المضاعفات والقواسم

 

السلام عليكم ورحمة الله

في إطار أنشطة التقويم والدعم، والمعالجة والتقوية يسر مدونة رياضياتي أن تقدم لزوارها بشكل حصري مجموعة من الأنشطة والتمارين الهدف منها دعم ومعالجة الثغرات والتعثرات التي قد تواجه المتعلمين والمتعلمات من جهة أو تقوية وتعزيز قدراتهم وكفاياتهم في مادة الرياضيات من جهة ثانية. ومن خلالها كذلك يستمد المدرسين والمدرّسات وأولياء الأمور طرق تدريس دروس الرياضيات المختلفة   حتى يتمكن أبناؤهم وبناتهم من اكتساب المعارف والمهارات الرياضياتية بشكل سهل وسلس.

درس اليوم: المضاعفات والقواسم

⇐ مضاعفات عدد ما يعني نقوم بضرب هذا العدد في أعداد أخرى وما نحصل عليه هو ما يسمى بالمضاعفات لهذا العدد.

أمثلة:

👈 مضاعفات العدد 5 هي: (0 ;5 ;10 ;15 ;20 ;25 ;30 ;35 ;40 ;45 ;50 ;55…)

لأن:

5×0= 0 ; 5×1= 5 ; 5×2= 10 ; 5×3= 15 ; 5×4= 20; 5×5= 25…  

👈 مضاعفات العدد 7 هي: (0 ;7 ;14 ;21 ;28 ; 35 ;42 ;49 ;56 ;63 ;70 ;7…)

لأن:

7×0= 0 ; 7×1= 7 ; 7×2= 14 ; 7×3= 21 ; 7×4= 28; 7×5= 35…  

↤نلاحظ أن:

- المضاعفات لا يمكن تعدادها أي ليست لها نهاية.

-أصغر مضاعف هو الصفر (0) ثم يتبعه العدد الذي نبحث عن مضاعفاته.

- ليس من الضرورة كتابة المضاعفات بالترتيب لكن ذلك يساعدنا كي لا يتم نسيان أحد المضاعفات.

 

⇐ قواسم عدد ما يعني نقوم بقسمة هذا العدد على أعداد أخرى ما دام كان ذلك ممكنا. وهذا يعني أنه لا يمكن قسمة عدد على جميع الأعداد ويعطينا عددا صحيحا. والأعداد الممكنة هي ما يسمى بـ قواسم هذا العدد.

وبصيغة أخرى    يمكن ضرب قاسمين من بين قواسم عدد ما فنحصل على هذا العدد المطلوب.

أمثلة:

👈  قواسم العدد 36 هي: (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36)

لأن: 

36÷1= 36 ; 36÷2= 18 ; 36÷3= 12 ; 36÷4= 9 ; 36÷6= 6

أو: 

36×1= 36 ; 18×2= 36 ; 12×3= 36 ; 9×4= 36 ; 6×6= 36

👈 قواسم العدد 48 هي: (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48)

لأن: 

48÷1= 48 ; 48÷2= 24 ; 48÷3= 16 ; 48 ÷4= 12 ; 48÷6= 8

أو: 

48×1=48 ; 24×2= 48 ; 16×3=48 ; 12×4=48 ; 6×8=48

↤نلاحظ أن:

- القواسم محدودة أي أننا يمكننا كتابتها كلها.

- جميع الأعداد لها قاسمين على الأقل هما: العدد 1 والعدد الذي نريد تحديد قواسمه.

- العدد 1 هو أصغر القواسم والعدد الذي نريد تحديد قواسمه هو أكبر القواسم.

- ليس من الضرورة كتابة القواسم بالترتيب لكن ذلك يساعدنا كي لا ننسى أحد القواسم.

- توجد أعداد لها قاسمان فقط هما العدد نفسه والعدد 1، هذه الأعداد تسمى الأعداد الأولية، أمثلة:

13، 17، 23، 29، 31... تلاحظون أنه لا يمكن قسمة هذه الأعداد إلا على نفسها. 

 

للحصول على مضاعفات عدد نضرب هذا العدد في أعداد أخرى وهذا يمكن القيام به بالنسبة لجميع الأعداد، وعلى العكس تماما للحصول على قواسم عدد نقسم هذا العدد على أعداد أخرى لنحصل على أعداد صحيحة، لكن لا يمكن القيام بذلك دائما إلا مع بعض الأعداد فقط.

