجموع أعداد كل قطر ويساوي 65 في السلسلة 1 و 130 في السلسلة 2)
1- نزيح ثلاث خانات الموجودة في الوسط خارج المربع السحري كما يوضح الشكل (يمكن إعادة رسمها فقط)
2-نملأ الخانات باتباع السهم كما في الصورة بدءا بالخانة الموجودة في الأعلى حيث نضع الرقم الأول ثم الرقم الذي يليه وهكذا..
← بالنسبة للسلسلة الأولى السابقة
3- نعيد كتابة كل ثلاثة أعداد موجود في كل ثلاث خانات خارجية داخل المربع في الخانات الفارغة التي تقابلها.
- بالنسبة للسلسلة الأولى:
✅ في الأخير، نحصل على أعداد المربع السحري، إذا قمنا بجمع أعداد كل عمود وكل سطر وكل قطر سنحصل على نفس العدد. يمكنك التأكد من ذلك.
رابعا: فيديو
يمكنكم مشاهدة الفيديو لفهم طريقة التعامل مع هذا المربع السحري
خامسا: تطبيقات
خالد
ردحذفخالد
ردحذف