ولمعرفة طريقة تحديد القواسم نتبع طرق تساعدنا على معرفة ما إذا كان العدد يمكن قسمته على عدد آخر أم لا هذه الطريقة تسمى قابلية القسمة.  

( نكتفي هنا بالأعداد التي تقبل القسمة على 2 و3 و4 و5 و6 و9 و10)

1-     الأعداد التي تقبل القسمة على 2 أي أنها يمكن قسمتها على 2 ويكون العدد الناتج صحيحا.

هي الأعداد الزوجية أي التي رقم وحداتها إما 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.

مثلا: 23548 ; 874 ; 24 ; 356470 ...

↤ هذه الأعداد تقبل القسمة على 2 أي عند قسمتها على 2 نحصل على عدد صحيح دون فاصلة يمكنك التأكد من ذلك..

2-     الأعداد التي تقبل القسمة على 3

هي الأعداد التي مجموع أرقامها مضاعف للعدد 3.

مثلا: 111 و234 و2354676 و21 ....

↤ لنأخذ العدد الأول (111) نلاحظ أنه يتكون من الأرقام  1، 1 ، 1 ومجموع هذه الأرقام هو: 3=1+1+1 ونحن نعرف أن 3 من مضاعفات 3 إذن العدد 111 أيضا من مضاعفات 3 وبالتالي فهو يقبل القسمة على 3.

↤ العدد الثاني (234) يتكون من الأرقام 4،3،2 ومجموع هذه الأرقام هو 9=2+3+4 ونحن نعرف أيضا أن 9 من مضاعفات 3 إذن العدد 234 أيضا من مضاعفات 3 وبالتالي يقبل القسمة على 3.

↤ العدد الثالث( 2354676) يتكون من الأرقام 2،3،5،4،6،7،6 ومجموع هذه الأرقام هو: 33 = 6+7+6+4+5+3+2، ونحن نعرف أن 33 من مضاعفات 3 إذن العدد 2354676 يقبل القسمة على 3

3-     الأعداد التي تقبل القسمة على 4

هي الأعداد التي رقم وحداتها وعشراتها مضاعف للعدد 4، يعني إذا كان العدد يبدأ بمضاعفات العدد 4 الأصغر من 100 وهي

(00 ; 04 ; 08 ;12 ;16 ;20 ;24 ;28 ;32 ;36 ;40 ;44 ;48 ;52 ;56 ;60 ;64 ;68 ;72 ;76 ;80 ;84 ;88 ;92 ;96)

مثلا:

100   -   2008   -  236  -   47652    ....

↤ بالنسبة للأعداد التي تقبل القسمة على 4 يجب أولا معرفة هذه الأعداد الصغر من 100 ( أي مضاعفات 4 الأصغر من 100) المذكورة أعلاه، ويتم توظيف هذه المضاعفات لمعرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة على 4 أم لا

↤ بالنسبة للعدد الأول ( 100) نلاحظ أن رقم وحداته وعشراته هو 00 ونحن نعرف أن 0 من مضاعفات 4 إذن فإن 100 من مضاعفات 4 أي يقبل القسمة على 4.

↤ بالنسبة للعدد الثاني ( 2008) نلاحظ أن رقم الوحدات والعشرات هو 08، ونحن نعرف أيضا أن 8 من مضاعفات 4 إذن 2008 من مضاعفات 4 أي يقبل القسمة على 4.

↤ بالنسبة للعدد الثالث (236) نلاحظ أن رقم الوحدات والعشرات هو 36 ونحن نعرف أن 36 من مضاعفات 4 إذن العدد 236 من مضاعفات 4 أي يقبل القسمة على 4 ( يمكن التأكد من ذلك بقسمة 236 على 4 وترى هل الخارج عدد صحيح أم لا)

↤ نفس الشيء بالنسبة للعدد الأخير (47652) رقم وحداته وعشراته هو 52 الذي هو من مضاعفات 4 إذن العدد 47652 يقبل القسمة على 4 ( يمكن أيضا التأكد من ذلك)

4-     الأعداد التي تقبل القسمة على 5

هي الأعداد التي رقم وحداتها إما 0 أو 5.

مثلا:   75   -   305    -  2340  -  90425  -     3000  .....

↤ إذا كان أي عدد رقم وحداته 0 أو 5 فإنه يقبل القسمة على 5 ( يمكن التأكد من ذلك بإجراء عملية قسمة إحدى الأعداد السابقة على 5 لترى هل الخارج عدد صحيح أم لا)

5-     الأعداد التي تقبل القسمة على 6

هي الأعداد التي تقبل القسمة على 2 وعلى 3 في نفس الوقت أي أنها أعداد زوجية التي رقم وحداتها إما 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 وفي الوقت نفسه مجموع أرقامها مضاعف للعدد 3.

مثلا:  2340 -  576  -  7896  - 1111110 ...

↤ هنا يجب جمع قاعدتين: قاعدة الأعداد التي تقبل القسمة على 2 وقاعدة الأعداد التي تقبل القسمة على3.

↤ بالنسبة للعدد الأول (2340)، هذا العدد يقبل القسمة على 2 لأن رقم وحداته 0 وفي نفس الوقت يقبل القسمة على 3 لأن مجموع الأرقام يساوي 9=0+4+3+2 و9 مضاعف لـ 3 إذن العدد 2340 يقبل القسمة على ، وبما أنه يقبل القسمة على 2 و3 في نفس الوقت فإنه يقبل القسمة على 6

↤ نفس الشيء بالنسبة لبقية الأمثلة السابقة ( يمكنك التأكد من ذلك)

 

6-     الأعداد التي تقبل القسمة على 9

هي الأعداد التي مجموع أرقامها مضاعف للعدد 9.

مثلا: 9999 -  333333 – 63000 – 12345678  ....

↤ بالنسبة للأعداد التي تقبل القسمة على 9، نوظف نفس قاعدة الأعداد التي تقبل القسمة على 3، أي إذا كان مجموع الأرقام المكونة للعدد مضاعف ل9 فإن هذا العدد يقبل القسمة على9.

↤ بالنسبة للمثال الأول، مجموع الأرقام المكونة للعدد هو: 36=9+9+9+9، ونحن نعرف أن 36 من مضاعفات 9 إذن العدد 9999 من مضاعفات 9 أيضا أي أنه يقبل القسمة على9.

↤ نفس الشيء بالنسبة لبقية الأعداد، يمكنك التأكد من ذلك.

7-     الأعداد التي تقبل القسمة على 10

هي الأعداد التي رقم وحداتها 0.

مثلا: 50 – 230 – 20000 – 123450 ...

↤ جميع الأعداد التي رقم وحداته 0 تقبل القسمة على 10 ومنه نستنتج أن جميع الأعداد التي رقم وحداتها وعشراتها 00 تقبل القسمة على 100 ونفس الشيء أي أن جميع الأعداد التي رقم وحداتها وعشراتها ومئاتها  000 تقبل القسمة على 1000 وهكذا ...

تمارين وأنشطة:

1-     اكتب جميع مضاعفات العدد 6 الأصغر من 70.

2-     اكتب جميع مضاعفات العدد 8 المحصورة بين 50 و90.

3-     حدد مضاعفات العدد 4 من بين الأعداد التالية: 1608 – 44880 – 7978 – 918 – 456212 - 89215

4-     اكتب المضاعفات المشتركة للعددين 9 و4 الأصغر من 150.

5-     ما هو المضاعف المشترك الأصغر دون الصفر للعددين 12 و9؟

6-     اكتب قواسم الأعداد 80، 72، 132، 64، 300.

7-     اكتب القواسم المشتركة للعددين 36 و 48.

8-     ما هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 81 و 36؟

9-     ما هي الأرقام التي يمكن وضعها مكان النقط  في العدد  .4.3. كي يكون:

أ‌-      قابلا للقسمة على 6.

ب‌-     قابلا للقسمة على 6 و9.

ت‌-    قابلا للقسمة على 4 و 3.

ث‌-    قابلا للقسمة على 2 و 5 و 9.

ج‌-    قابلا للقسمة على 10 و 9.

10-  مسائل رياضية:

أ‌-      يوجد في قاعة مسرح 12 صفا، ويتكون كل صف من 9 كراس، في أي صف يوجد الكرسي رقم 86.

ب‌-     ما هو عدد تلاميذ قسم دراسي، علما أنه يمكن توزيعهم إلى مجموعات من 3 تلاميذ أو 4 تلاميذ أو 8 تلاميذ وأن عددهم يزيد على 20 ويقل عن 30؟

ت‌-    عمر أبي بين 41 و 55 سنة، هذه السنة يقبل القسمة على 4، ومنذ سنتين كان عمره يقبل القسمة على 3، فما هو عمر أبي؟

تحميل أجوبة الأنشطة

 فيديو يشرح أجوبة الأنشطة